河南省南阳市第十二中学校2021-2022学年九年级上学期第二次月考数学试题（Word版含答案）

这是一份河南省南阳市第十二中学校2021-2022学年九年级上学期第二次月考数学试题（Word版含答案），共28页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，二次函数y=ax2+bx+c等内容，欢迎下载使用。
南阳市12中学2021年秋季第二次月考九年级数学试卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题(共30分)
1．(本题3分)下列等式正确的是（　　）
A．（）2=3 B．=﹣3 C．=3 D．（﹣）2=﹣3
2．(本题3分)二次函数y＝x2－1的图象可由下列哪个函数图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到（　　）
A． B．
C． D．
3．(本题3分)如图，已知，中，P为AB上一点，在下列四个条件中：（1）；（2）；（3）；（4），能满足与相似的条件是（ ）．

A．（1）（2）（4） B．（1）（3）（4）
C．（2）（3）（4） D．（1）（2）（3）
4．(本题3分)A（，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
5．(本题3分)如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的格点上，那么tan∠ABC的值为（　　）

A． B． C．4 D．
6．(本题3分)如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE＝3，DE＝5，BE＝4，要使△BDE∽△ACE，且点B、D的对应点为A、C，那么需要添加的一个条件是（　　）

A．CE＝ B．CE＝ C．AC＝BD D．AC∥BD
7．(本题3分)关于x的一元二次方程ax2＝4x﹣b有两个实数根，其中a，b分别表示菱形ABCD两条对角线的长度，则菱形ABCD面积的最大值为（　　）
A．4 B．6 C．2 D．5.5
8．(本题3分)如图，客轮在海上由B向C航行，在B处测得灯塔A的方位角为北偏东，测得C处的方位角为南偏东，航行后到达C处，在C处测得A的方位角为北偏东，则C到A的距离是（ ）．

A． B． C． D．
9．(本题3分)二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，图象顶点的坐标为（2，1），与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，有下列结论：①；②；③；④（m为任意实数）．其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．(本题3分)如图，在中，，，点从点沿边、匀速运动到点，过点作交于点，线段，，，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（ ）

A． B．
C． D．

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明

二、填空题(共15分)
11．(本题3分)关于x的方程是一元二次方程，则m的值为__________．
12．(本题3分)已知二次函数（为常数，），当时，，则该函数图象的顶点位于_________．
13．(本题3分)如图，在直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O，若与的相似比为1∶3，已知，则它对应点的坐标是_________．

14．(本题3分)已知，则＝_______．
15．(本题3分)在ABC中，D、E分别是AB，BC上的点，且DEAC，若，则___．


三、解答题(共75分)
16．(本题8分)解下列方程:（1）； （2）
17．(本题4分)计算：
18．(本题7分)2021年，“碳中和，碳达峰”成为高频热词，为了解学生对“碳中和、碳达峰”知识的知晓情况，某校团委随机对该校九年级部分学生进行了问卷调查，调查结果共分成四个类别：A表示“从未听说过”，B表示“不太了解”，C表示“比较了解”，D表示“非常了解”．根据调查统计结果，绘制成两种不完整的统计图，请结合统计图，回答下列问题．

（1）参加这次调查的学生总人数为 　 　人；
（2）扇形统计图中，B，C部分扇形所对应的圆心角分别是 　 　、　 　；
（3）将条形统计图补充完整；
（4）在D类的学生中，有2名男生和2名女生，现需从这4名学生中随机抽取2名“碳中和、碳达峰”知识的义务宣讲员，请利用画树状图或列表的方法，求所抽取的2名学生恰好是1名男生和1名女生的概率．
19．(本题8分)已知关于x的方程x2－(k＋2)x＋2k＝0，
（1）求证：无论k取何值，方程一定有两个实数根；
（2）求证：无论k取何值，方程总有一定根；
（3）若等腰△ABC的边长a＝3，另两边长b、c恰好是这个方程的根，则△ABC的周长为_____．
20．(本题10分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A、B两船相距海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）．
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险﹖请说明理由．（参考数据：，，精确到1海里）

21．(本题9分)某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出30件，每件盈利40元，为了迎接元旦节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件童装降价2元，那么平均每天就可多售出4件，设每件童装降价x元时（x为偶数），每天销售这种童装的利润是Q元．
（1）当时，求x的值；
（2）求Q与x的函数关系式，当每件童装降价多少元时，每天销售这种童装的利润最大？最大利润是多少？
22．(本题8分)某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：
x
…
﹣3
﹣
﹣2
﹣1
0
1
2

3
…
y
…
3

m
﹣1
0
﹣1
0

3
…

其中，m=　　．
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．
（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有　　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有　 　个实数根；
②方程x2﹣2|x|=2有　　个实数根.

③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是　 ．
23．(本题10分)如图，抛物线与y轴交于点，与x轴交于点，点．


（1）求抛物线的解析式；
（2）当时，函数y的取值范围是 ；
（3）若点M是抛物线上的一动点，且在直线BC的上方，当取得最大值时，求的最大值和点M的坐标．
24．(本题11分)（1）发现问题：如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，点F为BC上一点，以BF为边作正方形BFED，点E在AB上，若AC＝BC＝2，BF＝，则＝ ；
（2）类比探究：如图2，在（1）的条件下，将正方形BFED绕点B旋转，连接AE，BE，CF，求的值；
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，当A，E，F三点共线时，直接写出线段CF的长．


参考答案
1．A
【详解】
分析：根据二次根式的性质把各个二次根式化简，判断即可．
详解：（）2=3，A正确；
=3，B错误；
=，C错误；
（-）2=3，D错误；
故选A．
点睛：本题考查的是二次根式的化简，掌握二次根式的性质：=|a|是解题的关键．
2．B
【分析】
根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律先把函数y＝x2－1反方向平移找出原函数进行解答即可．
【详解】
解：先把二次函数y＝x2－1的图象函数图象向左平移2个单位，向上平移2个单位得出y＝（x+2）2－1+2，整理得y＝（x+2）2+1，
∴二次函数y＝x2－1的图象可由二次函数的图象向右平移2个单位，向下平移2个单位得到．
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换．用平移规律“左加右减，上加下减”，要注意正用与逆用平移求函数解析式的方法．
3．D
【分析】
根据相似三角形的判定条件分析即可；
【详解】
（1）中，，又有一公共角，故，故（1）正确；
（2）中，，又有一公共角，故，故（2）正确；
（3）中，，为其夹角，故（3）正确；
（4）中不是对应边成比例，故（4）不正确；
故正确的是（1）（2）（3）；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定条件，准确分析判断是解题的关键．
4．B
【分析】
由二次函数解析式可得函数对称轴和增减性，再根据离对称轴的远近的点的纵坐标的大小比较，即可得出y1、y2、y3的大小关系．
【详解】
解：根据二次函数解析式y=-（x-2）2+k，可得图象开口向下，对称轴为x=2，且在函数图象上，距离对称轴越远的点函数值越小．
由离对称轴x=2的远近可得，y1＜y3＜y2，
故选：B．
【点睛】
本题考查比较函数值的大小．解决此题的关键是理解当二次函数开口向下时，在函数图象上距离对称轴越远的点，函数值越小；当二次函数开口向上时，在函数图象上距离对称轴越远的点，函数值越大．
5．C
【分析】
过点A作AE⊥BC于E．根据，tan∠ABC＝，求解即可．
【详解】
解：过点A作AE⊥BC于E．

在Rt△ABE中，tan∠ABC＝＝＝4，
故选：C．
【点睛】
本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
6．B
【分析】
根据对顶角相等得到∠AEC＝∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当△BDE∽△ACE时，得到，然后利用比例性质计算CE的长．
【详解】
解：∵∠AEC＝∠BED，△BDE∽△ACE
∴，
即，
∴CE＝．
∴需要添加的一个条件是CE＝．
故选：B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．
7．C
【分析】
根据题意得到，求得，进而根据菱形的面积公式得到．
【详解】
解：方程化为，
∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
∴，
∵a，b分别表示菱形两条对角线的长度，
∴菱形面积，
∴菱形面积的最大值为2，
故选C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式．菱形面积，注意掌握一元二次方程有两个实数根，即可得△≥0．
8．D
【分析】
过点B作BD⊥AC于点D，根据题意得：∠C=25°+20°=45°， ， ，再利用锐角三角函数分别求出CD、AD的长，即可求解．
【详解】
解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，

根据题意得：∠C=25°+20°=45°， ， ，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠CBD=45°，
∴∠C=∠CBD，∠ABD=30°，
∴CD=BD，
在 中， ，
∴，
在 中，∠ABD=30°，，
∴ ，
∴ ，
即C到A的距离是 ．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了锐角三角函数的应用，明确题意，熟练掌握锐角三角函数的求法是解题的关键．
9．B
【分析】
由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，从而判断出a、b的符号，判断出与y轴的交点即可求出c的符号，从而判断①；由图象可知：当x=-1时，y＜0，代入解析式即可判断②；根据抛物线与x轴交点个数即可判断③；根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断最值，从而判断④．
【详解】
解：由图象可知：抛物线的开口向下，对称轴为直线x=2，
∴a＜0，，
∴
∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和点（4，0）之间，
∴另一个交点在（0，0）和（1，0）之间，
∴抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①错误；
由图象可知：当x=-1时，y＜0，
∴，故②错误；
∵与x轴有两个交点，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线的开口向下，顶点坐标为（2，1）
∴（m为任意实数），故④正确．
综上：正确的有2个，
故选B．
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解题关键．
10．D
【分析】
分两种情况：①当P点在OA上时，即时；②当P点在AB上时，即时，求出这两种情况下的PC长，则y=PC•OC的函数式可用x表示出来，对照选项即可判断．
【详解】
∵△AOB是等腰直角三角形，，
∴OB=4．
①当P点在OA上时，即时，
PC=OC=，S△POC=y=PC•OC=，
是开口向上的抛物线，当时，；
②当P点在AB上时，即时，
OC=，则BC=，PC=BC=，
S△POC=y=PC•OC=，
是开口向下的抛物线，当时，．
综上所述，D答案符合运动过程中y与x的函数关系式．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了动点问题的函数图象，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定和性质，二次函数的图象和性质，解决这类问题要先进行全面分析，根据图形变化特征或动点运动的背景变化进行分类讨论，然后动中找静，写出对应的函数式．
11．-1
【分析】
根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数且未知数的最高次数是2次的整式方程），求m的值，注意二次项的系数不为0．
【详解】
解：∵是一元二次方程，

解得：

，
∴，
故答案为：-1．
【点睛】
题目主要考查一元二次方程的定义及解一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解题关键．
12．第一象限
【分析】
根据二次函数的对称轴为，及二次函数的图象性质即可得出．
【详解】
解：整理可得，
该函数的对称轴为直线x=1，
∴由x=1时，y＞0可得：函数图像的顶点在第一象限；
故答案为：第一象限．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
13．（-3，-1）或（3，1）
【分析】
直接根据位似图形的性质：如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的比等于k或-k，由此求解即可．
【详解】
解：∵与位似，位似中心是原点O，与的相似比为1∶3，，
∴B点的对应点B1的坐标为（-3，-1）或（3，1），
故答案为：（-3，-1）或（3，1）．
【点睛】
本题主要考查了位似图形的性质，解题的关键在于熟知性质．
14．5
【分析】
设，则原方程换元为，可得，，即可求解．
【详解】
解：设，则原方程换元为，
，
解得：，，
即或（不合题意，舍去），
，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了换元法以及因式分解法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
15．1：12
【分析】
设△BDE的面积为a，表示出△CDE的面积为3a，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后求出△DBE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△ABC的面积，然后表示出△ACD的面积，再求出比值即可．
【详解】
解：∵S△BDE：S△CDE=1：3，
∴设△BDE的面积为a，则△CDE的面积为3a，
∵△BDE和△CDE的点D到BC的距离相等，
∴，
∴，
∵DE∥AC，
∴△DBE∽△ABC，
∴
∴，
∴
∴．
故答案为：1：12．

【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方，用△BDE的面积表示出△ABC的面积是解题的关键．
16．（1）x1=-3，x2=2；（2）x1=，x2=
【分析】
（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用配方法得到（x+2）2=1，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】
解：（1），
移项得：x(x+3)-2(x+3)=0，
因式分解得：(x+3) (x-2)=0，
∴x1=-3，x2=2；
（2），
移项得：x2-4x=7，
配方得：x2-4x+4=7+4，即(x-2)2=11，　
∴x-2=，
∴x1=，x2=．
【点睛】
本题主要考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．-1
【分析】
根据特殊角锐角三角形值结合实数运算法则计算即可．
【详解】
解：原式＝
＝
＝．
【点睛】
本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，实数的混合运算，熟练掌握运算法则以及清楚特殊角的三角函数值是解本题的关键．
18．（1）40；（2）；；（3）见解析；（4）
【分析】
（1）综合条形统计图和扇形统计图中A类信息直接求解即可；
（2）先结合（1）的结论，求出C类人数，从而用每一类人数除以总人数得到每一类的占比，然后分别乘360°，即可得到对应的圆心角度数；
（3）结合（2）的结论，直接作图即可；
（4）根据题意先画出树状图，然后利用概率公式求解即可．
【详解】
解：（1）由A类人数和占比可得，参与调查的总人数为（人），
故答案为：40；
（2）由（1）可得，C类人数为：（人），
∴B类对应圆心角度数为：；
C类对应圆心角度数为：；
故答案为：；；
（3）由（2）知，C类人数为18人，补全条形统计图如图所示：

（4）由题意，列树状图如下：

共有12种情况，其中，恰为1男1女的有8种情况，
∴抽到恰为1男1女的概率．
【点睛】
本题考查条形统计图与扇形统计图信息综合，以及列树状图或表格求概率，理解并准确分析统计图中的个数据信息，掌握列树状图或表格的方法求解概率是解题关键．
19．（1）见解析；（2）见解析；（3）7或8
【分析】
（1）根据根的判别式的符号进行证明；
（2）分，两种情况探讨得出答案即可．
【详解】
解：（1）证明：，
无论取何实数，该方程总有两个实数根；
（2）解：①当时，则，
即，
，
方程可化为，
，
而，
的周长；
②解：当时，
．
，
或，
另两边、恰好是这个方程的两个根，
，
，
的周长；
综上所述，的周长为7或8，
故答案是：7或8．
【点睛】
本题考查了根的判别式的运用，等腰三角形的性质，因式分解，解题的关键是掌握分类讨论思想的渗透及当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
20．（1）AC＝200海里，海里；（2）巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险，理由见解析．
【分析】
（1）作CE⊥AB于E，设AE＝x海里，则BE＝CE＝x海里．根据AB＝AE＋BE＝x＋x＝100（＋1），求得x的值后即可求得AC的长；过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，再由列式求解即可．
（2），求出DF的长，再与100比较即可得到答案．
【详解】
解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于E，
∴∠CEB=∠CEA=90°，
由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，
∴∠AEC=30°，∠BCE=180°-∠ABC-∠BEC=45°，
∴∠BCE=∠EBC=45°，
∴BE=EC，
∴AC=2AE
设AE＝x海里，则AC=2x海里，
在Rt△AEC中，海里，
∴海里，
∴海里，
∴，
解得：x＝100，
∴AC＝2x＝200海里．
∵∠BAC=60°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=75°

过点D作DF⊥AC于点F，
∴∠ADF=30°，∠FDC=90°-∠FCD=45°=∠FCD，
∴AD=2AF，DF=FC
设AF＝y，则AD＝2y，
∴，
∵海里
∴y＋y＝200，
解得：，
∴海里；
（2）由（1）得
∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险．

【点睛】
本题考查的勾股定理的应用−航海问题，含30度角的直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
21．（1）10；（2），当每件童装降价12元时，每天销售这种童装的利润最大，最大利润为1512元
【分析】
（1）根据题意列方程，求解即可；
（2）列函数解析式，根据函数的性质解答．
【详解】
解：（1）由题意得，

解得，
∵x为偶数，
∴x=15不符合题意，舍去，
答：x的值为10；
（2），
∵x为正整数且为偶数，
∴当x=12时，Q有最大值，最大值为1512元，
∴当每件童装降价12元时，每天销售这种童装的利润最大，最大利润为1512元．
【点睛】
本题是一道运用一元二次方程解答的运用题，运用二次函数的性质解答的实际问题，考查了一元二次方程的解法和基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售的利润的运用，二次函数的性质．
22．（1）0；（2）作图见解析；（3）①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；（答案不唯一）（4） 3，3，2，﹣1＜a＜0．
【解析】
【详解】
（1）把x=-2代入y=x2-2|x|得y=0，
即m=0，
故答案为：0；
（2）

如图所示；
（3）由函数图象知：①函数y=x2-2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2-2|x|=0有3个实数根；
②如图，∵y=x2-2|x|的图象与直线y=2有两个交点，
∴x2-2|x|=2有2个实数根；
③由函数图象知：∵关于x的方程x2-2|x|=a有4个实数根，
∴a的取值范围是-1＜a＜0，
故答案为：3，3，2，-1＜a＜0．

23．（1）；（2）；（3）最大值为20，
【分析】
（1）把点、、代入中进行求解即可；
（2）由（1）可得抛物线的顶点坐标，然后由图象可直接进行求解；
（3）连接OM，设，由题意可知，，进而根据割补法可求解．
【详解】
解：（1）将点、、代入中，
得，
解得，∴抛物线的解析式为；
（2）由配成顶点式得：，
∴当时，函数y的取值范围是：；
（3）如图连接OM，设，
∵、，
∴，，
∵

，
∵，抛物线开口向下，
∴当时，有最大值，且最大值为20，
此时点M的坐标为．

【点睛】
本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
24．（1）；（2）；（3）或
【分析】
（1）根据等腰直角三角形斜边和直角边的关系分别计算AE和CF的长，代入计算比值即可；
（2）证明△ABE∽△CBF，根据相似比可得结论；
（3）分两种情况：如图3和图4，分别根据勾股定理计算BF的长，可得AE的长，根据（2）中的值，可得结论．
【详解】
（1）如图1，

Rt△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，
∴，
∵四边形BFED是正方形，
∴∠BFE=90°，BF=EF=，
∴BE=2，
∴，，
∴；
故答案为：；
（2）如图2，由旋转得：∠CBF=∠ABE，

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形BFED是正方形，
∴
∴，
∴△ABE∽△CBF，
∴；
（3）分两种情况：
①如图3，A，E，F三点共线，
Rt△AFB中，，，
∴，
∴

由（2）知：△ABE∽△CBF，
∴
∴；
②如图4，A，E，F三点共线，
∴∠AFB=∠BFE=90°，
∴，
∴
，

由（2）知：△ABE∽△CBF，
∴
∴；；
综上，CF的长为或．
【点睛】
本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质和正方形的性质．