黑龙江省哈尔滨四十九中学2021-2022学年九年级上学期月考数学【试卷+答案】（10月份）

这是一份黑龙江省哈尔滨四十九中学2021-2022学年九年级上学期月考数学【试卷+答案】（10月份），共33页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年黑龙江省哈尔滨四十九中九年级第一学期月考数学试卷（10月份）（五四学制）
一、单项选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列函数中一定是二次函数的是（　　）
A．y＝2x2+ B．y＝ax2+bx+c
C．y＝3x﹣1 D．y＝2x（x﹣2）+1
2．若反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则（　　）
A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0
3．下列说法中一定正确的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧
C．平分弦的直径垂直于弦
D．圆周角等于圆心角的一半
4．把抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2﹣2
5．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠AOC＝（　　）

A．64° B．58° C．68° D．55°
6．已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
7．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a+2b+c＜0．其中一定正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，点E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点，连接DE交BC于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．若函数y＝xm﹣2是y关于x的反比例函数，则m的值为　 　．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是　 　．

13．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，BD＝2，则CD的长为 　 　．

14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为函数y＝（x＜0）图象上任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是 　 　．

15．如图，∠ADE＝∠B，若AE＝1，AC＝DE＝2，则BC的长为 　 　．

16．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，若△DCF的面积为4，则△BEF的面积为 　 　．

17．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为　 　千米．

18．如图，AC是⊙O的直径，AD＝6，CD＝8，∠ADC的平分线交⊙O于B，则AB＝　 　．

19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将△ADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM，BM，当△BCM为等腰三角形时，BP的长为　 　．

20．如图，点E在菱形ABCD的边BC上，连接AE，点F为AD的中点，FG⊥AE，点G为垂足，∠B＝60°，AE＝7，FG＝2，则AG的长为 　 　．

三、解答题（共计60分）
21．先化简，再求值：÷（﹣2），其中x＝4sin45°+2cos60°．
22．如图，4×10长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，E，F都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图中画出以AB为边的正方形ABCD；
（2）在图中画出以EF为边的等腰三角形EFG，且△EFG的周长为；
（3）在（1）（2）的条件下，连接CG，则线段CG的长为 　 　．

23．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为（1，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使正比例函数的值大于反比例函数值的x取值范围 　 　．

24．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，联结BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD＝8，AE＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）求OF的长度．

25．某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．设售价为x（单位：元），月销售量为y（单位：千克），月销售利润为W（单位：元）．
（1）直接写出y与x之间的函数解析式以及自变量x的取值范围；
（2）当月销售利润为6750元时，售价为多少元？
（3）当售价定为多少元时月销售利润最大？并求出最大月销售利润．
26．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．
（1）如图1，求证AE⊥BF；
（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN；
（3）在（2）的条件下，若tan∠AEB＝3，S△CHN＝，求AB的长．
27．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，直线BC的解析式为y＝x﹣4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为直线BC下方抛物线上的一点连接PB、PC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）点Q在抛物线上，连接CQ，当tan∠QCB＝时，连接AQ交直线BC于点M，求的值．



参考答案
一、单项选择题（每小题3分，共计30分）
1．下列函数中一定是二次函数的是（　　）
A．y＝2x2+ B．y＝ax2+bx+c
C．y＝3x﹣1 D．y＝2x（x﹣2）+1
【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．
解：A．不符合二次函数的定义，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．当a＝0时，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D．符合二次函数的定义，是二次函数，故本选项符合题意；
故选：D．
2．若反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则（　　）
A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0
【分析】根据反比例函数的性质，k＜0时，在每个象限内y随x增大而增大列不等式求解．
解：∵反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x增大而增大，
∴k﹣2＜0，解得k＜2．
故选：A．
3．下列说法中一定正确的是（　　）
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．圆上任意两点间的部分叫做圆弧
C．平分弦的直径垂直于弦
D．圆周角等于圆心角的一半
【分析】利用圆周角定理、垂径定理、圆心角、弧的关系等知识分别判断即可．
解：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故A说法错误；
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，故B说法正确；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故C说法错误；
同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，故D说法错误．
故选：B．
4．把抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（　　）
A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x+1）2﹣2 D．y＝（x﹣1）2﹣2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向下平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（﹣1，﹣2）．
可设新抛物线的解析式为：y＝（x﹣h）2+k，
代入得：y＝（x+1）2﹣2．
故选：C．
5．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝32°，则∠AOC＝（　　）

A．64° B．58° C．68° D．55°
【分析】利用圆周角定理即可求解．
解：如图，∵∠B＝32°，
∴∠AOC＝2∠B＝2×32°＝64°．
故选：A．
6．已知甲、乙两地相距s（单位：km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t（单位：h）关于行驶速度v（单位：km/h）的函数图象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．
解：根据题意有：s＝v•t，
故s与t之间是正比例函数，其图象在第一象限．
故选：C．
7．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（　　）
A．图象的开口向上
B．图象的顶点坐标是（1，3）
C．当x＜1时，y随x的增大而增大
D．图象与x轴有唯一交点
【分析】先利用配方法得到y＝﹣（x﹣1）2+5，可根据二次函数的性质可对A、B、C进行判断；通过解方程﹣x2+2x+4＝0可对D进行判断．
解：∵y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，5），抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＜1时，y随x的增大而增大，
令y＝0，则﹣x2+2x+4＝0，解方程解得x1＝1+，x2＝1﹣，
∴△＝4﹣4×（﹣1）×4＝20＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点．
故选：C．
8．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③b2﹣4ac＜0；④4a+2b+c＜0．其中一定正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据抛物线的开口方向、抛物线对称轴位置、抛物线与y轴交点位置判定a、b、c的符号；
②根据对称轴的x＝1来判断对错；
③由抛物线与x轴交点的个数判断对错；
④根据对称轴x＝1来判断对错．
解：如图所示，对称轴x＝﹣＝1，则b＝﹣2a，则2a+b＝0，故②正确；
抛物线开口方向向下，则a＜0，b＝﹣2a＞0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0，
所以abc＜0，
故①正确；
如图所示，抛物线与x轴有2个交点，则b2﹣4ac＞0，故③错误；
对称轴x＝1，当x＝0与x＝2时的点是关于直线x＝1的对应点，
所以x＝2与x＝0时的函数值相等，所以4a+2b+c＞0，故④错误；
综上所述，正确的结论为②④．
故选：B．
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b和二次函数y＝ax2+bx的图象可能为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的性质首先排除B选项，再根据a、b的值的正负，结合二次函数和一次函数的性质逐个检验即可得出答案．
解：根据题意可知二次函数y＝ax2+bx的图象经过原点O（0，0），故B选项错误；
当a＜0时，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，一次函数y＝ax+b的斜率a为负值，故D选项错误；
当a＜0、b＞0时，二次函数y＝ax2+bx的对称轴x＝﹣＞0，一次函数y＝ax+b与y轴的交点（0，b）应该在y轴正半轴，故C选项错误；
当a＞0、b＜0时，二次函数y＝ax2+bx的对称轴x＝﹣＞0，一次函数y＝ax+b与y轴的交点（0，b）应该在y轴负半轴，故A选项正确．
故选：A．
10．如图，点E为平行四边形ABCD的边AB延长线上的一点，连接DE交BC于点F，则下列结论一定正确的是（　　）

A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB＝CD，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴△BEF∽△CDF，
∴，
∴，故A错误；
∵BF∥AD，
∴，
∴＝，故B正确；
∵CD∥BE，
∴，故C错误，
＝，故D错误．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共计30分）
11．若函数y＝xm﹣2是y关于x的反比例函数，则m的值为　1　．
【分析】根据反比例函数的定义得出m﹣2＝﹣1，再求出m即可．
解：∵函数y＝xm﹣2是y关于x的反比例函数，
∴m﹣2＝﹣1，
解得：m＝1，
故答案为：1．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则cosA的值是　　．

【分析】根据余弦的定义解答即可．
解：在Rt△ABC中，cosA＝＝，
故答案为：．
13．在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，AD＝3，BD＝2，则CD的长为 　　．

【分析】根据同角的余角相等得到∠B＝∠DAC，得到△ADB∽△CDA，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可．
解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠DAC＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠BAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠DAC，
∵∠ADB＝∠CDA＝90°，
∴△ADB∽△CDA，
∴＝，即＝，
解得：CD＝，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，点P为函数y＝（x＜0）图象上任意一点，过点P作PA⊥x轴于点A，则△PAO的面积是 　2　．

【分析】利用反比例函数解析式设出P点坐标，分别用参数表示出线段AP和OA的长度，直接利用面积公式进行计算即可．
解：∵点P为函数y＝图象上任意一点，
∴可设P（a，），
∴AP＝﹣，OA＝﹣a，
∴△PAO的面积为：＝＝2，
故答案为：2．
15．如图，∠ADE＝∠B，若AE＝1，AC＝DE＝2，则BC的长为 　4　．

【分析】先判断△ADE∽△ABC，然后利用相似比可计算出BC的长．
解：∵∠ADE＝∠B，∠EAD＝∠CAB，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝4．
故答案为：4．
16．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，若△DCF的面积为4，则△BEF的面积为 　1　．

【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，根据相似三角形的判定定理得到△BFE∽△DFC，根据相似三角形的性质计算．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△BFE∽△DFC，
∴△BEF与△DCF的面积比＝（）2＝（）2＝，
∵△DCF的面积为4，
则△BEF的面积为1．
故答案为：1．
17．如图，点P、A、B、C在同一平面内，点A、B、C在同一直线上，且PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，在点B处测得点P在北偏东30°方向上，若AP＝12千米，则A，B两点的距离为　4　千米．

【分析】根据题意和题目中的数据，可以计算出AC和BC的长，然后即可得到AB的长，从而可以解答本题．
解：∵PC⊥AC，在点A处测得点P在北偏东60°方向上，
∴∠PCA＝90°，∠PAC＝30°，
∵AP＝12千米，
∴PC＝6千米，AC＝6千米，
∵在点B处测得点P在北偏东30°方向上，∠PCB＝90°，PC＝6千米，
∴∠PBC＝60°，
∴BC＝＝＝2千米，
∴AB＝AC﹣BC＝6﹣2＝4（千米），
故答案为：4千米．
18．如图，AC是⊙O的直径，AD＝6，CD＝8，∠ADC的平分线交⊙O于B，则AB＝　5　．

【分析】根据圆周角定理得出∠ADC＝∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC＝10，根据圆心角、弦的关系得出BA＝BC，根据勾股定理求解即可．
解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
在Rt△ACD中，AD＝6，CD＝8，
∴AC＝＝＝10，
∵∠ADC的平分线交⊙O于B，
∴BA＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
设AB＝BC＝x，
根据勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，
即x2+x2＝100，
∴x＝5或x＝﹣5（舍去），
∴AB＝5，
故答案为：5．
19．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将△ADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM，BM，当△BCM为等腰三角形时，BP的长为　3或6﹣　．

【分析】①当BC＝CM时，△BCM为等腰三角形，
当BM＝CM时，当△BCM为等腰三角形时，
③当BC＝BM＝3时，由折叠的性质得，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
解：①如图1，当BC＝CM时，△BCM为等腰三角形，
∴点M落在CD边上，如图1，DN＝AD＝3，
∴四边形APMD是正方形，
∴AP＝3，∵AB＝CD＝6，
∴BP＝3；
②如图2，当BM＝CM时，当△BCM为等腰三角形时，
∴点M落在BC的垂直平分线上，如图2，
过M作BC的垂直平分线交AD于H交BC于G，
∴AH＝DH＝AD，
∵将△ADP沿DP折叠，点A落在点M处，
∴AD＝DM，
∴DH＝DM，
∴∠ADM＝60°，
∴∠ADP＝∠PDM＝30°，
∴AP＝AD＝，
∴PB＝6﹣；
③当BC＝BM＝3时，
由折叠的性质得，DM＝AD＝3，
∴DM+BM＝6，而BD＝＝3，
∴DM+BM＜BD，故这种情况不存在，
综上所述，BP的长为3或6﹣，
故答案为：3或6﹣．


20．如图，点E在菱形ABCD的边BC上，连接AE，点F为AD的中点，FG⊥AE，点G为垂足，∠B＝60°，AE＝7，FG＝2，则AG的长为 　　．

【分析】过点A作AM⊥BC于M，证△AGF∽△EMA，得＝，再求出AB＝2，则AF＝，然后在Rt△AGF中，由勾股定理求出AG即可．
解：过点A作AM⊥BC于M，如图所示：
∵∠B＝60°，
∴AM＝sin60°×AB＝AB，∠BAM＝90°﹣60°＝30°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，AB＝AD，
∴∠MAD＝∠BAD﹣∠BAM＝120°﹣30°＝90°，
∴∠MAE+∠GAF＝∠MAE+∠MEA＝90°，
∴∠GAF＝∠MEA，
∵FG⊥AE，
∴∠AGF＝∠EMA＝90°，
∴△AGF∽△EMA，
∴＝，
∵点F为AD的中点，
∴AF＝AD＝AB，
∴＝，
解得：AB＝2或AB＝﹣2（不合题意舍去），
∴AF＝×2＝，
在Rt△AGF中，由勾股定理得：AG＝＝＝，
故答案为：．

三、解答题（共计60分）
21．先化简，再求值：÷（﹣2），其中x＝4sin45°+2cos60°．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
解：当x＝4×+2×＝2+1时，
原式＝•
＝
＝
＝
22．如图，4×10长方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，E，F都在格点上，按下列要求作图，使得所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图中画出以AB为边的正方形ABCD；
（2）在图中画出以EF为边的等腰三角形EFG，且△EFG的周长为；
（3）在（1）（2）的条件下，连接CG，则线段CG的长为 　　．

【分析】（1）根据正方形的判定画出以AB为边的正方形ABCD即可；
（2）画出以EF为边的等腰三角形EFG，且△EFG的周长为等腰三角形即可；
（3）由勾股定理求出CG即可．
解：（1）如图，所作正方形ABCD即为以AB为边的正方形ABCD；

（2）如图，所作△EFG即为以EF为边的等腰三角形EFG，且△EFG的周长为；

（3）如图，CG＝＝．

23．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，点A的坐标为（1，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使正比例函数的值大于反比例函数值的x取值范围 　﹣1＜x＜0或x＞1　．

【分析】（1）把y＝﹣2代入y＝2x中求出x的值，确定出A坐标，利用对称性确定出B坐标，把A点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）根据图象，找出正比例函数图象位于反比例函数图象上方时x的范围即可．
解：（1）设反比例函数的解析式为：y＝，
将点A的坐标为（1，2）代入y＝得：k＝2，
∴反比例解析式为y＝，
同理可得正比例函数的解析式为：y＝2x，
∴B（﹣1，﹣2）；
（2）由图象得：﹣1＜x＜0或x＞1时，正比例函数值大于反比例函数值．
故答案为：﹣1＜x＜0或x＞1．
24．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，联结BC，过点O作OF⊥BC于点F，BD＝8，AE＝2．
（1）求⊙O的半径；
（2）求OF的长度．

【分析】（1）连接OB，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理计算，得到答案；
（2）根据勾股定理求出BC，根据垂径定理求出BF，根据勾股定理计算，得到答案．
解：（1）连接OB，
设⊙O的半径为x，则OE＝x﹣2，
∵OA⊥BD，
∴BE＝ED＝BD＝4，
在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即x2＝（x﹣2）2+42，
解得，x＝5，即⊙O的半径为5；
（2）在Rt△CEB中，BC＝＝＝4，
∵OF⊥BC，
∴BF＝BC＝2，
∴OF＝＝．

25．某商店销售一种成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克．设售价为x（单位：元），月销售量为y（单位：千克），月销售利润为W（单位：元）．
（1）直接写出y与x之间的函数解析式以及自变量x的取值范围；
（2）当月销售利润为6750元时，售价为多少元？
（3）当售价定为多少元时月销售利润最大？并求出最大月销售利润．
【分析】（1）根据按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克写出月销售量为y与售价为x的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）根据月利润＝每千克的利润×销售量列出一元二次方程，解方程即可；
（3）根据月利润＝每千克的利润×销售量列出函数关系式，再根据函数的性质求函数最值．
解：（1）由题意可得：y＝500﹣10（x﹣50）＝﹣10x+1000，
∵x﹣50≥0且﹣10x+100≥0，
∴50≤x≤100，
∴y与x之间的函数解析式为y＝﹣10x+1000（50≤x≤100）；
（2）根据题意得：（x﹣40）（﹣10x+1000）＝6750，
整理，得：x2﹣140x+4675＝0，
解得：x1＝55，x2＝85，
∴当月销售利润为6750元时，售价为55元或85元；
（3）设月销售利润为W，
则W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∵﹣10＜0，
∴当x＝70时，y取得最大值，此时y＝9000，
答：当售价定为70元时月销售利润，最大利润是9000元．
26．正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE＝CF，AE与BF交于点G．
（1）如图1，求证AE⊥BF；
（2）如图2，在GF上截取GM＝GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN＝BN；
（3）在（2）的条件下，若tan∠AEB＝3，S△CHN＝，求AB的长．
【分析】（1）先证明△CFB≌△BEA（SAS），得∠BEA＝∠BFC，可得结论；
（2）过B作BP⊥BN，与NA的延长线交于点P，由正方形ABCD的性质结合已知条件证明△ABP≌△CBN，△PBN是等腰直角三角形，从而可得结论；
（3）如图3，延长CB至Q，使BQ＝DH，连接AQ，EH，先根据三角函数定义设BE＝x，则AB＝3x，CE＝2x，证明△ABQ≌△ADH和△EAH≌△EAQ（SAS），设DH＝y，根据勾股定理列方程为（x+y）2＝（2x）2+（3x﹣y）2，得y＝x，由三角形内角和定理得∠DAH＝∠HCN，最后由三角函数定义列等式可得HN和CN的长，由三角形面积公式可得答案．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝∠C＝90°，
∵BE＝CF，
∴△CFB≌△BEA（SAS），
∴∠BEA＝∠BFC，
∵∠FBC+∠BFC＝90°，
∴∠FBC+∠BEG＝∠FBC+∠BFC＝90°，
∴∠BGE＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）证明：如图2，过B作BP⊥BN，交NA的延长线于点P，


∵AB＝BC，∠ABC＝∠PBN＝90°，
∴∠PBA＝∠NBC，
由（1）得：AE⊥BF．
∴PB∥AE，
∴∠P＝∠EAN，
∵BG＝MG，则AE是BM的垂直平分线，
∴AB＝AM，则∠BAG＝∠MAG，
∵AN平分∠DAM，
∴∠DAN＝∠MAN，
∴∠EAM+∠MAN＝∠EAN＝45°＝∠P，
∴∠BNP＝45°＝∠P，
∴BP＝BN，PN＝BN，
∴△ABP≌△CBN（SAS），
∴AP＝CN，
∴AN+CN＝AP+AN＝PN＝BN；
（3）解：∵tan∠AEB＝＝3，
∴设BE＝x，则AB＝3x，CE＝2x，
如图3，延长CB至Q，使BQ＝DH，连接AQ，EH，

∵AD＝AB，∠D＝∠ABQ＝90°，DH＝BQ，
∴△ABQ≌△ADH（SAS），
∴DH＝BQ，∠DAH＝∠QAB，AQ＝AH，
∴∠QAB+∠BAE＝∠BAE+∠DAH＝45°＝∠EAH，
∵AE＝AE，
∴△EAH≌△EAQ（SAS），
∴EQ＝EH，
设DH＝y，
∴EH＝EQ＝x+y，
在Rt△EHC中，由勾股定理得：EH2＝CE2+CH2，
即（x+y）2＝（2x）2+（3x﹣y）2，
解得：y＝x，
∴DH＝CH＝x，
∵∠BNC＝∠P＝45°，∠BNP＝45°，
∴∠CNH＝90°＝∠D，
∵∠AHD＝∠CHN，
∴∠DAH＝∠HCN，
∴tan∠HCN＝tan∠DAH，
∴，即＝，
∴HN＝，CN＝，
∵S△CHN＝，
∴＝•＝，
∴x＝±2（负值舍去），
∴AB＝3x＝6．
27．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与坐标轴交于A，B，C三点，直线BC的解析式为y＝x﹣4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为直线BC下方抛物线上的一点连接PB、PC，设点P的横坐标为t，△PBC的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）点Q在抛物线上，连接CQ，当tan∠QCB＝时，连接AQ交直线BC于点M，求的值．

【分析】（1）由直线BC的解析式为y＝x﹣4得出B、C点的坐标，代入抛物线解析式，即可求出抛物线的解析式；
（2）设P（t，t2﹣3t﹣4），0＜t＜4，过点P作PH⊥x轴，交y＝x﹣4于点H，则H（t，t﹣4），进而求得PH的长度，根据S＝•PH•|xB﹣xC|即可求得；
（3）①当点Q在x轴上方时，如图，过Q作QT⊥y轴于点T，QS⊥CM于点S，交y轴于点R，设CQ与x轴的交点为D，过Q、M分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，由tan∠QCB＝，设QS＝k，则CS＝RS＝7k，根据tan∠OCD＝＝，求得D点的坐标，进而求得CQ的直线解析式，联立抛物线解析式求得Q点的坐标，进而求得直线AM的解析式，联立BC的解析式进而求得M点的坐标，根据平行线分线段成比例即可求得的值，②当点Q在x轴下方时，方法同①．
解：（1）∵直线BC的解析式为y＝x﹣4，
∴当x＝0时，y＝﹣4，当y＝0时，x＝4，
∴C（0，﹣4）、B（4，0），
把C（0，﹣4）、B（4，0）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得：，
∴y＝x2﹣3x﹣4；
（2）点P为直线BC下方抛物线上的一点连接PB、PC，如图，

∵点P的横坐标为t，
∴P（t，t2﹣3t﹣4），
过点P作PH⊥x轴，交y＝x﹣4于点H，则H（t，t﹣4），
∴PH＝t﹣4﹣（t2﹣3t﹣4）＝﹣t2+4t，
∴S＝•PH•|xB﹣xC|＝×（﹣t2+4t）×4＝﹣2t2+8t，
∴S＝﹣2t2+8t（0＜t＜4）；
（3）∵抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
当y＝0时，x2﹣3x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），
①当点Q在x轴上方时，如图，过Q作QT⊥y轴于点T，QS⊥CM于点S，交y轴于点R，设CQ与x轴的交点为D，过Q、M分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，

∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），
∴OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝45°，
∵RS⊥CS，
∴∠SRC＝45°，
∴RS＝CS，RC＝RS，
∵tan∠QCB＝，
∴CS＝7QS，
设QS＝k，则CS＝RS＝7k，RQ＝QS﹣QS＝6k，
∴CR＝7k，
∵∠QRT＝45°，QT⊥RT，
∴TQ＝sin∠QRT•RQ＝×6k＝3k＝RT，
∴TC＝RC﹣RT＝7k﹣3k＝4k，
∵tan∠OCD＝＝，OC＝4，TQ＝3k，TC＝4k，
∴，
∴OD＝3，
∴D（3，0），
设直线CQ的解析式为：y＝kx+b，将C（0，﹣4）、D（3，0）代入得：
，
解得：，
∴y＝，
联立抛物线解析式得：
，
解得：，，
∴Q（，），
设直线AQ的解析式为：y＝mx+n，将A（﹣1，0）、Q（，）代入得：
，
解得：，
∴直线AQ的解析式为：y＝x+，
联立直线BC的解析式y＝x﹣4：
，
解得：，
∴M（，），
∵QF⊥x轴，MG⊥x轴，则F（，0）、G（，0）、A（﹣1，0），
∴GF＝﹣＝，GA＝+1＝，
∵OF∥MG，
∴，
∴＝＝，
②当点Q在x轴下方时，如图，过Q作QT⊥y轴于点T，QS⊥CM于点S，交y轴于点R，设CQ与x轴的交点为D，过Q、M分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，

∵OB＝OC＝4，
∴∠OCB＝45°，
∵RS⊥CS，
∴∠SRC＝45°，
∴RS＝CS，RC＝RS，
∵tan∠QCB＝，
∴CS＝7QS，
设QS＝k，则CS＝RS＝7k，RQ＝QS+QS＝8k，
∴CR＝7k，
∵∠QRT＝45°，QT⊥RT，
∴TQ＝sin∠QRT•RQ＝×8k＝4k＝RT，
∴TC＝RC﹣RT＝7k﹣4k＝3k，
∵tan∠OCD＝＝，OC＝4，TQ＝4k，TC＝3k，
∴，
∴OD＝，
∴D（，0），
设直线CQ的解析式为：y＝kx+b，将C（0，﹣4）、D（，0）代入得：
，
解得：，
∴y＝x﹣4，
联立抛物线解析式得：
，
解得：，，
∴Q（，），
设直线AQ的解析式为：y＝mx+n，将A（﹣1，0）、Q（，）代入得：
，
解得：，
∴直线AQ的解析式为：y＝x﹣，
联立直线BC的解析式y＝x﹣4：
，
解得：，
∴M（3，﹣1），
∵QF⊥x轴，MG⊥x轴，则F（，0）、G（3，0）、A（﹣1，0），
∴GF＝﹣3＝，GA＝3+1＝4，
∵OF∥MG，
∴，
∴＝＝，
综上所述，的值为或．