福建省泉州市永春五中片区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷（Word版含答案）

福建省泉州市永春五中片区2021-2022学年九年级上学期期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 二次根式中的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 在下列二次根式中，与是同类二次根式的是

A.  B.  C.  D.

4. 把方程化成的形式，则，，的值分别为

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

5. 下列各组长度的线段单位：中，成比例线段的是

A. ，，， B. ，，， C. ，，， D. ，，，

6. 下列方程是一元二次方程的是

A.  B.
C.  D.

7. 用配方法解方程，配方后所得方程为

A.  B.  C.  D.

8. 如图所示的是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼，表示旗杆，则实验楼的位置可表示成

A.    B.
C.    D.

9. 已知：∽，下列图形中，与不存在位似关系的是

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连按、，有以下结论：∽；是等腰直角三角形；当时，；；若点是的中点，则，其中正确的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 计算：______．
12. 方程的解为______．
13. 与是相似三角形，且对应面积比为：，则与的周长比为______．
14. 如图，用一段篱笆靠墙围成一个大长方形花圃靠墙处不用篱笆，中间用篱笆隔开分成两个小长方形区域，分别种植两种花草，篱笆总长为米恰好用完，围成的大长方形花圃的面积为平方米，设垂直于墙的一段篱笆长为米，可列出方程为______．
15. 请阅读材料，并解决实际问题：海伦--秦九韶公式：海伦约公元年，古希腊几何学家，在数学史上以解决几何测量问题闻名，在他的著作度量一书中证明了一个利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：假设在平面内，有一个三角形的三条边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积这个公式称海伦公式．秦九韶约，我国南宋时期的数学家，曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式它填补了中国数学史上的一个空白，从中可以看出中国古代已经具有很高的数学水平．通过公式变形，可以发现海伦公式和秦九韶公式实质是同一公式，所以海伦公式也称海伦--秦九韶公式．问题：在中，，，，用海伦--秦九韶公式求的面积为______．
16. 如图，点、是线段上的点，、、都是等边三角形，且，，已知与的相似比为：则：
    ______；
    图中阴影部分面积为______．

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

17. 如图，在中，，分别是边，上的点，连接，且，，．
    求证：∽．
    如果是的中点，，，求的长．
     

四、解答题（本大题共8小题，共58分）

18. 计算：
    
    
    
    
    
    
     
19. 解下列方程：
    ；．
    
    
    
     
20. 已知：关于的方程
    求证：方程有两个不相等的实数根；
    若方程的一个根是，求另一个根及值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，的顶点坐标分别为、、，将这三个顶点的坐标同时扩大到原来的倍，得到对应点、、．
    
    在图中画出；
    点是否在直线上？为什么？
    与______位似图形填“是”或“不是”．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某医药商店销售一款口罩，每袋成本价为元，按物价部门规定，每袋售价大于元但不得高于元，且为整数经市场调查发现，当售价为元时，日均销售量为袋，在此基础上，每袋售价每增加元，日均销售量减少袋；每袋售价每减少元，日均销售量增加袋设该商店这款口罩售价为元．
    这款口罩日均销售量为______ 袋用含的代数式表示
    若该商店这款口罩日均销售额为元，求的值销售额销售量售价
    是否存在的值，使得该商店销售这款口罩的日均毛利润为元？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由毛利润销售量售价成本价
    
    
    
    
    
    
     
23. 如果两个一次函数和满足，，那么称这两个一次函数为“平行一次函数”．
    如图，已知函数的图象与轴、轴分别交于、两点，一次函数与是“平行一次函数”
    若函数的图象过点，求的值；
    若函数的图象与两坐标轴围成的三角形和构成位似图形，位似中心为原点，位似比为：，求函数的表达式．

24. 已知：如图，在中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动速度为，设运动时间为，解答下列问题：
    当为何值时，？
    是否存在某一时刻，使：：？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
    是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

25. 小米同学遇到了这样一个问题：如图所示，已知，是的中线，且，垂足为，设，，．
    求证：．
    该同学仔细分析后，得到如下解题思路：
    先连接，利用为的中位线得到∽，故，设，，用，把，分别表示出来，再在，，中利用勾股定理计算，消去，即可得证．
    请你根据以上解题思路帮该同学写出证明过程．
    利用题中的结论，解答下列问题：
    在边长为的菱形中，为对角线，的交点，，分别为线段，的中点，连接，并延长交于点，，分别交于点，，如图所示，
    求证：、分别为、中点．
    求的长．
    求的值．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：由题可得，，
解得，
故选：．
二次根式有意义的条件是：二次根式中的被开方数必须是非负数．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．
 

2.【答案】
 

【解析】解：选项，，故该选项正确，符合题意；
选项，，故该选项错误，不符合题意；
选项，，故该选项错误，不符合题意；
选项，，故该选项错误，不符合题意．
故选：．
根据算术平方根，平方根的定义，二次根式的性质分别计算即可．
本题考查了算术平方根，平方根的定义，二次根式的性质，解题时注意算术平方根与平方根的区别．
 

3.【答案】
 

【解析】解：．与不是同类二次根式，此选项不符合题意；
B.，与不是同类二次根式，此选项不符合题意；
C.，与是同类二次根式，此选项符合题意；
D.，与不是同类二次根式，此选项不符合题意；
故选：．
根据同类二次根式的概念逐一判断即可．
本题主要考查同类二次根式，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
，
，
，
则，，，
故选：．
先把化简，然后根据一元二次方程的一般形式即可得到、、的值．
本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中叫二次项系数，叫一次项系数，叫常数项．
 

5.【答案】
 

【解析】解：：：，故四条线段不成比例，不合题意；
B.：：，故四条线段不成比例，不合题意；
C.：：，故四条线段成比例，符合题意；
D.：：，故四条线段不成比例，不合题意．
故选：．
如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
此题考查了比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
 

6.【答案】
 

【解析】解：、含有个未知数，不是一元二次方程，故选项不符合题意；
B、是一元二次方程，选项符合题意；
C、不是整式方程，则不是一元二次方程，选项不符合题意；
D、是一次方程，故选项补给、符合题意．
故选：．
本题根据一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是；二次项系数不为据此即可判断．
本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
 

7.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
故选：．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上，然后根据完全平方公式得到．
本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图所示：实验楼的位置可表示成．
故选：．
直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：、与是位似关系，故此选项不合题意；
B、与是位似关系，故此选项不合题意；
C、与是位似关系，故此选项不合题意；
D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意；
故选：．
根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：如图，四边形是正方形，
，
，，
∽，
，
，
，
∽，故正确，
，
是等腰直角三角形，故正确，
在和中，
，
≌，
，
，
，
假设正方形边长为，设，则，
如图，连接，交于，

，，
是的垂直平分线，
，，
中，，
中，，
，
，
≌，
，
，
，
，
，故不正确，
如图，

将绕点顺时针旋转得到，则，，
，
，
、、三点共线，
在和中，
，
≌，
，故正确，
如图中，设正方形的边长为，则，，

，
，
，
，
，故正确．
故选：．
如图，证明∽和∽，
利用相似三角形的性质可得，则是等腰直角三角形可作判断；
先证明，假设正方形边长为，设，则，表示的长为可作判断；
如图，将绕点顺时针旋转得到，证明≌，则，可作判断；
如图中，设正方形的边长为，则，，想办法求出，即可判断．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线构造全等三角形，属于中考压轴题．
 

11.【答案】
 

【解析】解：

．
故答案为：．
直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：方程，
移项，得，
开平方，得，
故答案为：．
移项，再直接开平方求解．
本题考查了直接开方法解一元二次方程．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；同号且；；同号且法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为，再开平方取正负，分开求得方程解”．
 

13.【答案】：
 

【解析】解：与相似且面积的比为：，
与的相似比为：：，
与周长的比为：：．
故答案为：：．
由与相似且面积的比为：，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得与的相似比，又由相似三角形的周长的比等于相似比，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意熟记性质定理是解此题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：若设垂直于墙的一段篱笆长为米，则平行于墙的一段篱笆长为米，
依题意得：．
故答案为：．
若设垂直于墙的一段篱笆长为米，则平行于墙的一段篱笆长为米，根据围成的大长方形花圃的面积为平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
这个三角形的面积：


．
故答案为：．
直接利用已知公式求出的值，进而代入三角形面积公式得出答案．
此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
 

16.【答案】 
 

【解析】解：、都是等边三角形，
∽，
，即，
解得；

解：如图，设与、分别相交于点、，
，
．
．
又，
．
．
．
，
．
∽．
．
，即，
解得，
所以，．
，
，
，
即阴影部分面积为．
故答案为：；．
利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
设与、分别相交于点、，根据等边对等角求出，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后求出，再根据相似三角形对应边成比例求出，从而得到，然后求出，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
本题考查了相似三角线的判定与性质等边三角形的性质，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于判断出直角三角形．
 

17.【答案】证明：，，
，
，
，
，
∽；
解：由可知：∽，
，
点是的中点，设，
，
，，
，
解得：，
．
 

【解析】由条件得出，根据相似三角形的判定即可求出证．
由于点是的中点，设，根据相似三角形的性质可知，从而列出方程解出的值．
本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
 

18.【答案】解：
．
 

【解析】先计算二次根式的除法运算，再化简二次根式为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可．
本题主要考查了二次根式的加减及除法运算，注意理解最简二次根式的概念．
 

19.【答案】解：，
 ，
，；
，
，
则或，
解得，．
 

【解析】利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得；
利用十字相乘法将方程的左边因式分解后求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

20.【答案】证明：，
，
，即，
方程有两个不相等的实数根．
解：将代入原方程得：，
．
设方程的另一个根为，
依题意得：，
．
方程的另一个根为，值为．
 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由偶次方的非负性可得出，进而可得出，即，由此可证出方程有两个不相等的实数根；
将代入原方程可求出值，设方程的另一个根为，再利用两根之积等于即可求出的值．
本题考查了根的判别式、偶次方的非负性、根与系数的关系以及一元二次方程的解，解题的关键是：利用偶次方的非负性，找出；牢记两根之积等于．
 

21.【答案】如图所示：，即为所求；

点在直线上，
理由：设直线的解析式为：，
将代入得：，
解得：，故直线的解析式为：，
当时，，
故点在直线上；
是．
 

【解析】

解：见答案；
见答案；
与是位似图形．
故答案为：是．
【分析】
根据题意将各点坐标扩大倍得出答案；
求出直线的解析式，进而判断点是否在直线上；
利用位似图形的定义得出与的关系．
此题主要考查了位似变换以及待定系数法求正比例函数解析式，正确把握位似图形的定义是解题关键．  

22.【答案】
 

【解析】解：或．
故答案为：．
依题意得：，
，
                        
                         ，
                        或，
物价部门规定，每袋售价大于元但不得高于元，
符合题意
故答案为：，该商店这款口罩日均销售额为元．
答：不存在．
依题意得：
，
，

方程没有实数根，
不存在这样的值
根据题意可知：口罩日均销售量或．
销售额销售量售价，
总利润单价利润总的销售量
应用题关键明白题目的数量关系式，然后根据题意列出有关的式子或方程．
 

23.【答案】解：由已知得：，
把点和代入中得：，
；
根据位似比为：得：函数的图象有两种情况：
不经过第三象限时，过和，这时表达式为：；
不经过第一象限时，过和，这时表达式为：；
 

【解析】根据平行一次函数的定义可知：，再利用待定系数法求出的值即可；
根据位似比为：可知：函数与两坐标的交点坐标，再利用待定系数法求出函数的表达式．
本题考查了位似变换和两条直线的平行问题，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比；同时还要熟练掌握若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即值相同．
 

24.【答案】解：在中，由勾股定理得：
，
，
，
即，
解得：，
当时，；
存在，
如图，作于点，

，，
∽，
，
即，
解得：，
，
：：，
：：，
，
解得：，
当时，：：；
存在，当时，
，
，
当时，作于点，

，，
∽，
，
即，
，
，
，
解得：；
当时，
作于点，

，
，
，
即，
，
，
，
解得：，
当或或时，为等腰三角形．
 

【解析】由勾股定理求出，再根据平行线分线段成比例可求出的值；
作于点，首先证明∽，可表示出，由：：，可得：：，代入面积公式即可列出方程，从而得出答案；
分，，三种情形，分别画出图形，进行计算即可解决问题．
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，图形的面积，解一元二次方程等知识，运用分类讨论思想分别画出图形是解题的关键．
 

25.【答案】解：设，，连接，如图，

，是的中线，
为的中位线，
，，
，，
∽，
，
即，
，，
在中，
，
，
在中，
，
，
得，
在中，
，
，
，
；
证明：连结，

，分别为线段，的中点，
为的中位线，
， ，
又四边形为菱形，
，，
，，
∽，
，
，，
为中点，为中点，
，
∽，
，
，
同理可得，
，
，
，
，，
四边形为菱形，
，
，分别为线段，的中点，
由的结论得，
，
．
 

【解析】设，，连接，由相似三角形的性质可得，，在、、中，分别利用勾股定理得出等式，进行变形即可；
连接，则为的中位线，而，，即可证明；
由∽，得，则，同理可得，即可解决问题；
由，得，得，，由的结论得，代入即可得出答案．
本题是相似综合题，主要考查了三角形中位线定理，菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用前面的结论解决新的问题是解题的关键．