中考数学一轮复习考点复习专题04 规律探究之图形【考点精讲】（含解析）

题型一：动点图形规律

【例1】等边△ABC在数轴上的位置如图所示，点A、C对应的数分别为0和﹣1，若△ABC绕顶点沿顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B所对应的数为1，则连续翻转2020次后，则数2020对应的点为（　　）

A．点A B．点B 

C．点C D．无法判断

【分析】根据随着翻转点的变化，可找出点的变化周期为3，结合2020为3的整数倍余1，可得出数2020对应的点为B．

【解析】解：∵翻转1次后，数1对应的点为B，翻转2次后，数2对应的点为C，翻转3次后，数3对应的点为A，翻转4次后，数4对应的点为B，…，

∴点的变化周期为3．

又∵2020÷3＝673…1，

∴连续翻转2020次后，则数2020对应的点为B．

故选：B．

【例2】（2020常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k次移动k个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（　　）

A．C、E B．E、F C．G、C、E D．E、C、F

【分析】设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+kk（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．

【解析】经实验或按下方法可求得顶点C，E和F棋子不可能停到．

设顶点A，B，C，D，E，F，G分别是第0，1，2，3，4，5，6格，

因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+kk（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，

这时P是整数，且使0k（k+1）﹣7p≤6，分别取k＝1，2，3，4，5，6，7时，

k（k+1）﹣7p＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，

若7＜k≤2020，

设k＝7+t（t＝1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p＝7mt（t+1），

由此可知，停棋的情形与k＝t时相同，

故第2，4，5格没有停棋，即顶点C，E和F棋子不可能停到．

故选：D．

1．将全体自然数按下面的方式进行排列，按照这样的排列规律，2020应位于（　　）

A．位 B．位 C．位 D．位

【分析】观察图形不难发现，每4个数为一个循环组依次循环，因为2020是第2021个数，所以用2021除以4，再根据商和余数的情况确定2020所在的位置即可．

【解析】解：由图可知，每4个数为一个循环组依次循环，

∵2020是第2021个数，

∴2021÷4＝505余1，

∴2020应位于第506循环组的第1个数，在A位．

故选：A．

题型二：几何图形规律

【例3】（2021·黑龙江）如图，菱形中，，，延长至，使，以为一边，在的延长线上作菱形，连接，得到；再延长至，使，以为一边，在的延长线上作菱形，连接，得到……按此规律，得到，记的面积为，的面积为……的面积为，则_____．

【答案】

【分析】

由题意易得，则有为等边三角形，同理可得……. 都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得，，……由此规律可得，然后问题可求解．

【详解】

解：∵四边形是菱形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴为等边三角形，

同理可得……. 都为等边三角形，

过点B作BE⊥CD于点E，如图所示：

∴，

∴，

同理可得：，，……；

∴由此规律可得：，

∴；

故答案为．

【例4】（2021·山东东营市·中考真题）如图，正方形中，，AB与直线l所夹锐角为，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，延长交直线l于点，作正方形，…，依此规律，则线段________．

【答案】

【分析】

利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.

【详解】

∵AB与直线l所夹锐角为，正方形中，，

∴∠=30°，

∴=tan30°==1，

∴；

∵=1，∠=30°，

∴=tan30°=，

∴；

∴线段,

故答案为：.

1．（2020烟台）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3为直角边作等腰直角三角形OA3A4，…，按此规律作下去，则OAn的长度为（　　）

A．（）n B．（）n﹣1 C．（）n D．（）n﹣1

【分析】利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，依据规律即可得出答案．

【解析】∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，

∴OA2；

∵△OA2A3为等腰直角三角形，

∴OA3＝2；

∵△OA3A4为等腰直角三角形，

∴OA4＝2．

∵△OA4A5为等腰直角三角形，

∴OA5＝4，

……

∴OAn的长度为（）n﹣1．

故选：B．

2．（2020盐城）把1～9这9个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛書”（图①），是世界上最早的“幻方”．图②是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则其中x的值为（　　）

A．1 B．3 C．4 D．6

【分析】根据任意一行，任意一列及两条对角线上的数之和都相等，可得第三行与第三列上的两个数之和相等，依此列出方程即可．

【解析】由题意，可得8+x＝2+7，

解得x＝1．

故选：A．

3．（2020•成都）如图，六边形ABCDEF是正六边形，曲线FA1B1C1D1E1F1…叫做“正六边形的渐开线”，，，，，，，…的圆心依次按A，B，C，D，E，F循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当AB＝1时，曲线FA1B1C1D1E1F1的长度是　    　．

【分析】利用弧长公式计算即可解决问题．

【解析】的长，

的长，

的长，

的长，

的长，

的长，

∴曲线FA1B1C1D1E1F1的长度7π，

故答案为7π．

1．（2020潍坊）如图，四边形ABCD是正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的．其中：的圆心为点A，半径为AD；的圆心为点B，半径为BA1；的圆心为点C，半径为CB1；的圆心为点D，半径为DC1；，…的圆心依次按点A，B，C，D循环．若正方形ABCD的边长为1，则的长是　    　．

【分析】曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，到ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，再计算弧长．

【解析】由图可知，曲线DA1B1C1D1A2…是由一段段90度的弧组成的，半径每次比前一段弧半径+1，AD＝AA1＝1，BA1＝BB1＝2，……，ADn﹣1＝AAn＝4（n﹣1）+1，BAn＝BBn＝4（n﹣1）+2，

故的半径为BA2020＝BB2020＝4（2020﹣1）+2＝8078，的弧长．

故答案为：4039π．

2．（2020徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于　   　．

【分析】利用三角形中位线定理证明A2B2＝2A1B1，A3B3＝2A2B2＝22•A1B1，寻找规律解决问题即可．

【解析】∵B1O＝B1A1，B1A1⊥OA2，

∴OA1＝A1A2，

∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，

∴B1A1∥B2A2，

∴B1A1A2B2，

∴A2B2＝2A1B1，

同法可得A3B3＝2A2B2＝22•A1B1，…，

由此规律可得A20B20＝219•A1B1，

∵A1B1＝OA1•tan30°1，

∴A20B20＝219，

故答案为219．

3．（2020辽阳）如图，四边形ABCD是矩形，延长DA到点E，使AE＝DA，连接EB，点F1是CD的中点，连接EF1，BF1，得到△EF1B；点F2是CF1的中点，连接EF2，BF2，得到△EF2B；点F3是CF2的中点，连接EF3，BF3，得到△EF3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD的面积等于2，则△EFnB的面积为　     　．（用含正整数n的式子表示）

【分析】先求得△EF1D的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF1F2的面积，EF2F3的面积，…，EFn﹣1Fn的面积，以及△BCFn的面积，再根据面积的和差关系即可求解．

【解析】∵AE＝DA，点F1是CD的中点，矩形ABCD的面积等于2，

∴△EF1D和△EAB的面积都等于1，

∵点F2是CF1的中点，

∴△EF1F2的面积等于，

同理可得△EFn﹣1Fn的面积为，

∵△BCFn的面积为22，

∴△EFnB的面积为2+1﹣12﹣（1）．

故答案为：．

4．（2020•湘西州）观察下列结论：

（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC＝60°；

（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD＝90°；

（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE＝108°；

…

根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．也会有类似的结论，你的结论是　                　．

【分析】根据已知所给得到规律，进而可得在正n边形A1A2A3A4…An中，对相邻的三边实施同样的操作过程会有类似的结论．

【解析】∵（1）如图①，在正三角形ABC中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝CM，∠NOC60°；

（2）如图2，在正方形ABCD中，点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝DM，∠NOD90°；

（3）如图③，在正五边形ABCDE中点M，N是AB，BC上的点，且AM＝BN，则AN＝EM，∠NOE108°；

…

根据以上规律，在正n边形A1A2A3A4…An中，

对相邻的三边实施同样的操作过程，即点M，N是A1A2，A2A3上的点，

且A1M＝A2N，A1N与AnM相交于O．

也有类似的结论是A1N＝AnM，∠NOAn．

故答案为：A1N＝AnM，∠NOAn．