素养拓展17 解三角形中三角形的中线和角平分线问题（精讲+精练）-高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）

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高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展17 解三角形中三角形的中线和角平分线问题（精讲+精练）   一、三角形中线问题如图在中，为的中点，，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）二、角平分线问题如图，在中，平分，角,,所对的边分别为，，①等面积法（常用）②内角平分线定理：或 ③边与面积的比值：    【典例1】在中，内角的对边分别为，.(1)求；(2)若的面积为，求边上的中线的长.【分析】（1）利用二倍角公式，结合正弦定理、余弦定理及同角三角函数关系式即可求出结果；（2）利用三角形面积公式，及（1）的相关结论，再结合平面向量的四边形法则，利用向量的线性表示出，最后利用求模公式即可求边上的中线的长.【详解】（1）因为，所以，所以，即，所以，由余弦定理及得：，又，所以，即，所以，所以.（2）由，所以，由（1），所以，因为为边上的中线，所以，所以（通过平方，将向量转化为数量），所以，所以边上的中线的长为：. 【典例2】在中.AB＝2，AC＝，BC＝4，D为AC上一点.(1)若BD为AC边上的中线，求BD；(2)若BD为∠ABC的角平分线，求BD.【分析】（1）利用余弦定理，先求得，然后求得.（2）利用余弦定理，先求得，即可求得、，利用等面积法求得.【详解】（1）在中，，因为BD为AC边上的中线，所以，在中，，所以（活用两次余弦定理）（2）在中，，由于，所以.因为BD为的角平分线，所以.由，得（等面积法）即，解得.【题型训练-刷模拟】1.中线问题一、解答题1．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，的对边分别是，，，已知．（1）求；（2）若边上的中线的长为，求面积的最大值． 2．（青海省海东市2023届高三第三次联考数学试题）在中，内角的对边分别为，且．(1)求角的值；(2)若，求边上的中线的最大值． 3．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．(1)求A；(2)若，求边中线的取值范围． 4．（2023·全国·高三专题练习）在中，角的对边分别为，且．（1）求角A的值；（2）若边上的中线，求的面积． 5．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知为的内角所对的边，向量,，且．(1)求；(2)若，的面积为，且，求线段的长． 6．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求角A；(2)若AD为BC边上中线，，求△ABC的面积. 7．（2023·全国·高三专题练习）已知的三个内角、、所对的边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，边上的中线长为，求的周长． 8．（2023·全国·高三专题练习）中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.(1)求角A的大小；(2)若边上的中线，求的面积. 9．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知中，，，(1)求；(2)若点D为BC边上靠近点B的三等分点，求的余弦值． 10．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角所对的边分别为，已知.(1)求的大小；(2)的面积等于，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长.11．（重庆市九龙坡区2023届高三二模数学试题）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求角A；(2)若，的面积为，求边BC的中线AD的长. 12．（2023·全国·高三专题练习）锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角C的值；(2)若，D为AB的中点，求中线CD的范围． 13．（浙江省重点中学拔尖学生培养联盟2023届高三下学期6月适应性考试数学试题）在中，角的对边分别为且，(1)求；(2)求边上中线长的取值范围． 14．（2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. （I）求△ABC的面积；（II）若sinA：sinC=3：2，求AC边上的中线BD的长． 15．（2023·全国·高三专题练习）在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求角C的大小；(2)若，边AB的中点为D，求中线CD长的取值范围． 16．（2023·江苏镇江·扬中市第二高级中学校考模拟预测）已知的内角的对边分别为，且，.(1)求角的大小；(2)若，点满足，点满足，求. 17．（2023·全国·高三专题练习）在中，(1)求角A的大小(2)若BC边上的中线，且，求的周长 18．（2023·全国·高三专题练习）在锐角中，角所对的边分别为，且.(1)求角的大小；(2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围.  2.角平分线问题一、解答题1．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）在中，角所对的边分别为．，角的角平分线交于点，且，．(1)求角的大小；(2)求线段的长． 2．（2023·内蒙古呼和浩特·呼市二中校考模拟预测）内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，边上的高为，(1)求c的值；(2)设是的角平分线，求的长.  3．（2023·全国·高三专题练习）在中，角，，所对的边分别为，，，且．(1)求角的大小；(2)若角的角平分线与交于点，，，求的面积． 4．（2023·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知的内角，，所对的边分别为，且满足.(1)求角；(2)若的面积为，点在边上，是的角平分线，且，求的周长. 5．（2023·全国·高三专题练习）记的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求的大小；(2)若边上的高为，且的角平分线交于点，求的最小值. 6．（2023·全国·高三专题练习）在中，内角的对边分别为，且．(1)求角的大小，(2)若，角的角平分线交于，且，求的面积． 7．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，， ，外接圆面积为.(1)求；(2)若为角的角平分线，交于点，求的长. 8．（2023·全国·高三专题练习）在 中，已知. (1)求的值；(2)若是的角平分线，求的长．  9．（2023·全国·高三专题练习）中，，，，.(1)若，，求的长度；(2)若为角平分线，且，求的面积. 10．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB(1)若，求tanC的值：(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积． 11．（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求角A的大小；(2)若，①的角平分线交于M，求线段的长；②若D是线段上的点，E是线段上的点，满足，求的取值范围． 12．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）已知的内角的对边分别为 ，且.(1)求角B；(2)设的角平分线交于点D，若，求的面积的最小值. 13．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）在中，角的对边分别为，已知，(1)求角的大小；(2)若的角平分线交于点，且，求的最小值，   14．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.且满足（a+2b）cosC+ccosA=0.(1)求角C的大小；(2)设AB边上的角平分线CD长为2，求△ABC的面积的最小值. 15．（2023·全国·高三专题练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，．已知．(1)求；(2)若外接圆面积为，求的最大值；(3)若，且的角平分线，求． 16．（2023·全国·高三专题练习）已知锐角，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且．(1)证明：；(2)若为的角平分线，交AB于D点，且．求的值．