广东省佛山市南海区平洲第二初级中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学【试卷+答案】

这是一份广东省佛山市南海区平洲第二初级中学2021-2022学年九年级上学期第一次月考数学【试卷+答案】，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，解答题二，解答题三等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年广东省佛山市南海区平洲二中九年级第一学期第一次月考数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．方程x2﹣1＝0的解为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
2．根据下列表格对应值：
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
0.02
0.01
﹣0.01
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　）
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.26
3．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
4．一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
5．下列图形只是中心对称图形不是轴对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
6．若四边形两条对角线相等，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．正方形
7．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（　　）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行
8．在一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除分别标有的号码1，2，3，4不同外，其他完全相同．任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则第二次摸出球的号码比第一次摸出球的号码大的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．下列命题中的假命题是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．一组邻边相等的矩形是正方形
D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
10．正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如图所示的方式放置，点A1、A2、A3和点B1、B2、B3…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点C2022的纵坐标是（　　）

A．22022 B．22021 C．22022﹣1 D．22021﹣1
二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）
11．方程x2+2x＝0的根是　 　．
12．若关于x的一元二次方程x2+4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　 　．
13．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AB的中点，则CD＝　 　．
14．如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易量逐年增长，2018年交易额为40万元，2020年交易额为48.4万元．则2018年至2020年该网店“双十一”交易额的年平均增长率为 　 　．
15．如图，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，则BC的长为　 　．

16．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（2，0），（﹣1，0），点C在y轴上，则点D的坐标是 　 　．

17．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过点C作CE⊥BE于E，延长AF、EC交于点H，那么下列结论：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．其中正确结论的序号是　 　．

三、解答题（每题6分，共18分）
18．解下列方程：
（1）x2﹣x﹣3＝0．
（2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）．
19．若﹣2是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，求m的值和方程的另一个根．
20．今年佛山“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本．若该书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应每本涨价多少元？
四、解答题二（每题8分，共24分）
21．一个不透明的布袋里装有3个小球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求摸出1个小球是白球的概率；
（2）摸出1个小球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个小球．求两次摸出的小球恰好颜色不同的概率．（要求画树状图或列表）
22．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设AD＝xm．
（1）AB的长用含的代数式表示为 　 　m；
（2）现要围成面积为48m2的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由．

23．如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AB＝6，求菱形的面积．

五、解答题三（每题10分，共20分）
24．如图，在等边△ABC中，AB＝10cm，BD⊥AC于点D，点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为3cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts（0＜t＜）．
（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形；
（2）是否存在某一时刻t，使得三角形AMP的面积与三角形ABC的面积的比为3：50，若存在，求t值；若不存在，请说明理由；
（3）连接PC，是否存在某一时刻t，使三角形MPC为等腰三角形，若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

25．如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使点B落在边AD上的点E处，折痕为PQ，点Q在BC边上，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF．易证：四边形BFEP为菱形（不用证明）．
（1）当点Q与点C重合时（如图②），求菱形BFEP的边长；
（2）若限定点P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．



参考答案
一、选择题（请选出唯一正确的答案，每题3分，共30分）
1．方程x2﹣1＝0的解为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
【分析】这个式子先移项，变成x2＝1，从而把问题转化为求1的平方根．
解：移项得x2＝1，∴x＝±1．
故选：C．
2．根据下列表格对应值：
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
0.02
0.01
﹣0.01
判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　）
A．x＜3.24 B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26 D．x＞3.26
【分析】利用x＝3.25和x＝3.26所对应的函数值可判断抛物线与x轴的一个交点在（3.25，0）和（3.26，0）之间，则根据抛物线于x轴的交点问题可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围．
解：∵x＝3.25时，y＝0.01，即ax2+bx+c＞0；
x＝3.26时，y＝﹣0.01，即ax2+bx+c＜0，
∴抛物线与x轴的一个交点在（3.25，0）和（3.26，0）之间，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.25＜x＜3.26．
故选：C．
3．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝2 B．（x+1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3
【分析】把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．
解：∵x2+2x﹣1＝0，
∴x2+2x+1＝2，
∴（x+1）2＝2．
故选：B．
4．一元二次方程x2+2x+3＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出Δ＝﹣8＜0，由此即可得出结论．
解：∵在方程x2+2x+3＝0中，Δ＝22﹣4×1×3＝﹣8＜0，
∴该方程无解．
故选：C．
5．下列图形只是中心对称图形不是轴对称图形的是（　　）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
解：A．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
6．若四边形两条对角线相等，则顺次连接其各边中点得到的四边形是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．正方形
【分析】根据四边形的两条对角线相等，由三角形的中位线定理，可得所得的四边形的四边相等，则所得的四边形是菱形．
解：如图，AC＝BD，E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
则EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EH＝FG＝BD，EF＝HG＝AC，
∵AC＝BD，
∴EH＝FG＝FG＝EF，
∴四边形EFGH是菱形．
故选：A．

7．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是（　　）
A．对边相等 B．对角相等 C．对角线相等 D．对边平行
【分析】根据矩形的性质以及平行四边形的性质进行做题．
解：矩形的特性是：四角相等，对角线相等．
故选：C．
8．在一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除分别标有的号码1，2，3，4不同外，其他完全相同．任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则第二次摸出球的号码比第一次摸出球的号码大的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出第二次摸出球的号码比第一次摸出球的号码大的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中第二次摸出球的号码比第一次摸出球的号码大的结果数为6，
所以第二次摸出球的号码比第一次摸出球的号码大的概率＝＝．
故选：B．
9．下列命题中的假命题是（　　）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
C．一组邻边相等的矩形是正方形
D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
【分析】根据平行四边形的判定定理、正方形的判定定理、菱形的判定定理以及矩形的判定定理求解即可求得答案．
解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，正确；
C、一组邻边相等的矩形是正方形，正确；
D、一组对边平行且相等且有一个角是直角的四边形是矩形，故错误．
故选：D．
10．正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…，按如图所示的方式放置，点A1、A2、A3和点B1、B2、B3…分别在直线y＝x+1和x轴上，则点C2022的纵坐标是（　　）

A．22022 B．22021 C．22022﹣1 D．22021﹣1
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点A1，A2，A3，A4，A5的坐标，即可根据正方形的性质得出C1，C2，C3，C4，C5的纵坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律点∁n的纵坐标为2n﹣1，再代入n＝2022即可得出结论．
解：当x＝0时，y＝x+1＝1，
∴点A1的坐标为（0，1）．
∵四边形A1B1C1A2为正方形，
∴点C1的纵坐标为1，
当x＝1时，y＝x+1＝2，
∴点A2的坐标为（1，2）．
∵A2B2C2A3为正方形，
∴点C2的纵坐标为2．
同理，可知：点A3的坐标为（3，4），
点C3的纵坐标为4．
∴点∁n的纵坐标为2n﹣1
∴点C2022的纵坐标为22021．
故选：B．
二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）
11．方程x2+2x＝0的根是　x1＝0，x2＝﹣2　．
【分析】先提公因式，再化为两个一元一次方程即可得出答案．
解：x（x+2）＝0，
x＝0或x+2＝0，
x1＝0，x2＝﹣2，
故答案为x1＝0，x2＝﹣2．
12．若关于x的一元二次方程x2+4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是　a＞﹣4　．
【分析】由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．
解：∵方程x2+4x﹣a＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝42﹣4×1×（﹣a）＝16+4a＞0，
解得：a＞﹣4．
故答案为：a＞﹣4．
13．Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D是AB的中点，则CD＝　2.5　．
【分析】根据勾股定理求出AB的长，根据直角三角形的性质计算即可．
解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵D为AB的中点，
∴CD＝2.5，
故答案为：2.5．
14．如今网上购物已经成为一种时尚，某网店“双十一”全天交易量逐年增长，2018年交易额为40万元，2020年交易额为48.4万元．则2018年至2020年该网店“双十一”交易额的年平均增长率为 　10%　．
【分析】设“双十一”交易额的年平均增长率为x，根据2018年至2020年该网店“双十一”全天交易额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设2018年至2020年该网店“双十一”交易额的年平均增长率为x，
根据题意得：40（1+x）2＝48.4，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1．
答：2018年至2020年该网店“双十一”交易额的年平均增长率为10%．
故答案为：10%．
15．如图，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，AB＝2，则BC的长为　2　．

【分析】由矩形的性质可得∠ABC＝90°，AO＝BO＝CO，再证△AOB是等边三角形，得AB＝AO＝BO＝CO＝2，然后由勾股定理可求BC的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，AC＝BD，
∴AO＝BO＝CO，且∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝AO＝BO＝CO＝2，
∴AC＝4，
∴BC＝＝＝2，
故答案为：2．
16．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（2，0），（﹣1，0），点C在y轴上，则点D的坐标是 　（3，2）　．

【分析】由A，B的坐标分别为（2，0），（﹣1，0），可得菱形边长，Rt△BOC中求出OC从而可得C坐标，即可得出D坐标．
解：∵点A，B的坐标分别为（2，0），（﹣1，0），
∴OA＝2，OB＝1，AB＝3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝CD＝3，
在Rt△BOC中，OC＝＝＝2，
∴C（0，2），
∴D（3，2），
故答案为：（3，2）．
17．在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，AF平分∠DAB，过点C作CE⊥BE于E，延长AF、EC交于点H，那么下列结论：①AF＝FH；②BO＝BF；③CA＝CH；④BE＝3ED．其中正确结论的序号是　②③④　．

【分析】根据勾股定理求出AC，推出∠ABO，得到等边三角形AOB，推出OA＝AB＝OB，∠ABO＝∠BAO＝∠AOB＝60°，求出AB＝BF，根据平行线的性质和等腰三角形的性质求出BF＝AB，根据三角形外角性质求出∠H＝∠HAC，推出AC＝CH，AF≠FH，根据矩形性质推出DE＝OE＝OD即可求出答案．
解：∵矩形ABCD，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝90°，AO＝OC，OD＝OB，AC＝BD，
∴AO＝OB＝OD，
∵AB＝1，AD＝，由勾股定理得：AC＝2，
∴∠ABD＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB，∠BAO＝∠AOB＝60°，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF＝45°，
∵∠DAF＝∠AFB，
∴∠BAF＝∠BFA，
∴BF＝AB＝OB，∴②正确；
∵CE⊥BD，∠DOC＝∠AOB＝60°，
∴∠ECO＝30°，
∵∠FAC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠H＝∠ACE﹣∠CAF＝15°＝∠CAF，
∴AC＝CH，∴③正确；
∵CF和AH不垂直，∴AF≠FH，∴①错误；
∵∠CEO＝90°，∠ECA＝30°，
∴OE＝OC＝OD＝DE，
BE＝3DE，∴④正确．
故答案为：②③④．
三、解答题（每题6分，共18分）
18．解下列方程：
（1）x2﹣x﹣3＝0．
（2）（5x﹣1）2＝3（5x﹣1）．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
解：（1）∵x2﹣x﹣3＝0，
∴a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，
则x＝＝，
即x1＝，x2＝；

（2）∵（5x﹣1）2＝3（5x﹣1），
∴（5x﹣1）2﹣3（5x﹣1）＝0，
则（5x﹣1）（5x﹣4）＝0，
∴5x﹣1＝0或5x﹣4＝0，
解得x1＝，x2＝．
19．若﹣2是方程x2﹣2x+m＝0的一个根，求m的值和方程的另一个根．
【分析】设方程的另一个根为x2，根据两根之和为﹣，两根之积为列出关于m、x2的方程组，解之即可．
解：设方程的另一个根为x2，
根据题意，得：，
解得，
∴m的值为﹣8，方程的另一个根为4．
20．今年佛山“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本．若该书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应每本涨价多少元？
【分析】设每本书上涨了x元（x≤10），则每本书的利润为（10+x）元，每天的销售量为（300﹣10x）本，根据销售该图书每天获得的利润＝每本书的利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：设每本书上涨了x元（x≤10），则每本书的利润为（10+x）元，每天的销售量为（300﹣10x）本，
依题意得：（10+x）（300﹣10x）＝3750，
整理得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
四、解答题二（每题8分，共24分）
21．一个不透明的布袋里装有3个小球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．
（1）求摸出1个小球是白球的概率；
（2）摸出1个小球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个小球．求两次摸出的小球恰好颜色不同的概率．（要求画树状图或列表）
【分析】（1）由一个不透明的布袋里装有3个小球，其中2个红球，1个白球，利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次摸出的小球恰好颜色不同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
解：（1）∵一个不透明的布袋里装有3个小球，其中2个红球，1个白球，
∴P（摸出1个小球是白球）＝；

（2）列表得：

红1
红2
白
红1
（红1，红1）
（红1，红2）
（红1，白）
红2
（红2，红1）
（红2，红2）
（红2，白）
白
（白，红1）
（白，红2）
（白，白）
∵所有等可能情况一共有9种，其中颜色恰好不同有4种，
∴P（两次摸出的小球恰好颜色不同）＝．
22．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m）成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设AD＝xm．
（1）AB的长用含的代数式表示为 　（24﹣x）　m；
（2）现要围成面积为48m2的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由．

【分析】（1）根据题意列出代数式即可；
（2）根据题意，列方程求得方程的根，检验即可得到答案．
解：（1）AB的长用含的代数式表示为（24﹣3x）m，
故答案为：（24﹣3x）；
（2）不能，
理由：根据题意，得x（24﹣3x）＝48，
整理，得x2﹣8x+16＝0，
解得x1＝x2＝4，
当x＝4时，AB＝24﹣12＝12＞10不成立，
答：不能围成面积为48m2的花圃．
23．如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AB＝6，求菱形的面积．

【分析】（1）首先证明△ABC是等边三角形，进而得出∠AEC＝90°，四边形AECF是平行四边形，即可得出答案；
（2）利用勾股定理得出AE的长，进而求出菱形的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
又∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴∠AEC＝90°，
∵E、F分别是BC、AD的中点，
∴AF＝AD，EC＝BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∴AF∥EC且AF＝EC，
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵∠AEC＝90°，
∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；

（2）解：在Rt△ABE中，AE＝＝3，
所以，S菱形ABCD＝6×3＝18．
五、解答题三（每题10分，共20分）
24．如图，在等边△ABC中，AB＝10cm，BD⊥AC于点D，点M从点A出发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为3cm/s，运动过程中始终保持PQ∥AC，直线PQ交AB于点P、交BC于点Q、交BD于点F．连接PM，设运动时间为ts（0＜t＜）．
（1）当t为何值时，四边形PQCM是平行四边形；
（2）是否存在某一时刻t，使得三角形AMP的面积与三角形ABC的面积的比为3：50，若存在，求t值；若不存在，请说明理由；
（3）连接PC，是否存在某一时刻t，使三角形MPC为等腰三角形，若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据题意可知，AP＝10﹣3t，AM＝2t，可证明当PM∥BC时，四边形PQCM是平行四边形，此时AP＝AM，列方程求出t的值即可；
（2）作PE⊥AC于点E，将PE用含t的代数式表示，再根据三角形AMP的面积与三角形ABC的面积的比为3：50列方程即可求出相应的t的值；
（3）作PE⊥AC于点E，将PE用含t的代数式表示，根据勾股定理分别用含t的代数式表示PC2、PM2，根据PC2＝PM2或PC2＝CM2或PM2＝CM2列方程即可求出相应的t的值．
解：（1）如图1，∵AB＝10，BP＝3t，
∴AP＝10﹣3t，
∵PQ∥AC，
∴当PM∥BC时，四边形PQCM是平行四边形，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠APM＝∠ABC＝60°，∠AMP＝∠ACB＝60°，
∴∠APM＝∠AMP，
∴AP＝AM，
∵AM＝2t，
∴10﹣3t＝2t，
解得t＝2，
∴当t＝2时，四边形PQCM是平行四边形．
（2）存在，
如图2，作PE⊥AC于点E，
∵BD⊥AC于点D，
∴∠AEP＝∠ADB＝90°，
∵∠A＝60°，
∴∠APE＝∠ABD＝30°，
∴AE＝AP＝（10﹣3t），AD＝AB＝5，
∴PE＝＝＝AP＝（10﹣3t），BD＝＝＝5，
∵三角形AMP的面积与三角形ABC的面积的比为3：50，
∴×2t×（10﹣3t）＝××10×5，
整理得3t2﹣10t+3＝0，
解得t＝或t＝3，
∴t＝或t＝3．
（3）存在，
如图3，作PE⊥AC于点E，则AE＝（10﹣3t），PE＝（10﹣3t），
∴EM＝|2t﹣（10﹣3t）|＝|（7t﹣10）|，CE＝10﹣（10﹣3t）＝（3t+10），
∴PC2＝PE2+CE2＝[（10﹣3t）]2+[（3t+10）]2＝（10﹣3t）2+（3t+10）2，
PM2＝EM2+PE2＝[（7t﹣10）]2+[（10﹣3t）]2＝（7t﹣10）2+（10﹣3t）2，
∵CM＝10﹣2t，
∴CM2＝（10﹣2t）2，
若PC＝PM，则PC2＝PM2，
∴（10﹣3t）2+（3t+10）2＝（7t﹣10）2+（10﹣3t）2，
整理得（3t+10）2＝（7t﹣10）2，
∴3t+10＝7t﹣10或3t+10+7t﹣10＝0，
解得t＝5（不符合题意，舍去）或t＝0（不符合题意，舍去）；
若PC＝CM，则PC2＝CM2，
∴（10﹣3t）2+（3t+10）2＝（10﹣2t）2，
整理得t2+2t＝0，
解得t＝﹣2（不符合题意，舍去）或t＝0（不符合题意，舍去）；
若PM＝CM，则PM2＝CM2，
∴（7t﹣10）2+（10﹣3t）2＝（10﹣2t）2，
整理得3t2﹣8t＝0，
解得t＝或t＝0（不符合题意，舍去），
综上所述，当t＝时，△MPC是等腰三角形．



25．如图①，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使点B落在边AD上的点E处，折痕为PQ，点Q在BC边上，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF．易证：四边形BFEP为菱形（不用证明）．
（1）当点Q与点C重合时（如图②），求菱形BFEP的边长；
（2）若限定点P，Q分别在边BA，BC上移动，求出点E在边AD上移动的最大距离．

【分析】（1）由矩形的性质得出BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，由对称的性质得出CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE＝4cm，得出AE＝AD﹣DE＝1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP＝cm即可；
（2）当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，即可得出答案．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，
∵点B与点E关于PQ对称，
∴CE＝BC＝5cm，
在Rt△CDE中，DE＝＝4cm，
∴AE＝AD﹣DE＝5cm﹣4cm＝1cm；
在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3﹣PB＝3﹣PE，
∴EP2＝12+（3﹣EP）2，
解得：EP＝cm，
∴菱形BFEP的边长为cm；
（2）当点Q与点C重合时，如图1：
点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm；
当点P与点A重合时，如图2所示：
点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，
∴点E在边AD上移动的最大距离为2cm．