安徽省芜湖市市区2021-2022学年八年级上册期中数学【试卷+答案】

这是一份安徽省芜湖市市区2021-2022学年八年级上册期中数学【试卷+答案】，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年安徽省芜湖市市区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的。请把正确选项的代号写在下面的答题表内（本大题共10小题，每题4分，共40分）答题表
1．（4分）手机已逐渐成为人们日常通讯的主要工具，其背后离不开通讯运营商的市场支持，如图展现的是我国四大通讯运营商的企业图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（4分）如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x＝（　　）

A．55° B．60° C．65° D．45°
4．（4分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为（　　）

A．16 B．13 C．19 D．10
5．（4分）如图，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，下列条件：①OP是∠AOB的平分线；②PD＝PE；③DO＝EO；④∠OPD＝∠OPE；其中能够证明△DOP≌△EOP的条件的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（4分）下图是课本中作一个角等于已知角的方法，这种作法的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
7．（4分）如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上（　　）根木条．

A．2 B．3 C．4 D．5
8．（4分）一块含30°角的直角三角尺与直尺的摆放位置如图所示，若∠1＝62°，则∠2的度数为（　　）

A．28° B．38° C．58° D．32°
9．（4分）如图，AB，CD相交于点E，且AB＝CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A＝∠C；②∠B＝∠D；③AE＝CE；④BE＝DE；⑤AD＝CB．其中符合要求有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
10．（4分）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，BE平分外角∠MBC交DC的延长线于点E．以下结论：①∠BDE＝∠BAC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）一等腰三角形的底边长为15cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的周长为 　 　．
12．（5分）如图，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，∠BDC＝　 　．

13．（5分）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为 　 　．
14．（5分）如图，在△ABC中，∠F＝16°，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠A＝　 　．

三、（本大题共2小题，每小题0分，满分0分）
15．如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，AB＝6，BC＝8，CE＝10．
（1）求△ABC的周长；
（2）求△ACE的面积．

16．如果一个多边形的每个外角都相等，且比内角小36°，求这个多边形的边数和内角和．
四、（本大题共2小题，每小题0分，满分0分）
17．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为A（﹣4，5），C（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格内作出x轴、y轴；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）写出点B1的坐标并求出△A1B1C1的面积．

18．如图，△ABC≌△ADE，∠EAB＝125°，∠CAD＝25°，求∠BAC的度数．

五、（本大题共2小题，每小题0分，满分0分）
19．如图∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE．求证AB＝AC．

20．如图，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE．

六、（本题满分0分）
21．如图，四边形ABCD中，CD＝CB，AC平分∠DAB，CH⊥AB于点H．
（1）求证：∠ADC+∠B＝180°；
（2）若AD＝3，AB＝8，求AH的长．

七、（本题满分0分）
22．在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，并说明理由？

八、（本题满分0分）
23．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连结CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 　 　；中线BD的取值范围是 　 　．
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN，求证：AM+CN＞MN．
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．

2021-2022学年安徽省芜湖市市区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的。请把正确选项的代号写在下面的答题表内（本大题共10小题，每题4分，共40分）答题表
1．（4分）手机已逐渐成为人们日常通讯的主要工具，其背后离不开通讯运营商的市场支持，如图展现的是我国四大通讯运营商的企业图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了轴对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
2．（4分）下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据三角形高的画法知，过点B作AC边上的高，垂足为E，其中线段BE是△ABC的高，再结合图形进行判断．
【解答】解：线段BE是△ABC的高的图是选项C．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键．
3．（4分）如图所示，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x＝（　　）

A．55° B．60° C．65° D．45°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠C，根据全等三角形的性质得出∠B′＝∠C，再得出答案即可．
【解答】解：∵△ABC≌△A′C′B′，
∴∠B′＝∠C，
∵∠A＝65°，∠B＝55°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣65°﹣55°＝60°，
∴x＝60°，
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
4．（4分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3，△ABD的周长为13，△ABC的周长为（　　）

A．16 B．13 C．19 D．10
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝6，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝3，
∴DA＝DC，AC＝2AE＝6，
∵△ABD的周长为13，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（4分）如图，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，下列条件：①OP是∠AOB的平分线；②PD＝PE；③DO＝EO；④∠OPD＝∠OPE；其中能够证明△DOP≌△EOP的条件的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．
【解答】解：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE，
在Rt△POD和Rt△POE中，
，
∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），②符合题意；
∵OP是∠AOB的角平分线，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，
在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE（AAS），①符合题意；
在Rt△POD和Rt△POE中，
，
∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），③符合题意；
在△OPD和△OPE中，
，
∴△OPD≌△OPE（AAS），④符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6．（4分）下图是课本中作一个角等于已知角的方法，这种作法的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【分析】根据全等三角形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：在△C′O′D′和△COD中，
，
∴△C′O′D′≌△COD（SSS），
∴∠A′O′B′＝∠AOB．
故选：A．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定，解决本题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法．
7．（4分）如图，王师傅用六根木条钉成一个六边形木框，要使它不变形，至少还要再钉上（　　）根木条．

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据三角形具有稳定性，钉上木条后把六边形分成三角形即可．
【解答】解：如图，他至少还要再钉上3根木条．

故选：B．
【点评】此题考查了三角形具有稳定性，是基础题，作出图形更形象直观．
8．（4分）一块含30°角的直角三角尺与直尺的摆放位置如图所示，若∠1＝62°，则∠2的度数为（　　）

A．28° B．38° C．58° D．32°
【分析】先根据平行线的性质求出∠3，再根据三角形的外角的性质求出∠4，再根据对顶角相等得到∠2．
【解答】解：如图所示：
∵∠1＝62°，
∴由两直线平行，内错角相等的性质可得∠3＝62°，
∴由三角形的外角的性质可得∠4＝∠3﹣30°＝32°，
∴∠2＝∠4＝32°．
故选：D．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等是解决问题的关键．
9．（4分）如图，AB，CD相交于点E，且AB＝CD，试添加一个条件使得△ADE≌△CBE．现给出如下五个条件：①∠A＝∠C；②∠B＝∠D；③AE＝CE；④BE＝DE；⑤AD＝CB．其中符合要求有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】根据三角形全等的判定方法逐一判断即可．
【解答】解：延长DA，BC使它们相交于点F．
∵∠DAB＝∠BCD，∠AED＝∠BEC，
∴∠ABC＝∠CDA，
在△FAB和△FCD中，
，
∴△FAB≌△FCD（AAS），
∴AF＝FC，FD＝FB，
∴AD＝BC，
在△ADE和△CBE中，
，
∴△ADE≌△CBE（AAS）①对，
同理可得②对，
∵AE＝CE，AB＝CD，
∴DE＝BE，
在△ADE和△CBE中，
，
∴△ADE≌△CBE（SAS）③对，
同理可得④对，
连接BD，
在△ADB和△CBD中，
，
∴△ADB≌△CBD（SSS），
∴∠A＝∠C，
在△ADE和△CBE中，
，
∴△ADE≌△CBE（AAS），故⑤正确，
故选：A．

【点评】本题考查了三角形内角和定理和全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
10．（4分）如图，∠ABC＝∠ACB，BD、CD分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠ACP，BE平分外角∠MBC交DC的延长线于点E．以下结论：①∠BDE＝∠BAC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠BAC+2∠BEC＝180°．其中正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据三角形的内角和定理、三角形的外角的性质判断即可．
【解答】解：①∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDE＝∠BAC，故①正确．
②∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，
∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝∠ABC+∠MBC＝×180°＝90°，
∴EB⊥DB，故②正确，
③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，
∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BAC+2∠ABC＝180°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠BDC+∠ABC＝90°，故③正确，
④∵∠BEC＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（180°+∠BAC），
∴∠BEC＝90°﹣∠BAC，
∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④正确，
故选：D．

【点评】本题考查的是三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）一等腰三角形的底边长为15cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的周长为 　55cm或35cm　．
【分析】两部分之差可以是底边与腰之差，也可能是腰与底边之差，解答时应注意．设等腰三角形的腰长是xcm，根据其中一部分比另一部分长5cm，即可列方程求解．
【解答】解：如图，设等腰三角形的腰长是xcm．
当AD+AC与BC+BD的差是5cm时，即x+x﹣（x+15）＝5，
解得：x＝20，
故15，20，20能够组成三角形；
这个三角形的周长为55cm；
当BC+BD与AD+AC的差是5cm时，即15+x﹣（x+x）＝5，
解得：x＝10，
15，10，10能组成三角形．
故这个三角形的周长为35cm．
故答案为：55cm或35cm．

【点评】本题考查等腰三角形的性质：等腰三角形有两边相等，同时考查了三角形的三边关系．
12．（5分）如图，BD平分∠ABP，CD平分∠ACP，若∠A＝40°，∠BPC＝130°，∠BDC＝　85°　．

【分析】根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝140°，∠PBC+∠PCB＝50°，根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】解：∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∵∠BPC＝130°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠BPC＝50°，
∴∠ABP+∠ACP＝140°﹣50°＝90°，
∵BD是∠ABP的平分线，CD是∠ACP的平分线，
∴∠DBP＝∠ABP，∠DCP＝∠ACP，
∴∠DBP+∠DCP＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠PBC+∠PCB+∠DBP+∠DCP＝50°+45°＝95°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣95°＝85°．
故答案为：85°．
【点评】本题考查的是三角形角平分线的定义、三角形内角和定理，掌握三角形角平分线的定义和整体思想的运用是解题的关键．
13．（5分）在一个凸n边形的纸板上切下一个三角形后，剩下一个内角和为1080°的多边形，则n的值为 　7或8或9　．
【分析】根据多边形的内角和公式列方程求出切下一个三角形后多边形的边数，再分新多边形的边数比原多边形的边数增加1，减少1，不变三种情况求解．
【解答】解：设切下一个三角形后多边形的边数x，
由题意得，（x﹣2）•180°＝1080°，
解得x＝8，
所以，n＝8﹣1＝7，
n＝8+1＝9，
或n＝x＝8．
故答案为：7或8或9．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，难点在于熟悉切下一个三角形后多边形的边数与原多边形的边数的有三种情况．
14．（5分）如图，在△ABC中，∠F＝16°，BD、CD分别平分∠ABC，∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC，∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠A＝　52°　．

【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的性质可求出∠E，利用三角形内角和定理求出∠5+∠6+∠1，得到∠MBC+∠NCB，从而求出∠DBC+∠DCB，再次利用角平分线的性质与三角形内角和定理即可求解．
【解答】解：如图，

∵BF，CF分别平分∠EBC，∠ECQ，
∴∠5＝∠6，∠2＝∠3+∠4，
∵∠3+∠4＝∠5+∠F，2∠2＝2∠5+∠E，
∴2∠F＝∠E＝32°，
∵BE，CE分别平分∠MBC，∠BCN，
∴∠5+∠6＝，，
∴，
∵∠E＝180°﹣（∠5+∠6+∠1）＝32°，
∴∠5+∠6+∠1＝148°，
∴∠MBC+∠NCB＝2（∠5+∠6+∠1）＝296°，
∵BD，CD分别平分∠ABC，ACB，
∴∠DBC＝，，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠MBC+180°﹣∠NCB＝360°﹣（∠MBC+∠NCB）＝64°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（∠DBC+∠DCB）＝52°，
故答案为：52°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形内角和定理三角形外角性质，角平分线的性质是解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题0分，满分0分）
15．如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，AB＝6，BC＝8，CE＝10．
（1）求△ABC的周长；
（2）求△ACE的面积．

【分析】（1）根据全等三角形的对应边相等求出AC，根据三角形的周长公式计算，得到答案；
（2）根据全等三角形的性质求出∠ACE＝90°，根据等腰直角三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△CDE，CE＝10，
∴AC＝CE＝10，
∵AB＝6，BC＝8，
∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝6+8+10＝24；
（2）∵∠B＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵△ABC≌△CDE，
∴∠ECD＝∠CAB，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝90°，
∵AC＝CE＝10，
∴△ACE的面积＝×10×10＝50．
【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等、对应边相等是解题的关键．
16．如果一个多边形的每个外角都相等，且比内角小36°，求这个多边形的边数和内角和．
【分析】先根据多边形的内角和外角的关系，求出一个内角．再根据外角和是固定的360°，从而可代入公式求解．
【解答】解：设多边形的一个外角为x度，则一个内角为（x+36）度，依题意得
x+x+36＝180，
解得x＝72．
360°÷72°＝5．（5﹣2）×180°＝540°
故这个多边形的边数为5，内角和是540°．
【点评】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．关键是记住多边形的每一个内角与其相邻的外角互补、及外角和的特征．
四、（本大题共2小题，每小题0分，满分0分）
17．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为A（﹣4，5），C（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格内作出x轴、y轴；
（2）请作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）写出点B1的坐标并求出△A1B1C1的面积．

【分析】（1）根据点C的坐标确定坐标原点位置，然后再画出坐标轴即可；
（2）首先确定A、B、C三点关于y轴对称点的位置，然后再连接即可；
（3）利用矩形面积减去周围多余三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）B1（2，1），
S△A1B1C1＝3×4﹣×4×2﹣×1×2﹣×3×2，
＝12﹣4﹣1﹣3，
＝4．

【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，关键是确定组成图形的关键点的对称点位置．
18．如图，△ABC≌△ADE，∠EAB＝125°，∠CAD＝25°，求∠BAC的度数．

【分析】根据全等三角形的性质求出∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D，求出∠EAC＝∠DAB＝50°，即可得到∠BAC的度数．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D，
∴∠EAD﹣∠CAD＝∠CAB﹣∠CAD，
∴∠EAC＝∠DAB，
∵∠EAB＝125°，∠CAD＝25°，
∴∠DAB＝∠EAC＝（125°﹣25°）＝50°，
∴∠CAB＝50°+25°＝75°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的性质求出∠EAD＝∠CAB，∠B＝∠D是解此题的关键，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．
五、（本大题共2小题，每小题0分，满分0分）
19．如图∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE．求证AB＝AC．

【分析】根据AAS证明△ABD和△ACE全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AB＝AC．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应边相等．
20．如图，已知，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，且CE⊥BD交BD的延长线于点E．求证：BD＝2CE．

【分析】延长CE与BA的延长线相交于点F，利用ASA证明△ABD和△ACF全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：如图，延长CE与BA的延长线相交于点F，

∵∠EBF+∠F＝90°，∠ACF+∠F＝90°，
∴∠EBF＝∠ACF，
在△ABD和△ACF中，
，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠EBC＝∠EBF．
在△BCE和△BFE中，
，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
∴CF＝2CE，
∴BD＝CF＝2CE．
【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
六、（本题满分0分）
21．如图，四边形ABCD中，CD＝CB，AC平分∠DAB，CH⊥AB于点H．
（1）求证：∠ADC+∠B＝180°；
（2）若AD＝3，AB＝8，求AH的长．

【分析】（1）由角平分线的性质可得CE＝CH，∠EAC＝∠BAC，由“HL”可证Rt△CDE≌Rt△CBH，可得∴∠B＝∠CDE，由平角的性质可得结论；
（2）由全等三角形的性质可得BH＝DE，由角平分线的性质可得AE＝AH，即可求解．
【解答】证明：（1）如图，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于E，

∵AC平分∠DAB，CH⊥AB，CE⊥AD，
∴CE＝CH，∠EAC＝∠BAC，
在Rt△CDE和Rt△CBH中，
，
∴Rt△CDE≌Rt△CBH（HL），
∴∠B＝∠CDE，
∵∠CDE+∠ADC＝180°，
∴∠ADC+∠B＝180°；
（2）∵Rt△CDE≌Rt△CBH，
∴BH＝DE，
∵∠EAC＝∠BAC，∠E＝∠AHC＝90°，
∴∠ACE＝∠ACH，
又∵CH⊥AB，CE⊥AD，
∴AE＝AH，
∵AD+AB＝AE﹣DE+AH+HB＝2AH，
∴AH＝＝．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．
七、（本题满分0分）
22．在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系，并说明理由？

【分析】延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，利用SAS证明△ABE和△ADG全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【解答】解：EF＝BE+DF．
理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，

在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝120°，∠EAF＝60°，
∴∠BAD＝2∠EAF，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD−∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+DF，
∴EF＝BE+DF．
【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
八、（本题满分0分）
23．（1）阅读理解：如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8．求AC边上的中线BD的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连结CE．利用全等将边AB转化到CE，在△BCE中利用三角形三边关系即可求出中线BD的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 　SAS　；中线BD的取值范围是 　1＜BD＜9　．
（2）问题解决：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，点M在AB边上，点N在BC边上，若DM⊥DN，求证：AM+CN＞MN．
（3）问题拓展：如图3，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中∠ABM＝∠NBC＝90°，连接MN，探索BD与MN的关系，并说明理由．
【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△CED得出CE＝AB＝10，在△CBE中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（2）延长ND至点F，使FD＝ND，连接AF、MF，同（1）得：△AFD≌△CND，由全等三角形的性质得出AF＝CN，由线段垂直平分线的性质得出MF＝MN，在△AFM中，由三角形的三边关系即可得出结论；
（3）延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，由（1）得：△ABD≌△CED，由全等三角形的性质得出∠ABD＝∠E，AB＝CE，证出∠BCE＝∠MBN，证明△BCE≌△NBM得出BE＝MN，∠EBC＝∠MNB，则2BD＝MN．延长DB交MN于G，证出∠BGN＝90°，得出BD⊥MN．即可．
【解答】（1）解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CD，
在△ABD和△CED中，
，
∴△ABD≌△CED（SAS），
∴CE＝AB＝10，
在△CBE中，由三角形的三边关系得：CE﹣BC＜BE＜CE+BC，
∴10﹣8＜BE＜10+8，即2＜BE＜18，
∵BE＝2BD，
∴2＜2BD＜18，
∴1＜BD＜9；
故答案为：SAS；1＜BD＜9；
（2）证明：延长ND至点F，使FD＝ND，连接AF、MF，如图2所示：
同（1）得：△AFD≌△CND（SAS），
∴AF＝CN，
∵DM⊥DN，FD＝ND，
∴MF＝MN，
在△AFM中，由三角形的三边关系得：AM+AF＞MF，
∴AM+CN＞MN；
（3）解：2BD＝MN，BD⊥MN，理由如下：
延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，如图3所示：
由（1）得：△ABD≌△CED，
∴∠ABD＝∠E，AB＝CE，
∵∠ABM＝∠NBC＝90°，
∴∠ABC+∠MBN＝180°，
即∠ABD+∠CBD+∠MBN＝180°，
∵∠E+∠CBD+∠BCE＝180°，
∴∠BCE＝∠MBN，
∵△ABM和△BCN是等腰直角三角形，
∴AB＝MB，BC＝BN，
∴CE＝MB，
在△BCE和△NBM中，
，
∴△BCE≌△NBM（SAS），
∴BE＝MN，∠EBC＝∠MNB，
∴2BD＝MN．
延长DB交MN于G，
∵∠NBC＝90°，
∴∠EBC+∠NBG＝90°，
∴∠MNB+∠NBG＝90°，
∴∠BGN＝90°，
∴BD⊥MN．


【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．

2021/11/29 13:57:58；