数学人教A版 (2019)1.4 空间向量的应用第1课时当堂检测题

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1.4.2用空间向量解决距离问题（第1课时）（分层作业）（夯实基础+能力提升）【夯实基础】一、单选题1．（2021·湖北·武汉市吴家山中学高二阶段练习）空间内有三点A(2,1,3)，B(0,2,5)，C(3,7,0)，则点B到AC的中点P的距离为（       ）A． B．5 C． D．【答案】C【详解】，，中点，则点B到的中点P的距离为，故选D.2．（2021·全国·高二课前预习）已知动直线l过点A(1，－1,2)，和l垂直的一个向量为，则P(3,5,0)到l的距离为（       ）A．5 B．14 C． D．【答案】C【详解】∵＝(－2，－6,2)，·n＝(－2，－6,2)·(－3,0,4)＝14 ，|n|＝5，∴点P到直线l的距离为d＝＝.3．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=，E，F分别是面A1B1C1D1，面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为（       ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则点，所以||=.故选：C.4．（2021·福建·厦门大学附属科技中学高二期中）已知平面的一个法向量为，且，则点A到平面的距离为（       ）A． B． C． D．1【答案】B【分析】直接由点面距离的向量公式就可求出．【详解】∵，∴，又平面的一个法向量为，∴点A到平面的距离为故选：B5．（2022·全国·高二课时练习）正方体中棱长为a，若，N是的中点，则的值为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立直角坐标系，分别求出个点的坐标，然后根据模值的坐标计算公式求出.【详解】解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的直角坐标系，，，设，，，即，，则于是，故选：A6．（2022·广东茂名·高二期末）已知为平面的一个法向量，为内的一点，则点到平面的距离为（       ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用点到平面的向量求法，列式计算作答.【详解】依题意，，而为平面的一个法向量，所以点到平面的距离.故选：A7．（2022·江苏徐州·高二期末）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据向量和直线的方向向量的关系，利用点到直线的距离公式求距离．【详解】解：点，直线过点，且一个方向向量为，，所以直线的一个单位方向向量，点到直线的距离为．故选：．8．（2022·江苏宿迁·高二期末）已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（       ）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】求出的坐标，利用点到平面距离的向量求法计算作答.【详解】依题意，，所以点P到平面的距离为.故选：D二、填空题9．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l与平面α相交于点O，A∈l，B为线段OA的中点，若点A到平面α的距离为10，则点B到平面α的距离为________.【答案】510．（2021·广东·顺德市李兆基中学高二期中）如图，在正三棱柱中，若，，则点到直线的距离为___________.【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得到直线的距离.【详解】设的中点为，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，所以到直线的距离为.故答案为：11．（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）已知是平面的一个法向量，点在平面内，则点到平面的距离为_________.【答案】【分析】利用空间向量求点到平面的距离即可.【详解】由题可得，又是平面的一个法向量，∴则点P到平面的距离为.故答案为：.12．（2022·江苏泰州·高二期末）长方体中，，，则点B到平面的距离为________．【答案】【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.【详解】解：在长方体中，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，因为，，所以，， ，，，， 设平面的法向量为：，，令得：又点B到平面的距离为：.故答案为：.13．（2022·全国·高二专题练习）在长方体中，，，则点到平面的距离等于_____.【答案】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求距离.【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，得，点到平面的距离：．故答案为：.14．（2022·全国·高二单元测试）正方体的棱长为，点在上，且，为的中点，则的长为 __．【答案】【分析】如图所示．建立空间直角坐标系，利用向量的坐标与模的计算公式即可得出．【详解】解：如图所示，，，，，，0，．，，，0，．，．故答案为：．三、解答题15．（2022·全国·高二课时练习）求点到原点、各坐标轴和各坐标平面的距离．【答案】到原点的距离是，到、、轴的距离分别是、、到面、面、面的距离分别是、、【分析】利用两点间距离公式可求N到原点的距离，利用点到线的距离公式求N到个坐标轴的距离、利用点到面的距离公式求N到个坐标平面的距离【详解】有两点间距离公式知到原点的距离设个坐标轴的方向量分别为，，，由上可知所以到个坐标轴的距离分别为设面、面、面的法向量分别是，，所以到个坐标平面的距离分别为16．（2022·全国·高二课时练习）如图，在单位正方体中，点M是上的点，且，点N是BD上的点，且，求MN的长．【答案】【分析】建立如图所示的坐标系，求出的坐标，利用两点间距离公式，即可求出结果．【详解】解：建立如图所示的坐标系，则 ，设因为，，所以，，即所以，，所以 ，所以 ．【能力提升】一、多选题1．（2021·全国·高二专题练习）如图所示，在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（       ）A．棱上存在一点M，使得//平面B．直线到平面的距离为C．过且与面平行的平面截正方体所得截面面积为D．过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为【答案】BCD【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，借助空间向量分析计算可判断A，B；作出过与平面平行的正方体截面，计算其面积判断C；求出直线PQ被正方体的外接球所截弦长即可计算作答.【详解】在棱长为1的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，设平面的一个法向量，则，令，得，设棱上点，，则，若//平面，则有，解得，与矛盾，即在棱上不存在点M，使得//平面，A不正确；连AC，矩形是正方体的对角面，有，而P，Q分别为棱AB，BC的中点，则，又平面，平面，于是有平面，直线到平面的距离等于点到平面的距离h，因，则，B正确；取AD，CD的中点E，F，连接，则，即确定一个平面，如图，依题意，，，即四边形是平行四边形，，平面，平面，于是得平面，显然，平面，平面，于是得平面，而，平面，因此，平面平面，即梯形是过与平面平行的正方体的截面，而，则此等腰梯形的高，所以过与平面平行的正方体的截面面积为，C正确；过PQ的平面截正方体的外接球所得截面小圆最小时，该小圆直径是直线PQ被正方体的外接球所截弦，由对称性知线段PQ中点N是这个小圆的圆心，令正方体的外接球球心为O，连接ON，OP，则，而，而球半径，则这个小圆半径，此圆面积为，D正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.2．（2021·浙江·高二期中）在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点（包含线段的端点），点，分别为线段，的中点，则下列说法正确的是（       ）A．当时，点，，，四点共面B．异面直线与的距离为C．三棱锥的体积为定值D．不存在点，使得【答案】AC【分析】对于A，借助空间向量判断共面即可；对于B，建立空间直角坐标系，利用空间向量求距离即可判断；对于C，证明直线A1C//平面DMN即可判断；对于D，利用空间直角坐标系中向量坐标运算即可判断作答.【详解】在棱长为1的正方体中，点为线段上的动点，如图， 对于A，因，则，共面，且它们有公共点A，点，，，四点共面，A正确；对于B，建立如图所示的空间直角坐标系，则，A1(1，0，1)，，设与都垂直的向量，因此，，令，得，则异面直线与的距离，B不正确；对于C，因点，分别为线段，的中点，则，平面DMN，平面DMN，于是得平面DMN，因此，上任意点P到平面DMN的距离都相等，而点D，M，N都是定点，即面积是定值，则三棱锥的体积为定值，C正确；对于D，令，，则，而，于是得，当时，，即，因此当点P与点C重合时，，D不正确.故选：AC二、填空题3．（2022·全国·高二专题练习）已知直线过定点，且(0，1，1)为其一个方向向量，则点到直线的距离为_______.【答案】【分析】设直线与直线所成的角为，由线面角的公式代入可求出的值，即可求出，而点到直线的距离为，代入即可求出答案.【详解】，故||，，设直线与直线所成的角为，则|，故，点到直线的距离为．故答案为: 4．（2021·北京·海淀教师进修学校附属实验学校高二期末）已知正方体的棱长为1，点为其对角面内（含边界）一动点，点到直线的距离为1，点分别在线段且四边形为矩形，则矩形面积的最大值为_____【答案】【分析】如图，建立空间直角坐标系，不妨设，则，根据点到直线的距离为1，可得，再根据结合基本不等式即可求出答案.【详解】解：如图，建立空间直角坐标系，则，则，，可设，则，则，则，因为点到直线的距离为1，所以，即，所以，因为四边形为矩形，所以，，，所以，当且仅当时，取等号，所以矩形面积的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了利用向量法研究点到线的距离，考查了转化思想，具有一定的难度.三、解答题5．（2022·全国·高二专题练习）如图所示，在四棱锥中，平面，，在四边形中，，，，点在上，，与平面成的角．(1)求证：平面；(2)点到平面的距离．【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出、、的坐标，求出平面的法向量的坐标，因为，故，又因为不在平面内，可得平面；（2）取的中点，利用向量的数量积证明，，得到平面，故是平面的法向量，可得平面的单位法向量的坐标，由点C到平面的距离为，求出点C到平面的距离．（1）以点为空间直角坐标系的坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建如图所示的空间直角坐标系，证明：∵平面，∴为与平面成的角，∴．∵，∴，，∴，，，，．∴，，．设平面的法向量为，由，即，可得，，∴．又，∴，又不在平面内，∴平面．（2）取的中点，如图所示，则，，，∴．又，∴，即，又，平面，平面，∴平面，∴ 是平面的法向量，平面的单位法向量为，又，∴点到平面的距离为6．（2022·全国·高二专题练习）如图，在正方体中，为的中点．(1)证明：平面AD1E(2)求直线到平面的距离；【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用线面平行的判定定理.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的距离公式求解.（1），，四边形为平行四边形，，面，面，平面．（2）如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，，，，，平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离，所以，，，设平面的一个法向量为，则，取，得，，直线到平面的距离为.7．（2022·全国·高二专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的距离．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）法一：由面面平行的判定定理即可证明；法二：如图所示，建立空间直角坐标系，通过证明，再由面面平行的判定定理即可证明.（2）法一: 平面与平面的距离到平面的距离,再由等体积法即可求出答案. 法二:求出平面的法向量,，平面与平面的距离等于到平面的距离，由点到平面的距离公式即可求出答案.(1)法一:证明：连接分别为的中点，分别是的中点，，平面，平面，平面，平行且等于，是平行四边形，，平面，平面，平面，，平面平面；法二: 如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，平面，平面，平面，平面，平面，平面，又，平面平面，(2)法一:平面与平面的距离到平面的距离．中，，，，由等体积可得，．法二:设平面的一个法向量为，则，则可取，，平面与平面的距离为8．（2022·海南·嘉积中学高二期末）如图，在正方体中，棱长为2，为的中点.(1)求到平面的距离.(2)若面，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，求出平面平面的法向量，将到平面的距离转化为到平面的距离，即可求得答案；（2）将转化为，即可求得答案.(1)如图，以A为坐标原点， 分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 ,因为正方体中，平面,所以平面,则到平面的距离即为到平面的距离，而 ，设平面的法向量为 ，则 ,即 ，令 ，则 ，故，故到平面的距离 ，即到平面的距离为；(2) ,由题意可得.9．（2022·江苏宿迁·高二期末）如图，三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点P，Q分别在上，且．(1)求证：平面；(2)当点P是边的中点时，求点到直线的距离．【答案】(1)详见解析；(2).【分析】（1）作，根据条件证明四边形为平行四边形，然后得到即可；（2）取中点，然后证明平面，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.(1)作，交于点，由，则，∵，∴，即，∴且，连接，所以四边形为平行四边形，∴，∵平面，且平面，∴平面．(2)取中点，连接、，∵，，，根据余弦定理得：，∴，则，又平面平面，平面平面，∴平面，∵是等边三角形，∴，如图建立空间直角坐标系，则，∴，∴，∴点到直线的距离为.10．（2021·北京铁路二中高二期中）如图，在三棱柱中，平面，D，E，F，G分别为的中点，(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值；(3)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）根据线面垂直的判定定理判定即可；（2）根据两两垂直关系建立空间直角坐标系，再求出两平面的法向量，用向量法求二面角；（3）取的中点为，连接，将所求转化成与平面所成角的正弦值，再利用点到面的距离公式和的模长来求即可.(1)在三棱柱中，因为平面，所以四边形为矩形．又因为分别为，的中点，，所以.   又因为，所以. 由于，所以平面.(2)由（1）知，，．又平面，所以平面． 因为平面，所以．所以平面，即平面.如图建立空间直角坐称系.则为平面的法向量.由题意得，，，，所以，，， .设平面的法向量为，所以， 从而，令，则，，所以平面的法向量，平面的法向量.因为，由题干易知二面角为钝角.所以二面角的余弦值为.(3)取的中点为，坐标为，连接， ，由（1）知，由三棱柱的性质，，所以四边形为平行四边形，且.求直线与平面所成角的正弦值可转换成求与平面所成角的正弦值.由（1）知是平面的法向量，则点到平面的距离.设与平面所成角为，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.