中考数学一轮复习考点复习专题17 探究函数图象与性质问题【考点精讲】（含解析）

题型一：根据解析式探究函数图像与性质

【例1】（2021·山东临沂市）已知函数

（1）画出函数图象；

列表：

描点，连线得到函数图象：

（2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由；

（3）设是函数图象上的点，若，证明：．

【答案】（1）见解析；（2）有，当时，最大值为3；当时，函数有最小值；（3）见解析

【分析】

（1）选取特殊值，代入函数解析式，求出y值，列表，在图像中描点，画出图像即可；

（2）观察图像可得函数的最大值；

（3）根据，得到和互为相反数，再分，，，分别验证．

【详解】

解：（1）列表如下：

函数图像如图所示：

（2）根据图像可知：

当x=1时，函数有最大值3；当时，函数有最小值；

（3）∵是函数图象上的点，，

∴和互为相反数，

当时，，

∴，，

∴；

当时，，

则；

同理：当时，，

，

综上：．

【例2】（2021·吉林中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线（m为常数）的顶点为A．

（1）当时，点A的坐标是           ，抛物线与y轴交点的坐标是 ．

（2）若点A在第一象限，且，求此抛物线所对应的二次函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围．

（3）当时，若函数的最小值为3，求m的值．

（4）分别过点、作y轴的垂线，交抛物线的对称轴于点M、N．当抛物线与四边形PQNM的边有两个交点时，将这两个交点分别记为点B、点C，且点B的纵坐标大于点C的纵坐标．若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，直接写出m的值．

【答案】(1)，抛物线与y轴交点的坐标为(0，)；(2)，；(3) m的值为或；(4)或

【分析】

(1)将时代入直接可以求出顶点A的坐标，令中求出与y轴交点坐标；

(2)顶点，由点A在第一象限，且即可求出的值，进而求出解析式，再由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，由此即可求解；

(3)分m≥0和m＜0时讨论：当m≥0且时，函数的最小值为时取得；当，且时，时，函数的最小值为时取得；

(4)先算出P、Q、M、N四个点的坐标，然后再分情况讨论二次函数与矩形PQMN的两边交点，求出B、C坐标，由“B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等”即可求解．

【详解】

解：(1)由题意可知，二次函数顶点坐标，

当时，顶点坐标为，

此时抛物线解析式为：，令，

∴，

∴抛物线与y轴交点的坐标为(0，)；

(2)顶点坐标，

∴，

又已知，

∴，且A点在第一象限，

∴，此时抛物线的解析式为：，

抛物线的对称轴为，

由开口向上可知在对称轴左侧y随x的增大而减小，

∴y随x的增大而减小时的取值范围为：，

故答案为：，；

(3)函数的对称轴为，且开口向上，

当，且时，时，函数有最小值为，

由已知：函数的最小值为3，

∴，解得，

当，且时，时，函数有最小值为，

由已知：函数的最小值为3，

∴，解得或(正值舍去)，

故m的值为或；

(4)由题意可知，、、、，

分类讨论：

情况一：抛物线与矩形PQMN的两边PQ和NQ相交时，

∵点B的纵坐标大于点C的纵坐标，

∴B在线段PQ上，C在线段NQ上，

此时B到y轴的距离为P点横坐标的绝对值，即为4，

C到x轴的距离为Q点纵坐标的绝对值，即为，

由已知：点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，

∴，解得或

此时抛物线变为或均与线段PQ没有交点，如下图所示，

故舍去；

情况二：抛物线与矩形PQMN的两边PQ和MN相交时，

∵点B的纵坐标大于点C的纵坐标，

∴B在线段PQ上，C在线段MN上，

此时B到y轴的距离为P点横坐标的绝对值，即为4，

C到x轴的距离为C点纵坐标的绝对值，又C的横坐标为m，代入抛物线中，得到，

由已知：点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，

∴ ，解得或，

当时，抛物线与线段PQ无交点，故舍去，

当时，P点与Q点重合，故舍去；

情况三：抛物线与矩形PQMN的两边MP和MN相交时，

∵点B的纵坐标大于点C的纵坐标，

∴B在线段PM上，C在线段MN上，

此时B到y轴的距离为P点横坐标的绝对值，B点的纵坐标为4，代入抛物线中，得到或

C到x轴的距离为C点纵坐标的绝对值，又C的横坐标为m，代入抛物线中，得到，

由已知：点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等，

∴，解得或或或，

由上述第一、二种情况可知，或舍去，

当或时，符合题意，

综上所述，m的值为或．

题型二：实际问题探究函数性质

【例2】（2021·吉林长春市）《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水查流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间，某学校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究：

（实验观察）实验小组通过观察，每2小时记录次箭尺读数，得到下表：

（探索发现）(1)建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x．纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点．

(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式，如果不在同一条直线上，说明理由．

（结论应用）应用上述发现的规律估算：

(3)供水时间达到12小时时，箭尺的读数为多少厘米？

(4)如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当箭尺读数为90厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）

【答案】(1)见解析；(2)在同一直线上，解析式为；(3)；(4)当天晚上的22:00．

【分析】

(1)将各点在坐标系中直接描出即可；

(2)观察发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，由此可判断它们在同以直线上，设直线解析式为，再代入两个点坐标即可求解；

(3)当时代入(2)中解析式即可求出箭尺的读数；

(4)当时代入(2)中解析式即可求出供水时间，再结合实验开始时间为8:00即可求解．

【详解】

解：(1)将表格中各点在直角坐标系中描出来如下图所示：

(2)分析表格中数据发现，供水时间每增加2小时，箭尺读数增加12cm，观察(1)中直角坐标系点的特点，发现它们位于同一直线上，

设直线解析式为，代入点(0，6)和点(2，18)，

得到，解得，

∴直线的表达式为：；

(3)当供水时间达到12小时时，即时，代入中，

解得cm，

∴此时箭尺的读数为；

(4)当箭尺读数为90厘米时，即时，代入中，

解得(小时)，

∴经过14小时后箭尺读数为90厘米，

∵实验记录的开始时间是上午8:00，

∴箭尺读数为90厘米时对应的时间为8+14=22，即对应当天晚上的22:00．

1．（2020•重庆）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数y的图象并探究该函数的性质．

（1）列表，写出表中a，b的值：a＝　   ，b＝　    　；

描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．

（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（在答题卡相应位置正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：

①函数y的图象关于y轴对称；

②当x＝0时，函数y有最小值，最小值为﹣6；

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小．

（3）已知函数yx的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式x的解集．

【分析】（1）将x＝﹣3，0分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；

（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；

（3）根据图象求得即可．

【解析】（1）x＝﹣3、0分别代入y，得a，b6，

故答案为，﹣6；

画出函数的图象如图：

，

故答案为，﹣6；

（2）根据函数图象：

①函数y的图象关于y轴对称，说法正确；

②当x＝0时，函数y有最小值，最小值为﹣6，说法正确；

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小，说法错误．

（3）由图象可知：不等式x的解集为x＜﹣4或﹣2＜x＜1．

2．（2020•济宁）在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2．

（1）y关于x的函数关系式是　   　，x的取值范围是　    　；

（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；

（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后与上述函数图象有且只有一个交点，请求出此时a的值．

【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；

（2）根据题意在平面直角坐标系中画出该函数图象即可；

（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，根据一元二次方程根的判别式即可得到结论．

【解析】（1）∵在△ABC中，BC边的长为x，BC边上的高为y，△ABC的面积为2，

∴xy＝2，

∴xy＝4，

∴y关于x的函数关系式是y，

x的取值范围为x＞0，

故答案为：y，x＞0；

（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象如图所示；

（3）将直线y＝﹣x+3向上平移a（a＞0）个单位长度后解析式为y＝﹣x+3+a，

解，整理得，x2﹣（3+a）x+4＝0，

∵平移后的直线与上述函数图象有且只有一个交点，

∴△＝（3+a）2﹣16＝0，

解得a＝1，a＝﹣7（不合题意舍去），

故此时a的值为1．

3．（2020•河北）表格中的两组对应值满足一次函数y＝kx+b，现画出了它的图象为直线1，如图．而某同学为观察k，b对图象的影响，将上面函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图象为直线l'．

（1）求直线1的解析式；

（2）请在图上画出直线l'（不要求列表计算），并求直线l'被直线l和y轴所截线段的长；

（3）设直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出a的值．

【分析】（1）根据待定系数法求得即可；

（2）画出直线l，求得两直线的交点，根据勾股定理即可求得直线l'被直线l和y轴所截线段的长；

（3）求得两条直线与直线y＝a的交点横坐标，分三种情况讨论求得即可．

【解析】（1）∵直线l′：y＝bx+k中，当x＝﹣1时，y＝﹣2；当x＝0时，y＝1，

∴，解得，

∴直线1′的解析式为y＝3x+1；

∴直线1的解析式为y＝x+3；

（2）如图，解得，

∴两直线的交点为（1，4），

∵直线1′：y＝3x+1与y轴的交点为（0，1），

∴直线l'被直线l和y轴所截线段的长为：；

（3）把y＝a代入y＝3x+1得，a＝3x+1，解得x；

把y＝a代入y＝x+3得，a＝x+3，解得x＝a﹣3；

当a﹣30时，a，

当（a﹣3+0）时，a＝7，

当（0）＝a﹣3时，a，

∴直线y＝a与直线1，l′及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，则a的值为或7或．

4．（2020•重庆）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数y性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；

（2）根据函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；

①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．

②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3．

③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大．

（3）已知函数y＝2x﹣1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式2x﹣1的解集（保留1位小数，误差不超过0.2）．

【分析】（1）将x＝﹣3，3分别代入解析式即可得y的值，再画出函数的图象；

（2）结合图象可从函数的增减性及对称性进行判断；

（3）根据图象求得即可．

【解析】（1）补充完整下表为：

画出函数的图象如图：

；

（2）根据函数图象：

①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴，说法错误；

②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当x＝1时，函数取得最大值3；当x＝﹣1时，函数取得最小值﹣3，说法正确；

③当x＜﹣1或x＞1时，y随x的增大而减小；当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大，说法正确．

（3）由图象可知：不等式2x﹣1的解集为x＜﹣1或﹣0.3＜1.8．

5．（2021·江西）二次函数的图象交轴于原点及点．

感知特例

（1）当时，如图1，抛物线上的点，，，，分别关于点中心对称的点为，，，，，如下表：

①补全表格；

②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为．

形成概念

我们发现形如（1）中的图象上的点和抛物线上的点关于点中心对称，则称是的“孔像抛物线”．例如，当时，图2中的抛物线是抛物线的“孔像抛物线”．

探究问题

（2）①当时，若抛物线与它的“孔像抛物线”的函数值都随着的增大而减小，则的取值范围为_______；

②在同一平面直角坐标系中，当取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数的所有“孔像抛物线”，都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是______．（填“”或“”或“”或“”，其中）；

③若二次函数及它的“孔像抛物线”与直线有且只有三个交点，求的值．

【答案】（1）①2，0；②见解析；（2）①；②；③m=1．

【分析】

（1）①根据中心对称的定义求解即可；②根据表格，描点，连线即可；

（2）①画出草图，利用数形结合思想即可求解；②结合（1）②的图象以及（2）①的图象即可回答；③根据“孔像抛物线”的性质求得图象L的顶点为，则图象L′的顶点为 (3m，)，再根据题意即可求解．

【详解】

（1）∵点B(-1，3)与点B′(5，-3)关于点A中心对称，

∴点A的坐标为(，)，即A(2，0)，

故答案为：2，0；

②描点，连线，得到的图象如图所示：

（2）①当m=−1时，抛物线L为，对称轴为，

它的“孔像抛物线”L′的解析式为，对称轴为，

画出草图如图所示：

∴抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小，

则x的取值范围为：；

②画出草图，

由图象知，这条抛物线的解析式只能是；

故答案为：；

③L：，设顶点为，过点P作PM⊥轴于点M，“孔像抛物线”的顶点为，过点作⊥x轴于点，

由题意可知△PMA≌△A，

得 (3m，0)，所以 (3m，)，

∵抛物线L及“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点，

∴=m或=m，

解得m=1或0，

当m=0时，与只有一个交点，不合题意，舍去，

∴m=1．