第12课 垂径定理-九年级数学上册同步精品讲义（浙教版）

第12课  垂径定理

知识点01  垂径定理

 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

2.定理的条件和结论．

条件：①直径；②垂直于弦

结论：①平分弦；②平分弧

知识点02 垂径定理的逆定理

逆定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

逆定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．

　考点01    垂径定理及其逆定理

【典例1】如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．

（1）求证：四边形ADOE是正方形；

（2）若AC＝2cm，求⊙O的半径．

【即学即练1】如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点E，交圆于点D，连接AC、BD．

（1）请写出五个不同类型的正确结论；

（2）若BC＝8，ED＝2，求⊙O的半径．

考点02  垂径定理及其逆定理的实际应用

【典例2】《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），求该圆材的直径．

【即学即练2】如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度DF为20米．求：

（1）桥拱的半径；

（2）现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为　　米．

题组A  基础过关练

1．如图，点A是⊙O上一点，连接OA．弦BC⊥OA于点D．若OD＝2，AD＝1，则BC的长为（　　）

A．2 B．4 C．2 D．2

2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE＝CD＝8，则⊙O的半径的长是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2

3．如图，⊙O的半径为2，弦AB＝2，则圆心O到弦AB的距离为（　　）

A．1 B． C． D．2

4．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，则AC的长为（　　）

A．8 B．10 C．4 D．4

5．往圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽AB＝48cm，水的最大深度为16cm，则圆柱形容器的截面直径为（　　）cm．

A．10 B．14 C．26 D．52

6．往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示．若水面宽AB＝24cm，则水的最大深度为（　　）

A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm

7．如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 　　．

8．如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝20m，拱高CD＝5m，则该拱桥的半径为 　　m．

9．如图，已知弧AB，试确定弧AB所在圆的圆心并补全这个圆．

10．已知：如图，∠PAC＝30°，在射线AC上顺次截取AD＝3cm，DB＝10cm，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点．

（1）求圆心O到AP的距离；

（2）求弦EF的长．

11．如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．

题组B  能力提升练

12．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（　　）

A． B．4 C． D．5

13．已知AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若DO＝DC，AB＝12，则⊙O的半径为（　　）

A．4 B．4 C．6 D．6

14．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点（不与A，B重合），过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为（　　）

A．3 B．2 C．4 D．4

15．已知⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（　　）

A．2 B．4 C．2或4 D．2或4

16．把一个球放在长方体收纳箱中，截面如图所示，若箱子高16cm，AB长16cm，则球的半径为（　　）

A．9 B．10 C．11 D．12

17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD的长为 　　．

18．如图所示，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A，B，C．

（1）用尺规作图法找出所在圆的圆心；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R．

19．如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN＝4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施．

20．如图，Rt△ABO，∠O＝90°，AO＝，BO＝1，以O为圆心，OB为半径的圆交AB于点P，求PB的长．

题组C  培优拔尖练

21．⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，且AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为（　　）

A．2cm B．14cm C．2cm或14cm D．10cm或20cm

22．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，则半圆O的半径是（　　）

A．4+ B．9 C．4 D．6

23．如图，在⊙O中，AB，AC为弦，CD为直径，AB⊥CD于E，BF⊥AC于F，BF与CD相交于G．

（1）求证：ED＝EG；

（2）若AB＝8，OG＝1，求⊙O的半径．

24.如图，在半径为2的扇形OAB中，∠AOB＝90°，点C是上的一个动点（不与点A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．

（1）当BC＝2时，求线段OD的长和∠BOD的度数；

（2）在△DOE中，是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．

（3）在△DOE中，是否存在度数保持不变的角？如果存在，请指出并求其度数；如果不存在，请说明理由．