中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册1.2 充要条件教学设计

授课题目

1.2 充要条件

选用教材

高等教育出版社《数学》

（拓展模块一上册）

授课时长

1课时

授课类型

新授课

教学提示

本课在学生学过的充分条件和必要条件基础上进行持续思考，引入充要条件的有关概念；通过选择学生熟悉的案例、已学过的知识、易判断的命题，降低问题的难度，着重学习如何判断p与q之间的逻辑关系．

教学目标

通过学习，了解充要条件的概念；了解命题中条件与结论的关系；知道条件与结论之间的充要性；能根据命题及其逆命题的真假判断命题中所给条件与结论之间的逻辑关系；知道判断p是q的什么条件，既要通过命题的真假判断p是不是q的充分条件，还要通过逆命题的真假判断p是不是q的必要条件；借助解决具体问题的过程，加深对概念的理解；通过条件与结论之间充分性和必要性关系的分析，逐步养成实事求是、扎实严谨的科学态度，学习用数学思维解决问题和辩证地认识世界；通过学习，逐步提升逻辑推理和数学抽象等核心素养．

教学重点

根据命题及其逆命题的真假判断命题的条件是不是结论的充要条件.

教学难点

命题、逆命题的真假判断．

教学环节

教学内容

教师

活动

学生

活动

设计

意图

情境导入

如图电路中，“开关A闭合”与“灯B亮”还有什么关系呢？

由于命题“如果开关A闭合，那么灯B亮”是真命题，它的逆命题“如果灯B亮，那么开关A闭合”也是真命题，所以“开关A闭合”既是“灯B亮”的充分条件，也是“灯B亮”的必要条件.

引导

学生

从原有问题继续思考

思考

分析

以原有问题的另一种关系探究中引出新问题

探索新知

一般地, 若命题“如果p, 那么q”是真命题, 其逆命题“如果q, 那么p”也是真命题, 即p⇒q且p⇐q, 则称p是q的充分且必要条件, 简称充要条件.

有时也称p与q等价, 记为p⇔q.

“情境与问题”中“开关A闭合”是“灯B亮”的充要条件.

讲解

说明

举例

理解

记忆

思考

归纳概念

举例说明

典型例题

例1 判断下列命题中的条件p是否为结论q的充要条件.

(1)如果x=2，那么x=4；

(2)如果a>b，那么2a>2b.

解  (1) “如果 x=2, 那么 x²=4”是真命题, 其逆命题“如果 x²=4, 那么 x=2”是假命题, 因此“x=2”不是“x²=4”的充要条件；

(2)因为“如果a>b，那么2a>2b” 是真命题, 其逆命题“如果2a>2b, 那么a>b”也是真命题，所以“a>b”是“2a>2b”的充要条件.                      

例2  下列命题中的条件p是结论q的什么条件？

(1)如果x2-3x+2=0，那么x=1； 

(2)如果x是有理数，那么x是实数；

(3)如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切；

(4)如果α>β，那么sinα>sinβ.

解  (1)命题“如果x2-3x+2=0，那么x=1”是假命题，其逆命题“如果x=1，那么x2-3x+2=0”是真命题所以

“x2-3x+2=0”是“x=1”的必要条件，但不是充分条件(简称“必要不充分条件)；

(2)命题“如果x是有理数，那么x是实数”是真命题，其逆命 题“如果x是实数，那么x是有理数”是假命题，因此“x是有理数”是“x是实数”的充分条件，但不是必要条件(简称“充分不必要条件”)；

(3)“如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么直线与圆相切”是真命题，其逆命题“如果直线与圆相切，那么圆心到直线的 距离等于圆的半径”也是真命题，因此“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的充要条件； 

(4) “如果α>β，那么sinα>sinβ” 是假命题，其逆命题“如果sinα>sinβ，那么α>β”也是假命题，所以“α>β”既不是“sinα>sinβ”的充分条件，也不是“sinα>sinβ”的必要条件(简称“既不充分也不必要条件”).

提问

引导

讲解

强调

思考

分析

解决

交流

帮助学生初步认识到要“双向”考虑问题

例2延续例1加深认识，判断条件直接关系需要“双向”确认

巩固练习

练习1.2

1.判断下列各题中的p是否为q 的充要条件 .

(1)p:函数f(x)=(a-1)x+1是R上的增函数，q:a>1；

(2)p:三棱锥 P-ABC 是正三棱锥，q:三棱锥 P-ABC  的底面为正三角形；

(3) p: sinA=，q:cos A=；

(4) p:x>3，q:x>2. 

2. 写出下列各题中条件与结论之间的逻辑关系. 

(1)“x2=y2”是“x=y” 的                .

 (2)“a∈N”是“a∈Z”的                .

 (3) “0<a<1”是“函数 y=1ogax 在(0,+∞)上单调递减的                .

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

交流

通过练习及时掌握学生的知识掌握情况，查漏补缺

归纳总结

引导

提问

回忆

反思

培养

学生

总结

学习

过程

能力

布置作业

1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；

2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;

3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.

说明

记录

继续探究

延伸学习