高教版（2021）拓展模块一 上册第5章 复数5.1 复数的概念和意义5.1.1 复数的概念教案

授课题目

5.1复数的概念和意义

选用教材

高等教育出版社《数学》

（拓展模块一上册）

授课时长

3课时

授课类型

新授课

教学提示

本课复数的概念是整个复数内容的基础，从解方程的需要出发，从实数系扩充到了复数系，介绍了复数的概念及其代数形式和几何表示，然后围绕复数的代数形式展开的复数的有关概念，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的充要条件，以及虚数、纯虚数等概念的理解，再促进对复数实质的理解，即复数实际上是一有序实数对．

教学目标

能结合求解方程x2+1=0的需要体会引入复数的必要性；能举例说明复数，复数的实部、虚部等概念，能区分复数、实数、虚数、纯虚数；知道复数相等的充要条件，能建立复数与有序实数对、平面内的点、以原点为起点的向量之间的一一对应关系，知道复平面内复数的几何意义；会求复数的模和复数的共轭复数；能用平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，能在圆、不等式等关联情境中解决相关的数学问题；培养和提升数学运算和逻辑推理等核心素养.

教学重点

复数的概念及代数表示，复数相等的充要条件．

教学难点

复数的概念及几何意义，虚数单位i的理解．

教学环节

教学内容

教师

活动

学生

活动

设计

意图

情境导入

很久以前,人们认为一元二次方程x²+1=0是无解的.但是,随着对数系的深人研究,人们逐渐意识到应该存在一个数,它就是该方程的解.

5.1.1 复数的概念

依照引入负数,使方程x+1=0有解的方法,是否可以引入一个数使方程x²+1=0有解呢？

提出

问题

引发

思考

思考

分析

回答

从解方程出发对数系进行扩充

新知探索

假设有一个数是方程x²+1=0的解,那么这个数的平方应该等于-1. 这个数不在实数集内. 为此,人们引人了一个新的数,记作i，称为虚数单位. 

既然i是一个数，那么它与实数就可以进行运算.实数b与i的乘积写成 bi，实数a与bi的和写成a+bi. 

把形如a+bi (a、b∈R)的数称为复数，其中a称为复数的实部，b称为复数的虚部. 

当b=0时，复数a+bi就是实数;

当b≠0时，复数a+bi称为虚数;

当a=0且b≠0时，复数称为纯虚数.

复数通常用小写英文字母z、w……表示，如z=a+bi.全体复数构成的集合称为复数集，用C表示，即

C={z|z= a+bi,a,b∈R}. 

探究与发现

全体虚数构成的集合称为虚数集,全体纯虚数构成的集合称为纯虚数集,它们与实数集、复数集之间具有怎样的关系？

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系可以用下图表示.

讲解

讲解说明

理解

思考

领会

复数的代数形式展开复数的有关概念的学习

利用图示帮助学生理解数集之间的关系

典型例题

例1  指出下列复数的实部和虚部,并判断这些复数是实数还是虚数.若是虚数,判断其是否为纯虚数.

   (1)2；(2)3-i；(3)5i；

解 (1)复数2的实部是2，虚部是0，它是实数； 

(2)复数 3-i的实部是3，虚部是-1，它是虚数，不是纯虚数； 

(3)复数5i 的实部是 0，虚部是5，它是虚数，而且是纯虚数. 

讲解

强调

指导学习

解决

交流

主动

求解

应用和巩固复数有关概念

新知探索

    如果两个复数a+bi与c+di的实部与虚部分别相等，就称这两个复数相等，记作

a+bi=c+di.

    即，如果a、b、c、d都是实数，那么

a+bi=c+di⇔ a=c且b=d.

特别地， a+bi=0 ⇔ a=0且b=0.

探究与发现

从两个复数相等的定义可知，复数a+bi与有序实数对(a,b)之间是一一对应的.

讲解

说明

学习

领会

讲解重要概念说明特殊情况

典型例题

例2  求满足下列条件的实数a和b.

  (1) (a+2b)-i=6a+(a-b)i；

(2) (a+b+1)+(a-b+2)i=0.

解  (1)根据复数相等的定义，可得方程组

解得

(2)根据复数相等的定义，可得方程组

解得

讲解

强调

指导学习

解决

交流

主动

求解

巩固复数相等的定义

巩固练习

练习5.1.1

1. 写出下列复数的实部和虚部.

2.下列复数哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？

3.求满足下列条件的实数x和y.

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

交流

及时掌握学生情况查漏补缺

情境导入

5.1.2 复数的几何意义

我们知道,任意一个实数都可以用数轴上的点来表示,那么复数可否用点来表示呢？

引发

思考

分析

回答

与实数类比

探索新知

由复数相等的定义,复数z=a+bi与有序实数对(a,b)之间是一一对应的.而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点也是 一一对应的．因此,复数集里的复数与平面直角坐标系中的点可以建立一一对应关系,即复数可以用平面直角坐标系中的点来表示.

如图所示,复数z=a+bi可以用平面直角坐标系中的点Z(a,b)来表示.用来表示复数的平面称为复平面,直角坐标系中的x轴称为实轴,y轴(除去原点)称为虚轴.显然,实轴上的点都表示实数;虚轴上的点都表示纯虚数.

例如，复平面内的原点O(0,0)表示实数O，点A(1,0)表示实数点B(0,-1)表示纯虚数-i，点D(1,-1)表示复数1-i.

由于复数z=a+bi与点Z(a,b)是一一对应的,点Z(a,b)与向量也是一一对应的,如图所示.因此,复数z=a+bi既可以用点Z(a,b)表示,也可以用向量表示,这就是复数的几何意义. 

一般地,向量的长度称为复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|，即

    显然,复数的模就是它在复平面中所对应的点到原点的距离.如果b=0,那么复数z=a+bi是一个实数,它的模等于实数a的绝对值|a|.

讲解

说明

展示图像引发思考

结合图像讲解要点

理解

领会

观察

图像

分析

问题

观察

图像

学习

领会

引导学生结合复数相等的定义认识到复数的实质是一有序实数对，再运用学习代数、解析几何的经验，领会到“复数的几何意义是平面上的点”

典型例题

例3  在复平面内，画出表示复数 3-i、4、2i 的点和向量. 

解  如图所示表示复数 3-i的点为 A(3,-1)，向量为；

表示复数4的点为 B(4,0)，向量为；

表示复数2i的点为 C(0,2)，向量为.

例4  已知复数z1=4+3i，z2=4-3i.

(1)在复平面内画出复数z1、z2对应的点和向量；

(2)求复数z1、z2的模，并比较模的大小.

解  (1)如图所示，复数z1、z2对应的点分别为Z1、Z2，对应的向量分别为和；

(2) |z1|=|4+3i|=,

|z2|=|4-3i|=.

    所以|z1|=|z2|.

一般地,如果两个复数的实部相等,虚部互为相反数,那么这两个复数互为共轭复数. 

共轭复数用表示，即如果z=a+b，那么=a-bi.

例4可知,两个共轮复数z和的模相等,表示两个共轭复数z和的点关于实轴对称.特别地,实数a 的共轭复数仍是a本身.

例5 设复数z在复平面内对应的点为 Z，问满足下列条件的点Z的集合是什么图形？

(1) |z|=3；

(2) 2≤|z|≤3.

解 (1)由|z|=3知，向量的模等于3，所以满足条件|z|=3的点Z的集合是以原点为圆心、以3为半径的圆.

(2)不等式2≤|z|≤3可化为

满足条件|z|≥2的点Z在以原点O为圆心、以2为半径的圆上或其外部，满足条件|z|≤3的点Z在以原点O为圆心、以3为半径的圆上或其内部.因此，满足条件2≤|z|≤3的点的集合是以原点O为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所围成的圆环.

探究与发现

两个实数可以比较大小,试问两个复数可以比较大小吗？

提问

引导

讲解

强调

指导示范

提问

引导

讲解

强调

指导示范

提问

引导

讲解

强调

指导示范

思考

分析

解决

交流

主动

求解

思考

分析

解决

交流

主动

求解

思考

分析

解决

交流

主动

求解

例3

例4

是在理解复平面概念的基础上，训练如何用复平面内的点表示复数，如何在复平面内表示向量，体会复数、点、向量间的一一对应关系

例5巩固复数几何意义，提升学生直观想象核心素养

巩固练习

练习5.1.2

    1.在复平面内画出表示下列复数的点和向量.

(1) 3+2i；            (2) -3+i；

(3) -3i；             (4) 3.

2.求下列复数的模.

(1) 4-3i；             (2) 2；

(3) -2i；             (4) -5+5i.

3.写出下列复数的共轭复数，并求它们的模.

(1) 5+12i；            (2) -1+i.

    4.指出满足下列条件的复数z所对应的点Z的集合是什么图形.

(1) |z|=1；            (2) 2≤|z|<4.

提问

巡视

指导

思考

动手

求解

交流

及时掌握学生情况查漏补缺

归纳总结

引导

提问

回忆

反思

培养

学生

总结

学习

过程

能力

布置作业

1.书面作业：完成课后习题和《学习指导与练习》；

2.查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习与回顾;

3.拓展作业：阅读教材扩展延伸内容.

说明

记录

继续探究

延伸学习