北京市西城区三帆中学2021~2022学年九年级上学期期中考试数学【试卷+答案】

北京三帆中学2021-2022学年度第一学期期中考试试卷

初三  数学

班级＿＿＿＿＿　姓名＿＿＿＿＿　学号＿＿＿　成绩＿＿＿＿＿

注意：（1）时间120分钟，满分100分；（2）请将答案填写在答题纸上。

一、选择题(本题共16分，每小题2分)

1． 下列四个图形中，不是中心对称图形的是（    ）．

A．               B．             C．             D．

2． 如图，点A，B，C均在⊙O上，∠BOC＝100°，则∠BAC的度数

 为（    ）．

A．70°    B．60°      C．50°       D．40°

3． 若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（    ）．

 A．1      B．      C．±1       D．不存在

4． 方程的根的情况是（    ）．

A．有两个不相等实数根      B．有两个相等实数根   

C．没有实数根       D．无法判断

5． 将抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位得到的表达式是（    ）．  

A．        B．  

C．        D．

6． 如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，若∠BAC=30°，BC=2，则AB的长为（    ）．

A．2      B．4      C．6        D．8

7． 如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，PA=AB，

则∠AOB=（    ）．

A． 100°  B． 110°  C． 120°  D． 130°

8． 已知：如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB．

则△PAB面积的最大值是（    ）．

A．9      B．20     C．10      D．5

二、填空题（本题共16分，每小题2分）

9． 二次函数的最      值是        ．

10．将二次函数用配方法化成的形式为y=                         ．

11．若x=a是一元二次方程的一个实数根，那么代数式=_______．

12．如图，⊙O的半径为10， AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果CE=4，

那么AB的长是            ．

13．点A(，)，B(，)在抛物线上，则      ．

（填“>”，“<”或“=”）

14．如图，等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，

连接BD，则∠CBD=        ．

15．一个扇形的半径为4，圆心角为90°，则此扇形的弧长为______．

16．京剧作为一门中国文化的传承艺术，深受外国友人青睐．

如图，在平面直角坐标系xOy中，某脸谱轮廓可以近似地看成是一

个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G．

点A，B，C，D分别是图形G与坐标轴的交点，已知点B的坐标为

（0，)，线段CD为半圆的直径，且CD=4，点M在半圆上，点

N在抛物线上，N的纵坐标为，MN与y轴平行．

下列关于图形G的四个结论，其中正确的有________ ．

（填正确结论的序号）

①图形G关于直线y=0对称；

②线段MN的长为；

③扇形OMA的面积；

④当＜a＜2时，直线y=a与图形G有两个公共点．

三、解答题(本题共68分，第17题4分；第18-22题，每题5分；第23-25题，每题6分；第26-28

题，每题7分)

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．

17．解方程．

18．已知二次函数．

（1）补全表格，在平面直角坐标系中用描点法画出该

二次函数的图象；

（2）根据图象回答：当0≤ x <3时，y的取值范围是

______________．

19．已知关于的方程有两个实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若k为正整数，求此时方程的解．

20．已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与轴，轴的交点分别为

A和B．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）若此抛物线的对称轴交x轴于点C，求S△ABC．

21．已知：如图，点A，B，C 是平面直角坐标系中的三个点，将△ABC向右平移

3个单位长度．

（1）请画出平移后的图形△A1B1C1；

（2）再将△A1B1C1绕原点O旋转180°，请画出

 旋转后的图形△A2B2C2，并写出点B2的坐标

 为        ．

22．刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元，4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，

每个月盈利的增长率相同．

（1）求每个月盈利的增长率；

（2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？

23．下面是小海同学设计的“过圆外一点作圆的一条切线”的尺规作图过程．

已知：如图，已知⊙O及⊙O外一点A．

求作：过A点的⊙O的一条切线．

作法：① 连接AO交⊙O于点D，并延长AO交⊙O于点E；

② 以点A为圆心，AO的长为半径画弧，以点O为圆心，DE的长为半径画弧，两弧交于点B；

③ 连接OB交⊙O于点C，作直线AC．

则直线AC是⊙O的一条切线．

请你根据小海同学的设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成证明：

∵ OB=DE=2OD=2OC，

∴ 点C为OB的中点．

∵ AO=AB，

∴ AC⊥OB（                                    ）（填推理的依据）．

又∵ OC是⊙O的半径，

 ∴ AC是⊙O的切线（                                ）（填推理的依据）．

24．法国数学家韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了一元二次方程的根与系数之间的关系：

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么， ．

后来人们将这个“一元二次方程根与系数的关系”称为“韦达定理”．这一结论同学们由求根公式也很容易得到．

请你根据“韦达定理”解决以下三个问题：

（1）已知是方程的两根，则＝      ，＝      ；

（2）设是方程的两个根，则的值是（    ）；

A．15     B．12     C．6     D．3

（3）若是两个不相等的实数，且满足，，那么=_____．

25．已知：如图，AB是⊙O的直径，点M为半径OA的中点，弦CD⊥AB于点M ，过点D作

DE⊥CA交CA的延长线于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若点F在弧BD上，且∠DCF=45°，CF交AB于点N．

① 请补全图形；

② 若DE=，求FN的长．

26．在平面直角坐标系中，已知抛物线．

（1）若抛物线经过点（3，0），

①求该抛物线的表达式；

②将抛物线在第一象限的部分记为图象G，如果经过点（－1，4）的直线与图象

G有公共点，请在图1中结合函数图象，求t的取值范围；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．记抛物线与x轴的交点为A、B． 若抛物线在点A、B之

间的部分与线段AB所围成的区域内（不包含边界）恰有7个整点，请结合函数图象，直接

写出m 的取值范围．

                               图1                               备用图

27． 在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，E为边AC中点．线段EA绕点E旋转得到线段EF（点F是点A的对应点），连接AF， 直线EF交直线AB于点G．

（1） 如图1，当△ABC为等边三角形且点G在边AB上时，若∠FAD=20°，则∠AGE=______°；

（2）如图2，点G在边AB上，AD与EG交于点O， OG=OA， AG=AD，求证：GF=FD．

（3）如图3，若∠BAC > 60°，过点C作CM⊥直线AD于M，连接MF，当MF=AE时，请直接写

出∠FAC与∠DAC的数量关系．

28．在∠MON的两边OM，ON上分别取点H，I，作弧HI（可以是优弧，也可以是劣弧）．若弧HI上

所有点都在∠MON内部或边上，称点H、I是∠MON的内嵌点，弧HI所在圆的半径为∠MON

的“角半径”，记为．

例如，下图1、图2、图3中的H、I都是∠MON的内嵌点．

图1                      图2                      图3

已知∠MON=60°，H、I是∠MON的内嵌点时，

（1）当OH=OI=2时，的最小值是_________________；

（2）当OH=2，弧HI是半圆时，求线段OI长度的取值范围；

（3）当OH≤OI，=3，时，求线段OI长度的范围．

备用图                                备用图

北京三帆中学2021-2022学年度第一学期期中考试

初三   数学参考答案及评分标准

一、选择题

二、填空题

9.  小，-2；10. ；11.  8；12.  16；13.  >；14.  15°；15.  2π；16.  ②④.

三、解答题

17. 解：公式法：

或配方法：

18. （1）

…………………………1分

画图…………………………3分

（2）…………………………5分

19. （1）方程有两个不相等的实数根

∴△ 0…………………………1分

△=-4=8-8k0  …………………………2分

∴k1…………………………3分

(2)  k为正整数,k1   

∴k=1  …………………………4分

∴

∴解得∴x1=x2=1…………………………5分

20. 解：（1）交点代入得：      

 ∴．         …………… 2分

          解得： ．      …………… 3分

 ∴抛物线的表达式为：．

（2）  抛物线对称轴是直线，∴C点（－2，0）…………… 4分

                    …………… 5分

21. （1）画图…………………………2分

（2）画图…………………………4分

点B2的坐标为（-2，-4）…………………………5分

22. （1）解：

（2）元………………………5分

23. 连接AE得1分，两弧交出点B得1分，连接OB交圆O于点C得1分，做直线AC得1分，共4分；

等腰三角形底边中线与底边高线重合（或者写等腰三角形三线合一）-----5分

过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线------6分.

24. （1）x1＋x2＝ ，x1·x2＝2；………………2分

（2）C………………4分

（3）x1·x2=-5. ………………6分

25.

(2) 补全图形-------------4分

   求出------5分；------6分；

26. 解：（1）∵抛物线经过点（3，0），

∴9m－6m+m+4=0，………………………………………………1分

∴m=－1.

∴y=－x2+2x+3. ………………………………………………………2分

（2） ∵y=－x2+2x+3=－(x－1)2+4，∴该抛物线的顶点为（1，4）.         …………3分

∴当直线经过顶点（1，4）时t与图象G有公共点，此时t =4.

∵该抛物线与y轴的交点为（0，3）.∴此时t =3.         ………………………4分

∴ 3＜t≤4.                                         ………………………5分

（3）－2＜m≤－1.                                     ………………………7分

27. （1）40 o                       ---------------- 2分

（2）①设∠FAD=α，∠DAC=β，

∵AE=EF

∴∠AFE=∠FAC=∠FAD+∠DAC=α+β．

∴∠FEC=∠AFE+∠FAC=2α+2β．

∵AD为∠BAC的平分线，

∴∠BAC=2∠DAC=2∠BAD =2β．

∴∠AGE=∠FEC∠BAC=2α．        ---------------- 3分

∵OG=OA

∴∠AGE=∠BAD=∠GAF+∠FAD=2α．

∴∠GAF=∠DAF=α，         ---------------- 4分

∴△AGF△ADF             ---------------- 5分

∴GF=FD

（3）∠FAC=∠DAC30o                  ---------------- 7分

28. （1）当OH=OI=2时，的最小值是_____1____________；. ………………1分

(1)      当OH=2，弧HI是半圆时，求线段OI长度的取值范围；

评标：当时

∵OH=2，∠MON=60°

∴=1………………2分

当时

∵OH=2，∠MON=60°

∴=4………………3分

综上………………4分

（3）当OH≤OI，=3，时，求线段OI长度的范围；

评标：∵=3，

∴∠HAI=120°………………5分

∴OI=6. ………………6分

∵∠MON=60°，∠HAI=120°

∴OI=OH=3.

∴………………7分