中考数学二轮复习重难点题型突破二次函数与角度问题（含解析）

这是一份中考数学二轮复习重难点题型突破二次函数与角度问题（含解析），共12页。试卷主要包含了已知抛物线的图象与轴交于，如图，抛物线，与轴交于点，且．，已知等内容，欢迎下载使用。
类型二 二次函数与角度问题例1、已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，，过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线经过、两点.（1）          求此抛物线的解析式；（2）连接、、，试比较和的大小，并说明你的理由.【答案】解：（1）∵CD∥x轴且点C（0，3），∴设点D的坐标为(x，3) ．∵直线y= x+5经过D点，∴3= x+5．∴x=－2．即点D(－2，3) ．根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y），又∵直线y= x+5经过M点，∴y =－1+5，y =4．即M（－1，4）．∴设抛物线的解析式为．∵点C（0，3）在抛物线上，∴a=－1．即抛物线的解析式为．…………3分（2）作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N．由（1）中抛物线可得点A（－3，0），B（1，0），∴AB=4，AO=CO=3，AC=．∴∠PAB＝45°．∵∠ABP=45°，∴PA=PB=．∴PC=AC－PA=．在Rt△BPC中，tan∠BCP==2．在Rt△ANM中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2．tan∠NAM==2．∴∠BCP＝∠NAM．即∠ACB＝∠MAB．           例2、在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点N（2,－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】解：（1）∵过点M、N（2，－5），，由题意，得M（，）.∴ 解得  ∴此抛物线的解析式为. …………………………………2分（2）设抛物线的对称轴交MN于点G，若△DMN为直角三角形，则.∴D1（，），（，）. ………………………………………4分直线MD1为，直线为.将P（x，）分别代入直线MD1，的解析式，得①，②.解①得 ，（舍），∴（1,0）.  …………………………………5分解②得 ，（舍），∴（3,－12）.  ……………………………6分（3）设存在点Q（x，），使得∠QMN=∠CNM.① 若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，交MN于点H，则.即. 解得，（舍）.∴（，3）. ……………………………7分② 若点Q在MN下方，同理可得（6，）.  …………………8分 例3、平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D．   (1) 求此抛物线的解析式；  (2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；    (3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐标和此时△的面积．               【答案】（1）∵ ，∴ 抛物线的对称轴为直线．∵ 抛物线与x轴交于   点A、点B，点A的坐标为，∴ 点B的坐标为，OB＝3．…………… 1分可得该抛物线的解析式为．∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，∴ OC=3，点C的坐标为．将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．……2分∴ 此抛物线的解析式为．（如图9）…………………… 3分       （2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10）            可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上． ∵ 、都是弧AB所对的圆周角，∴ ，且射线FE上的其它点P都不满足．由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上．            ∴ 点E的坐标为．………………………………………………… 4分∴ 由勾股定理得 ．∴ ．∴ 点的坐标为．…………………………………………… 5分由对称性得点的坐标为． ……………………………… 6分∴符合题意的点P的坐标为、.（3）∵ 点B、D的坐标分别为、，可得直线BD的解析式为，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．∵ 点A关于∠AQB的平分线的对称点为，（如图11）若设与∠AQB的平分线的交点为M，则有 ，，，Q，B，三点在一条直线上．∵ ，∴ 作⊥x轴于点N．∵ 点Q在线段BD上， Q，B，三点在一条直线上，∴ ，．∴ 点的坐标为． ∵ 点Q在线段BD上，∴ 设点Q的坐标为，其中．∵ ，∴ 由勾股定理得 ．解得．经检验，在的范围内．∴ 点Q的坐标为． …………………………………………… 7分此时．… 8分  例4、已知，抛物线与x轴交于点A（－2,0）、B（8,0），与y轴交于点C（0，－4）。直线y=x+m与抛物线交于点D、E（D在E的左侧），与抛物线的对称点交于点F。（1）求抛物线的解析式；（2）当m=2时，求∠DCF的大小；（3）若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点P，使∠DPF＝450，且满足条件的点P只有两个，则m的值为___________________.（第（3）问不要求写解答过程）【答案】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），
∵抛物线与y轴交于点C（0，-4），
∴-4=a（0+2）（0-8）．
解得a=．
∴抛物线的解析式为y=(x+2)(x-8)，即y=x2-x-4；

（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=3，
∵m=2，
∴直线的解析式为y=x+2，
∵直线y=x+2与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，
∴F、D两点的坐标分别为F（3，5），D（-2，0）．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，
可得CM=FM=MD=5，
∴F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上．
∴∠DCF=∠DMF=45°．

（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，-）
设F（3，3+m），则FG=m+3+，设D关于对称轴的对称点为D1，
当四边形DGD1F为正方形时，满足题意，此时P点与顶点G重合，或者与D1重合，
故DD1=F′G，D点横坐标为：x=-（F′G-3）=-，纵坐标为-（F′G-3-m）=，
将D点坐标抛物线解析式，解得m=-．例5、如图，抛物线，与轴交于点，且．（I）求抛物线的解析式；（II）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由； （III）直线交轴于点，为抛物线顶点．若，的值．【答案】解：（I），且．．代入，得（II）①当可证∽     ．②同理: 如图当③当综上，坐标轴上存在三个点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形，分别是，．（III）．．∴．． ． 又．．．例6、如图⑴，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2＋8ax＋16a＋6经过点B（0，4）.⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，联结BC、AC.求证：△ABC是等腰直角三角形；⑶在⑵的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，请说明理由．           图（1）        备用图                                                                                      【答案】⑴解：由题意知：          解得：    ∴抛物线的解析式为：-------1分⑵证明 ：由抛物线的解析式知:顶点D坐标为（－4,6）       ∵点C的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上∴C点坐标为(－4，－4)设直线BD解析式为： 有：，∴∴BD解析式为∴直线BD与x轴的交点A的坐标为（8,0）过点C作CE⊥轴于点E，则CE=4，BE=8又∵OB=4，OA=8, ∴CE=OB,BE=OA,∠CEB=∠BOA=90°∴△CEB≌△BOA(SAS)-----------------------------2分∴CB=AB, ∠1=∠2∵∠2+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°∴∠1+∠3=90°，即∠ABC=90°∴△ABC是等腰直角三角形---------------------3分⑶存在.①当∠CA′B′=90°时，如图1所示， ∵A′B′∥AB∴∠OA′B′=∠BAO易证:∠ECA′=∠OA′B′∴∠ECA′=∠BAO∵tan∠BAO=∴tan∠ECA′=∴EA′=2∴A′坐标为(－2,0)∴直线l解析式为------5分②当∠A′CB′=90°时，如图2所示， 过点C作CE⊥轴于点E，易证△A′FC≌△B′EC∴A′F=B′E∴由①tan∠B′A′O=∴设B′坐标为（0，n）∴有∴B′坐标为（0，）∴直线l解析式为------7分例7、已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线y＝x交于点B、C（B在右、C在左）．（1）求抛物线的解析式；   （2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y＝－x2＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围．   【答案】解：          （1）点A（0，2m-7）代入y＝－x2＋2x＋m-2，得m=5∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3       ………………………2分（2）由得，∴B（），C（）B（）关于抛物线对称轴的对称点为可得直线的解析式为，由，可得∴       ………………………5分（3）当在抛物线上时，可得，，当在抛物线上时，可得，，舍去负值，所以t的取值范围是．………………8分