福建省泉州市晋江市华侨中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（含答案）

这是一份福建省泉州市晋江市华侨中学2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年福建省泉州市晋江市华侨中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3
2．（4分）下列各式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（4分）下列二次根式，化简后能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）下列等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）已知一元二次方程x2+kx﹣3＝0有一个根为﹣1，则k的值为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
6．（4分）方程（x+3）2＝4的根是（　　）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5
C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝5
7．（4分）用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0，下列配方正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝7 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝7
8．（4分）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
9．（4分）已知关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0没有实数解，则k的取值范围是（　　）
A．k＞2 B．k＜2且k≠1 C．k≥2 D．k≤2且k≠1
10．（4分）若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（　　）
A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或20
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）化简：＝　 　．
12．（4分）化简为最简二次根式的结果是 　 　．
13．（4分）已知是关于x的一元二次方程，则a的值为 　 　．
14．（4分）某药店一月份销售口罩500包，一至三月份共销售口罩1820包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为x，则可列方程 　 　．
15．（4分）若m是方程2x2﹣3x﹣3＝0的一个根，则4m2﹣6m+2016的值为 　 　．
16．（4分）关于x的方程kx2﹣（k﹣1）x+1＝0有有理根，则整数k的值为 　 　．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣6x﹣18＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9．
19．（8分）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）x2+x﹣4＝0；
（2）（2x+1）2+15＝8（2x+1）．
20．（8分）先化简，再求值：，其中a＝﹣．
21．（8分）【阅读理解】
在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件；而有的信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐舍信息作为条件，我们把这样的条件称为隐舍条件，所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐舍条件．
阅读下面的解题过程，体会如何发现隐舍条件并回答下面的问题．
化简：（）2﹣|1﹣x|．
解：隐含条件为1﹣3x≥0，解得x≤，∴1﹣x＞0，
∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x．
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简：﹣（）2；
（2）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：++．
22．（10分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+1＝0．
（1）若1是该方程mx2﹣4x+1＝0的一个根，求m的值；
（2）若一元二次方程mx2﹣4x+1＝0有实数根，求m的取值范围．
23．（10分）已知a，b是方程x2+3x﹣2＝0的两个不相等的实根，求下列各式的值：
①a2+b2；
②；
③a3+3a2+2b．
24．（12分）关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0
（1）求证：无论k为何值，方程总有实数根．
（2）设x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，记S＝x1x2﹣x1﹣x2，S的值能为1吗？若能，求出此时k的值；若不能，请说明理由．
25．（14分）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．
（1）判断下列方程是不是“差1方程”，”并说明由：
①x2﹣5x﹣6＝0；
②x2﹣x+1＝0；
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．








2023-2024学年福建省泉州市晋江市华侨中学九年级（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共40分）
1．【答案】C
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故选：C．
2．【答案】D
【解答】解：A.＝，因此不是最简二次根式，所以选项A不符合题意；
B.＝，因此不是最简二次根式，所以选项B不符合题意；
C.＝2，因此不是最简二次根式，所以选项C不符合题意；
D.的被开方数是整数，且不含有能开得尽方的因数，因此是最简二次根式，所以选项D符合题意；
故选：D．
3．【答案】D
【解答】解：A、＝2与2不能合并，不符合题意；
B、＝3与2不能合并，不符合题意；
C、＝与2不能合并，不符合题意；
D、＝2与2能合并，符合题意．
故选：D．
4．【答案】A
【解答】解：A．＝＝，故本选项符合题意；
B．＝5，故本选项不符合题意；
C．和不能合并同类二次根式，故本选项不符合题意；
D．＝3，故本选项不符合题意；
故选：A．
5．【答案】B
【解答】解：把x＝﹣1代入方程得1﹣k﹣3＝0，
解得k＝﹣2．
故选：B．
6．【答案】A
【解答】解：（x+3）2＝4，
∴x+3＝±2，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣5，
故选：A．
7．【答案】D
【解答】解：x2﹣4x﹣3＝0，
移项得：x2﹣4x＝3，
配方得：x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7．
故选：D．
8．【答案】A
【解答】解：∵Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝1+8＝9＞0，
∴一元二次方程2x2+x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
9．【答案】A
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝22﹣4（k﹣1）＜0，
解得k＞2．
故选：A．
10．【答案】A
【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，
∴a，b可看作方程x2﹣8x+5＝0的两根，
∴a+b＝8，ab＝5，
＝
＝
＝
＝﹣20．
故选：A．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝3﹣2＝．
故答案为：．
12．【答案】2．
【解答】解：6＝＝＝2．
故答案为：2．
13．【答案】﹣2．
【解答】解：由题意得，
a﹣2≠0且a2﹣2＝2，
解得a＝﹣2．
故答案为：﹣2．
14．【答案】500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820．
【解答】解：根据题意，可得：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820，
故答案为：500+500（1+x）+500（1+x）2＝1820．
15．【答案】2022
【解答】解：由题意得：
把x＝m代入2x2﹣3x﹣3＝0中得：
2m2﹣3m﹣3＝0，
∴2m2﹣3m＝3，
∴4m2﹣6m+2016＝2（2m2﹣3m）+2016
＝2×3+2016
＝6+2016
＝2022，
故答案为：2022．
16．【答案】0或6．
【解答】解：（1）当k＝0时，x＝﹣1，方程有有理根．
（2）当k≠0时，因为方程有有理根，
所以若k为整数，则Δ＝（k﹣1）2﹣4k＝k2﹣6k+1必为完全平方数，
即存在整数m，使k2﹣6k+1＝m2．
配方得：（k﹣3+m）（k﹣3﹣m）＝8，
由k﹣3+m和k﹣3﹣m是奇偶性相同的整数，其积为8，
所以它们均是偶数，又k﹣3+m≥k﹣3﹣m．
从而或，
解得k＝6或k＝0（舍去），
综合（1）（2），所以方程kx2﹣（k﹣1）x+1＝0有有理根，整数k的值为0或6．
故答案为：0或6．
三、解答题（本大题有9小题，共86分）
17．【答案】2．
【解答】解：
＝3×﹣+2﹣
＝3﹣2+2﹣
＝2．
18．【答案】（1），；
（2）x1＝3，x2＝9．
【解答】解：（1）x2﹣6x﹣18＝0，
∴x2﹣6x＝18，
∴x2﹣6x+9＝27，
即（x﹣3）2＝27，
∴，
解得：，；
（2）2（x﹣3）2＝x2﹣9，
∴2（x﹣3）2﹣（x2﹣9）＝0，
即2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，
∴（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，
解得：x1＝3，x2＝9．
19．【答案】（1）x1＝，x2＝；
（2）x1＝1，x2＝2．
【解答】解：（1）x2+x﹣4＝0，
∵Δ＝12﹣4×1×（﹣4）＝1+16＝17＞0，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝；
（2）（2x+1）2+15＝8（2x+1），
（2x+1）2﹣8（2x+1）+15＝0，
（2x+1﹣3）（2x+1﹣5）＝0，
（2x﹣2）（2x﹣4）＝0，
2x﹣2＝0或2x﹣4＝0，
x1＝1，x2＝2．
20．【答案】a2﹣3，3．
【解答】解：原式＝a2﹣2+a2﹣1
＝2a2﹣3，
把a＝﹣代入得：
原式＝2×（﹣）2﹣3
＝2×3﹣3
＝6﹣3
＝3．
21．【答案】（1）1；（2）a+b+c．
【解答】解：（1）隐含条件为2﹣x≥0，得x≤2，
∴x﹣3＜0．
∴原式＝﹣（x﹣3）﹣2+x＝﹣x+3﹣2+x＝1；
（2）∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a﹣b＜c，a+c＞b，c﹣b＜a，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
∴++
＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a﹣c）﹣（c﹣b﹣a）
＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+b+a
＝a+b+c．
22．【答案】（1）3；
（2）m≤4且m≠0．
【解答】解：（1）把x＝1代入方程mx2﹣4x+1＝0得m﹣4+1＝0，
解得m＝3，
即m的值为3；
（2）根据题意得m≠0且Δ＝（﹣4）2﹣4m≥0，
解得m≤4且m≠0，
即m的取值范围为m≤4且m≠0．
23．【答案】①5；
②；
③﹣6．
【解答】解：∵a，b是方程x2+3x﹣2＝0的两个不相等的实根，
∴a+b＝﹣3、ab＝﹣2，a2+3a＝2，
①a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝9﹣4
＝5；
②
＝
＝
＝；
③a3+3a2+2b
＝2a+2b
＝2（a+b）
＝2×（﹣3）
＝﹣6．
24．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：①当k﹣1＝0即k＝1时，方程为一元一次方程2x+2＝0，
解得：x＝﹣1，
∴当k＝1时，原方程有一个解；
②当k﹣1≠0即k≠1时，方程为一元二次方程，
∵Δ＝（2k）2﹣4×2（k﹣1）＝4k2﹣8k+8＝4（k﹣1）2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
综合①②得：不论k为何值，方程总有实根．
（2）解：假设能，∵x1，x2是方程（k﹣1）x2+2kx+2＝0的两个根，
∴，，
∴S＝x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝1，即，
整理得：2+2k＝k﹣1，解得：k＝﹣3．
经检验：k＝﹣3是分式方程的解．
∴S的值能为1，此时k的值为﹣3．
25．【答案】（1）①x2﹣5x﹣6＝0不是“差1方程“；②x2﹣x+1＝0是“差1方程“；理由见解析；
（2）m＝0或﹣2；
（3）t的最大值为9．
【解答】解：（1）①解方程x2﹣5x﹣6＝0，
（x+1）（x﹣6）＝0，
x+1＝0或x﹣6＝0，
解得x＝﹣1或6，
∵6﹣（﹣1）≠1，
∴x2﹣5x﹣6＝0不是“差1方程“；
②解方程x2﹣x+1＝0，
Δ＝（﹣）2﹣4＝5﹣4＝1＞0，
∴x＝＝．
∵﹣＝1，
∴x2﹣x+1＝0是“差1方程“；

（2）解方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）得：
（x﹣m）（x+1）＝0，
∴x＝m或x＝﹣1，
∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程“，
∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1，
∴m＝0或﹣2；

（3）由题可得：Δ＝b2﹣4a×1＝b2﹣4a≥0，
解方程得x＝，
∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，
∴﹣＝1，
∴b2＝a2+4a，
∵t＝10a﹣b2，
∴t＝10a﹣a2﹣4a＝6a﹣a2＝﹣（a﹣3）2+9，
∵a＞0，
∴a＝3时，t的最大值为9．