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中考数学三轮冲刺重难点题型突破第二讲 选择填空专项突破（含解析）
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这是一份中考数学三轮冲刺重难点题型突破第二讲 选择填空专项突破（含解析），共87页。试卷主要包含了选择填空考点梳理，四象限，故本选项正确；等内容，欢迎下载使用。
总复习
第二讲 选择填空精讲
性质及简单运用
学生姓名
年 级
学 科[来源:学*科*网Z*X*X*K]
数 学
教学目标
1、能从历年的中考题型中总结、归纳出常考的考试题型，并且从中掌握中考选择填空的考点考向，知己知彼，百战不殆；
2、对历年选择填空中出现的难点、重点进行突破，学会自己不会的点才能获得进步。
一、 考情分析：中考中的选择填空多为基础知识点，涉及面广，但历年中考选择填空常考点相对固定；代数与概率部分相对简单，几何部分综合性相对较高，函数方程部分内容不多，但一般都是难点。
二、选择填空考点梳理：知己知彼，百战百胜。
1、 实数相关概念（绝对值、倒数、相反数等）+ 科学计数法（2题，简单）
2、 角的度量 +多边形内角和、外角和的计算（1题，简单）
3、 根式、分式有意义的条件与自变量取值范围（1题，简单，易错）
4、 对顶角相等 + 平行线性质运用（1题，简单）+ 三视图读图与选图（1题，简单）
5、 轴对称图形、中心对称图形的辨别与判断、旋转的性质（1题，简单，易错）
6、 统计图的解读、统计量的分析与概率计算、概念辨析（1题，简单或中等，易错）
7、 整式乘法公式（平方差公式与完全平方公式）、因式分解（1题，中等）
8、 整式计算、指数幂运算 + 二次根式运算（1题，简单，易错）
9、 找规律（1题）：数字规律（简单）、图形（周期）规律（难）
10、 几何图形（阴影）面积计算：等面积法转化或者套公式（1题，中等或难）
11、 相似三角形的性质运用 + 特殊三角形性质与计算（1题，中等或难）
12、 平行四边形、菱形性质判断（1题，简单）+ 矩形、正方形小命题判断（1题，难）
13、 圆周角、圆心角定理角度求解 + 垂径定理的计算（1题，简单） 圆锥表面积、体积计算（1题，中等）
14、 方程组的求解、不等式与不等式组的解集、一元二次方程判别式的应用（1题，中等）
15、 分式方程中的行程（追及相遇）问题与工程问题（1题，中等或难）
16、 函数图像的选择：学过的函数图像混合判断 + 问题引出的函数图选择（1题，中等）
17、 反比例函数的几何意义求解与运用（1题，难）
[来源:学科网]
模块一
代数计算
有理数运算+科学计数法
题组一
该部分内容为送分题，只要能记住基础知识与概念，都可以做出来。科学计数法上一定要细心。
1、有理数的有关计算
（1）相反数：符号不同的两个数，互为相反数；0的相反数还是0。其中：互为相反数。
（2）绝对值
①定义：数轴上表示某数的点离开原点的距离。
正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
②绝对值可表示为： 或
（3）倒数：用1除以一个数的商，叫做这个数的倒数；乘积为1的两个数互为倒数，其中0没有倒数；
①若，那么的倒数是； ②实数互为倒数，则；
2、科学计数法：把一个数或有限小数记成的形式，其中，为整数，这种记数法叫做科学记数法．
（1）原数的绝对值大于10时，利用科学记数法，写成的形式，注意,等于原数的整数位数减1，也是小数点向左移动的位数，如：．
（2）原数的绝对值小于10时，利用科学记数法，写成的形式，注意，等于原数左边第一个非0的数字前的所有0的个数，是小数点向右移动的位数，如：．
例1 ； 的倒数是 ； 的相反数是 ．
【规范答题】根据负数的绝对值等于它的相反数，得； 的倒数是；的相反数是
例2 中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进面粉7吨，记为吨，那么运出面粉8吨应记为 吨．
【规范答题】因为题目运进记为正，那么运出记为负．所以运出面粉8吨应记为吨．故答案为：．
例3 千百年来的绝对贫困即将消除，云南省的贫困人口脱贫，的贫困村出列，的贫困县摘帽，1500000人通过异地扶贫搬迁实现“挪穷窝”，“斩穷根”（摘自2020年5月11日云南日报）．1500000这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【规范答题】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．所以，故选：．
1 的绝对值是 ．
【解答】，的绝对值是1．
2 若零上记作，则零下记作 ．
【解答】根据正数和负数表示相反的意义，可知如果零上记作，那么零下记作．故填：．
3 在实数，0，1中，最大的数是 ．
【解答】在实数，0，1中，最大的数是1，故答案为：1．
4 2020年“五一”期间，某景点接待海内外游客共688000人次，688000这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【解答】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．将688000用科学记数法表示为．故选：．
5 某地举办主题为“不忘初心，牢记使命”的报告会，参加会议的人员有3451人，将3451用科学记数法表示为 ．
【解答】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．，故答案为：．
指数幂运算+二次根式简单运算
题组二
题组二主要考察二次根式的加减乘除运算、二次根式性质运算、指数幂运算、整式乘法公式等简单内容，但是这部分内容由于知识间的相似，容易混淆出错，是典型的易错题，考试时避免出错，4个选项答案都要判断对错，综合运用排除法选择正确答案。
1、指数幂运算
①：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。逆用公式：
②：同底数幂相除，底数不变，指数相减。逆用公式：
③：幂的乘方，底数不变，指数相乘。逆用公式：
④：积的乘方，等于积的因式乘方积。逆用公式：，
⑤任何不等于0的数的0次幂都等于1。即
⑥负整数指数幂： 注意：为负指数的易错：、
2、二次根式的性质与计算:
（1）双重非负性：；
（2）二次根式的性质：； ；
（3）积的算术平方根的性质：；
（4）商的算术平方根的性质：.
3、最简二次根式：满足以下条件的根式叫最简二次根式
（1）被开方数不含分母（分母中也不能含有根号）； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
例4 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【规范答题】、，所以选项错误，、，所以选项错误，
、，所以选项正确；
、，所以选项错误，故选：．
例5 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【规范答题】、，错误；、，错误；
、，正确；、，错误；故选：
6 下列运算正确的是（ ）
A． B. C． D．
【解答】、，故错误；、，故错误；
、，故错误；、，故正确，故选：．
7 下列运算正确的是
A． B． C． D．
【解答】、由于，故本选项错误；
、由于，故本选项错误；
、由于与不是同类项，不能进行合并同类项计算，故本选项错误；
、由于，符合积的乘方与幂的乘方的运算法则，故本选项正确．
8 下列计算正确的是（ ）
A． B. C. D. [来源
【解答】、原式，故错误；、原式，故错误；、原式，故错误；故选：．
9 下列计算正确的是
A． B． C． D．
【解答】、原式，不符合题意；、原式，不符合题意；
、原式，符合题意；、原式，不符合题意，故选：．
10 下列运算中，正确的是
A． B．
C． D．
【解答】、，此选项错误，不合题意；、，此选项错误，不合题意；
、，正确；、，故此选项错误，不合题意；
整式乘法公式与因式分解
题组三
题组三主要考察完全平方公式、平方差公式，以及提公因式法，这部分内容记住公式是关键，细节部分主要是符号。因式分解要到最后的结果才有分，所以考试时需要特别注意数字也需要提公因式。
1、整式乘法公式
平方差公式：
完全平方公式：
以下是常见的变形：
2、因式分解的方法：
（1）提公因式法：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式。把多项式分解成两个因式的乘积的形式，即。
①用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.如：
②当多项式第一项的系数是负数时，先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.如：
③用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋”或“－”，不要把该项漏掉，或认为是而出现错误。
如：
（2）公式法：利用平方差公式：和完全平方公式：对多项式进行因式分解的方法。如：
对多项式可以先用整体法，即先令，则上式变为,简单明了，继续用公
式法分解因式。
（3）十字相乘法 ：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
对于二次三项式，若存在 ，则
判断方法：拆二次项与常数项，交叉相乘和为一次项可用该方法。判断时十字交叉，书写时横向相加再相乘。
举例：
例6 已知，则（ ）
A．38 B．36 C．34 D．32
【规范答题】把两边平方得：，则，故选：．
例7 分解因式： ．
【规范答题】原式提取，再利用平方差公式分解即可．原式，
故答案为：
11 因式分解： ．
【解答】原式．故答案为：．
12 分解因式： ．
【解答】．故答案为：．
13 分解因式：x2﹣2x+1＝ ．
【解答】．
14 多项式可分解为，则,的值分别为 .
【解答】，所以，.
15 分解因式：＝ .
【解答】.
16 将下列各式分解因式：
（1） （2）
【解答】（1）；（2）.
17 若，则 ．
【解答】把两边平方得：，则，故答案为：7
18 已知，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【解答】原式按多项式乘法运算后为，再将代入，可得－2m．
19 若非零实数满足，则= ．
【解答】将原式改写为，所以，可求出b=2a．
模块二
统计与概率
统计图解读与统计量分析与概率
题组一
1、统计调查方法：全面调查（即普查）和抽样调查．
全面调查与抽样调查的优缺点：
①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查；
②抽样调查有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
③选取调查方法主要依据是调查对象的重要性，和样本容量没有联系。例如人口普查，经济普查等。
2、统计学中的几个基本概念：
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．（只是个数字， 没有单位）
⑤样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
⑥总体平均数：总体中所有个体的平均数叫，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
3、统计数据处理
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
（3）平均数：对于个数，我们把叫做这个数的平均数；
（4）方差：在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。用“”表示。即方差主要体现数据的稳定性，方差越小，越稳定。
4、概率的概念与辨析
（1） 必然事件:那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件．
不可能事件：那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件．
随机事件:无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件．
（2）概率与频率的区别：
①求一个事件概率的基本方法是通过大量的重复实验，但是实验结果（频率）不代表概率；
②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件A的概率；
③概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值。二者没有必然联系，概率是可能性，频率是实验结果；
④概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
例8 下列判断正确的是（ ）
A．甲乙两组学生身高的平均数均为，方差分别为，，则甲组学生的身高较整齐
B．为了解七年级名学生期中数学成绩，从中抽取名学生进行调查，这个问题中样本容量为
C．在“童心向党，阳光下成长”合唱比赛中，个参赛队成绩如下表，则这个参赛队成绩中位数是
比赛成绩/分
参赛队个数
D．有名同学出生于年，那么在这个问题中“至少有两名同学出生在同一个月”属于必然事件
【规范答题】、甲乙两组学生身高的平均数均为1.58，方差分别为，，
则乙组学生的身高较整齐，故此选项错误；
、为了了解某县七年级4000名学生的期中数学成绩，从中抽取100名学生的数学成绩进行调
查，这个问题中样本容量为100，故此选项错误；
、在“童心向党，阳光下成长”合唱比赛中，30个参赛队的决赛成绩如下表：
比赛成绩分
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
参赛队个数
9
8
6
4
3
则这30个参赛队决赛成绩的中位数是9.6，故此选项错误；
、有13名同学出生于2003年，那么在这个问题中“至少有两名同学出生在同一个月”属于
必然事件，正确．故选：．
例9 年月日，以“玉汝于成，溪达四海”为主题的2017一带一路数学科技文化节•玉溪暨第届全国三维数字化创新设计大赛（简称“全国大赛”）总决赛在玉溪圆满闭幕．某学校为了解学生对这次大赛的了解程度，在全校名学生中随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅统计图．下列四个选项错误的是（ ）
A．抽取的学生人数为人 B．“非常了解”的人数占抽取的学生人数的
C．° D．全校“不了解”的人数估计有人
【规范答题】抽取的总人数为（人，故正确，
“非常了解”的人数占抽取的学生人数的，故正确，，故正确，
全校“不了解”的人数估计有（人，故错误，故选：．
20 某校随机抽查10名参加2016年云南省初中学业水平考试学生体育成绩，得到结果如表：
成绩（分）
46
47
48
49
50
人数（人）
1
2
1
2
4
下列说法正确的是（ ）
A．这名同学的体育成绩的众数为50 B．这名同学的体育成绩的中位数为48
C．这名同学的体育成绩的方差为50 D．这名同学的体育成绩的平均数为48
【解答】10名学生的体育成绩中50分出现的次数最多，众数为50；
第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：；
平均数，
方差；
选项正确，、、错误；故选：．
21 某学习小组名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如表：
人数（人）
分数（分）
那么这名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【解答】在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90；
排序后处于中间位置的那个数是90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90；选：．
22 某校九年级体育模拟测试中，六名男生引体向上的成绩如下（单位：个）、6、9、11、8、10，下列关于这组数据描述正确的是
A．极差是6 B．众数是10 C．平均数是9.5 D．方差是16
【解答】（A）极差为，故（A）错误；
（B）根据出现次数最多的数据是10可得，众数是10，故（B）正确；
（C）平均数为，故（C）错误；
（D）方差为，故（D）错误．故选：．
23 下列说法正确的是（ ）
A．要了解某公司生产的万只灯泡的使用寿命，可以采用抽样调查的方法
B．4位同学数学期末成绩分别为，则这四位同学数学期末成绩的中位数为
C．甲乙两人各自跳远次，若他们跳远成绩平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分别为和
D．某次抽奖活动中，中奖的概率为表示每抽奖次就有一次中奖
【解答】 、要了解灯泡的使用寿命破坏性极大，只能采用抽样调查的方法，故本选项正确；
、位同学的数学期末成绩分别为100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位
数为102.5，故本选项错误；
、甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差不能确定，
故本选项错误；
、某次抽奖活动中，中奖的概率为表示每抽奖50次可能有一次中奖，故本选项错误选：．
24 下列说法正确的是
A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查
B．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、，若，，，则甲的成绩比乙的稳定
D．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
【解答】了解三名学生的视力情况，由于总体数量较少，且容易操作，因此宜采取普查，因此选项不符合题意；任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，因此选项不符合题意；根据平均数和方差的意义可得选项符合题意；一个抽奖活动中，中奖概率为，表示中奖的可能性为，不代表抽奖20次就有1次中奖，因此选项不符合题意；故选：．
25 下列判断正确的是
A．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查
B．一组数据6，5，8，7，9的中位数是8
C．甲、乙两组学生身高的方差分别为，．则甲组学生的身高较整齐
D．命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题
【解答】．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查，所以选项错误；
．一组数据6，5，8，7，9的中位数是7，所以选项错误；
．甲、乙两组学生身高的方差分别为，．则乙组学生的身高较整齐，选项错误；
．命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题，
26 某中学九年级甲、乙两个班参加了一次数学考试，考试人数每班都为40人，每个班的考试成绩分为A、B、C、D、E五个等级，绘制的统计图如图：
根据以上统计图提供的信息，则D等级这一组人数较多的班是 ．
【解答】由题意得：甲班等级的有13人，乙班等级的人数为（人，
，所以等级这一组人数较多的班是甲班；故答案为：甲班．
模块三
几何性质、判定与计算
角的度量与多边形内角和外角和计算
题组一
1、三角形内角和定理：三角形的内角和为
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。
2、多边形的有关计算
①多边形内角和。若正多边形每个内角为，则有
②多边形外角和。若正多边形每个外角为，则有
③多边形对角线条数
例10 若一个多边形的边数为6，则这个多边形的内角和为 ．
【规范答题】根据题意得，故答案为：720
例11 如图1，过直线上一点作射线，，则的度数为 ．
【规范答题】，的度数为：．故答案为：．
27 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【解答】设这个多边形是边形，则，解得：，即这个多边形为七边形．故选：．
28 一个五边形的内角和为（ ）
A．540° B．450° C．360° D．180°
【解答】根据多边形内角和公式：，答：一个五边形的内角和是540度，故选：．
29 若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个内角是
A． B． C． D．
【解答】：，，．则这个正多边形的每一个内角为．选：．
30 一个十二边形的内角和等于（ ）
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
【解答】十二边形的内角和等于：；故选：．
31 如图2在中，交于点，量角器摆放如图所示，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【解答】，，，
又，，故选：．
平行线性质与平行线分线段成比例的应用
题组二
1、性质与判定
①性质：两直线平行同位角相等、内错角相等、同旁内角互补
②判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行
例12 如图，直线，直线与直线分别相交于两点，若，则∠2= ．
【规范答题】直线，，．与是对顶角，．答案为：．
例13 如图，在中，分别为上的点，若，，则 ．
【规范答题】，，．故答案为：．
32 如图，，交于点，，，则的度数为 ．
【解答】，，，，
，，故答案为：．
33 如图，已知，若，则 ．
【解答】，，，故答案为．
34 如图，若AB∥CD，∠1＝40度，则∠2＝ 度．
【解答】，，，．故答案为：140．
轴对称图形、中心对称图形与三视图的判别
题组三
1、三视图
三视图
一物体在三个投影面内进行正投影，在正面得到的的视图叫主视图；在水平面得到的叫俯视图；在侧面内得到的视图叫左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
长对正
高平齐
宽相等
2、常见几何体的三视图
主视图
俯视图
左视图
球
圆柱
圆锥
正方体
3、轴对称与中心对称
中心对称图 形
定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
轴对称
图 形
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
轴对称性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；
②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线。
例14 一个几何体的主视图、左视图、俯视图是半径相等的圆，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体
【规范答题】主视图、俯视图和左视图都是圆的几何体是球．
例15 下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【规范答题】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
35 右侧所给几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】由几何体可得：圆锥的俯视图是圆，且有圆心．故选：B．
36 下面长方体的主视图（主视图也称正视图）是（ ）
A． B． C． D．
【解答】长方体的主视图（主视图也称正视图）是
37 下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【解答】由主视图以及左视图可知这是一个锥体，再根据俯视图可知是一个圆锥，故选D．
38 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．三角形 B．菱形 C．角 D．平行四边形
【解答】A、三角形不一定是轴对称图形和中心对称图形，故本选项错误；
B、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
C、角是轴对称图形但不一定是中心对称图形，故本选项错误；
D、平行四边形是中心对称图形但不一定是轴对称图形，故本选项错误，故选B．
39 下列几何体的左视图为长方形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】A．球的左视图是圆；B．圆台的左视图是梯形；
C．圆柱的左视图是长方形；D．圆锥的左视图是三角形．故选C．
40 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】A、此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图不是中心对称图形，是轴对称图形，故A错；
B、此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此项正确；
C、此图形旋转180°后与原图形不重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图旋转180°后不能与原图形重合，∴此图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
解三角形
题组四
1、相似三角形的性质与判定
（1）性质： ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
②对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；
③相似三角形面积比等于相似比的平方。
（2）判定： ①两个角对应相等，两个三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.
③三边对应成比例，两个三角形相似。
2、特殊三角形性质
特殊三角形
等腰三角形
性质
①等腰三角形是轴对称图形
②等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
③等腰三角形的顶角平分线、底边中线、高线相互重合(三线合一)
等边三角形[来源:学*科*网Z*X*X*K]
性质
等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。等边三角形三线合一[来源:学科网ZXXK]
直角三角形
性质
①直角三角形的两锐角互余。
②在直角三角形中，如果一个锐角等于°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
④勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，即。
实记勾股数
3、解三角形的方法
定 义
由三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解三角形。
边角五元素之间的关系
设在中，，、、所对的边分别为，
则有：①三边之间的关系：(勾股定理)；
②锐角之间的关系：
③边角的关系：、、；
④，斜边的高
一般过程
①弄清题中名词、术语意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；②将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； ③根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形；④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
非直角三角形中恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形
例16 如图，是的边上一点，，，．如果 的面积为15，那么 的面积为（ ）
A．15 B．10 C． D．5
【规范答题】，，，，，
的面积：的面积，的面积：的面积，
的面积为15，的面积．故选：．
例17 在中，，，若边上的高等于，则边的长为 ．
【规范答题】有两种情况：
① 如图1，是的高，，由勾股定理得：
，，
② 如图2，同理得：，，，综上所述，的长为9或1；
41 在中，，，，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，∴∠A的正切值为=3，故选A．
42 如图：在中，，，点，分别是，的中点，连接，，如果，那么的周长是 ．
【解答】，分别是，的中点，，，，
，，，，
，又是的中点，直线是线段的垂直平分线，，
的周长，故答案为：18．
43 如图，，，，若，则
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】如图，过点作，交于点
，是等边三角形，，
，，，即
是等边三角形，，平分，
在中，，，故选：．
44 如图，在中，，，，为的角平分线，则三角形面积为
A．3 B．10 C．12 D．15
【解答】作于，如图，在中，，，，，
为的角平分线，，，
，解得，．故选：．
45 如图，为了测得电视塔的高度，在处用高为1米的测角仪，测得电视塔顶端的仰角为，再向电视塔方向前进100米达到处，又测得电视塔顶端的仰角为，则这个电视塔的高度（单位：米）为
A． B．51 C． D．101
【解答】设，在中，，，
在中，，，，
解得：．则米．故选：．
46 在中，，，，则边长为
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
【解答】，，
当为钝角三角形时，如图1，，，
，，由勾股定理得，；
当为锐角三角形时，如图2，，故选：．
47 如图，在中，，是边上一点，，，．则为
A. B． C． D．
【解答】如图，延长到，使得．设．
，，，
，，，，
，，，
解得或（舍弃）．，故选：．
四边形中的有关计算
题组五
平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
性质
①对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、邻角互补
②
判定
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等（平行）的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
矩 形
定义
有一个角为的平行四边形叫做矩形
性质
①对角线相等、3个内角为直角
②
判定
①有一（三）个角是直角的平行四边形（四边形）是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形。
菱 形
定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质
①四边相等、对角线平分对角
②对角线互相垂直且平分
③菱形面积 = 对角线乘积的一半
判定
①有一组邻边（四边）相等的平行四边形（四边形）是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③对角线平分对角的平行四边形是菱形。
正方形
定义
4条边相等4个角为直角的四边形叫做矩形
性质
①四边相等，四个角都为
②对角线互相垂直、相等且互相平分。
③边长×边长＝×对角线×对角线
判定
①对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
②邻边相等（对角线互相垂直）的矩形是正方形
③有一个角是直角（对角线相等）的菱形是正方形
例18 如图1，是矩形各边中点,，，则四边形的面积是 ．
【规范答题】，，，分别是矩形各边的中点，，，
，．
在与中，，．
同理可得，
．故答案为：24．
例19 在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ．
【规范答题】过作于，在中，，，
，，在中，，
，
如图1，，平行四边形的面积，
如图2，，平行四边形的面积，故答案为：或．
48 如图，在矩形中，，，是边上一点，沿折叠，使点恰好落在 边上的处，是的中点，连接，则 ．
【解答】在矩形中，，，沿折叠，使点恰好落在边上的处，
，，是的中点，，，
，则．故答案为：．
49 如图2，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（ ）
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【解答】，，，，为直角三角形，，
、与分别相切于点、，，四边形为正方形，
设，则，的内切圆与、、分别相切于点、、
，，，，
阴影部分（即四边形的面积是．故选：．
50 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】如图，设交于点．
由作图可知：，，，，
四边形是平行四边形，，，，
，，四边形是平行四边形，
，四边形是菱形，，，
在中，，，
．故选：．
51 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，垂足为，，，则的值为
A．6 B．5 C． D．
【解答】四边形是矩形，，，，，，
，，，，即是等边三角形，
，，，，故选：．
扇形面积与圆锥、圆柱表面积、体积
题组六
内 容
图 示
扇 形
弧长公式：
面积公式：
圆 锥
圆锥展开：侧面展开图是扇形，底面是圆。
为扇形半径，也叫圆锥母线长。
圆锥个考点：
①侧面展开图中：扇形弧长=底面圆周长。即：
②在圆锥内由勾股定理有：
圆 柱
圆柱展开：侧面展开图时长方形，上底和下底时圆。
例20 如图1，边长为的正方形外切于⊙，切点分别为．则图中阴
影部分的面积为 ．
【规范答题】如图，连接，延长交于点，正方形外切于，
，四边形为矩形，，
又，点与点重合,则为的直径，同理为的直径，
由且知，四边形为正方形，
同理四边形、四边形、四边形均为正方形，
，，
，
则阴影部分面积，故答案为：．
例21 已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若圆锥的体积等于，则这个圆锥的高等于（ ）
A． B. C. D.
【规范答题】
法一：设圆锥高为h，底面圆半径为r，则母线=
底面圆周长为，而展开图中扇形半径=母线=，并且展开图中弧长为，
故
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法二：利用一个结论， 圆锥展开图如果是半圆，则圆锥的母线是底面半径的2倍。这个方法可以先算出
[再利用，算出，进一步可得
例22 如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：，则这个几何体的侧面积为
A． B． C． D．
【规范答题】由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的侧面积．故选：．
52 圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为，的长方形，那么这个圆柱的体积等于 ．
【解答】① 底面周长为6高为，；
② 底面周长为高为6，．
答：这个圆柱的体积可以是144或．故答案为：144或．
53 一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为的圆，那么它的左视图的高是 ．
【解答】设圆锥的底面圆的半径为，则，解得，因为圆锥的主视图是等边三角形，
所以圆锥的母线长为4，所以它的左视图的高．故答案为．
54 一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）
A．48π B．45π C．36π D．32π
【解答】侧面积是：底面圆半径为：，
底面积，故圆锥的全面积是：．故选：．
55 若扇形面积为，圆心角为，则该扇形的半径为
A．3 B．9 C． D．
【解答】扇形的面积．解得：．故选：．
56 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是
A． B． C． D．
【解答】这个圆锥的侧面积，故选：．
57 一个圆锥的底面半径为4．侧面展开图是半径为8的扇形，则该圆锥的侧面积是
A． B． C． D．
【解答】圆锥的底面半径为4，圆锥的侧面展开扇形的弧长为，
侧面展开扇形的半径为8，该圆锥的侧面积为，故选：．
58 如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径，高，则这个零件的表面积是
A． B． C． D．
【解答】易得圆锥的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，圆锥的侧面积，
圆柱的侧面积，圆柱的底面积，
零件的表面积．故选：．
59 如图，圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是
A． B． C． D．
【解答】圆锥的母线，圆锥的侧面积，故选：．
60 已知圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是
A．6 B． C． D．9
【解答】设母线长为，由题意得：，解得：，故选：．
61 如图所示，扇形中，，点为中点，，交于，以为半径画交于，则图中阴影部分面积为 ．
【解答】如图，连接．，，，，，
，故答案为：．
圆周角、圆心角定理与垂径定理
题组七
1、圆在选择填空中的考察主要以圆周角和圆心角定理为主，做题时，圈画关键词，并且抓准圆心角、圆周角是关键。
内 容
图 示
圆心角
定 理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
圆周角
定 理
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半。
如图：
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）。
如图：
推论2：圆内接四边形的对角互补。
如图：，．
2、垂径定理
垂径
定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
例23 如图，为⊙的直径，，，垂足为，切⊙于点，，连接、、，下列结论不正确的是（ ）
A． B．是等边三角形
C． D．弧的长为
【规范答题】为的直径，切于点，，又，，正确；
弦，，，是等边三角形，正确；
弦，，正确；的长为：，错误，故选：．
例24 如图，是⊙上的两点，的垂直平分线与⊙交于两点， 与线段交于点．若 ，则（ ）
A．30° B．29° C．28° D．20°
【规范答题】，，，
．又是线段的垂直平分线，，
，．故选：．
例25 如图，在半径为3的中，直径与弦相交于点，连接，，若，则 ．
【规范答题】连接，，是的直径，，
，，．故答案为：．
62 如图，点、、在上，，则的度数是
A． B． C． D．
【解答】，圆心角，，
，故选：．
63 如图，为的直径，点、在上，若，则的大小为
A． B． C． D．
【解答】连接．是直径，，
，，故选：．
64 如图，为的直径，为弦，，垂足为，若，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】为的直径，为弦，，，
，，故选：．
65 如图，是的内接三角形，已知圆心〇在边上，平分交圆于点，连接，若，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】是的内接三角形，圆心〇在边上，为的直径，
，平分，，，，
，，，故选：．
66 如图，是的直径，点在的延长线上，，与相切于点，交的延长线于点，若的半径为1，则的长是
A．1.5 B．2 C． D．
【解答】连接，切于，，的半径为1，，是的直径，
，，，由勾股定理得：，
，过，切于，切于，，设，
在中，由勾股定理得：，即，解得：，即，
故选：．
67 如图，半径为的的弦，且于，连结、，若，则半径的长为
A．1 B． C． D．
【解答】弦，，，，；连接，，
，，，，，
，，，故选：．
68 如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，，则的长为
A． B． C．4 D．
【解答】，是直径，，，，
，，．，故选：．
69 如图，在中，，是的中点，过，，三点的与边相切于点，则的半径为
A． B． C．1 D．
【解答】如图，连接、，作于点，于点，根据垂径定理可知：，
，是的中点，，与边相切于点，
根据切割线定理可知：，，，，
，，切圆于点，，，
，，，，，
，，即，解得．所以的半径为．选：．
几何小命题辩选
题组八
1、几何小命题主要围绕的考点：三角形全等是核心，特殊三角形的性质是手段，数形结合、坐标解析法、等面积方法的综合运用
例26 如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，则①；②；③；④中正确有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【规范答题】①于，，是边的中点，，①正确；
②过作于，则，
平分，，，②错误；
③，于，是等腰直角三角形，，
于，于，，，，
在与中，，，③正确；
④平分，且于，，，
在与中，，，，
，，④正确．故选：．
例27 如图，半径为的的弦，、交于，为上一点，连、、、，
下列结论：①；②若，则；③在②的条件下，若，，则
．其中正确的是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【规范答题】①弦，，，，；
②连接，，，，，，
，；
③设与相交于点，连接，，，，
在和中，，，
，，，，，
，，，，，，
，，，．
故其中正确的是：①②③．故选：．
例28 如图，正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交点为的中点，连接，，，．下列结论：①；②；③≌；④若，则结论正确的（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【规范答题】①四边形为正方形，，，，，
为等腰直角三角形，，，故①正确
② 为等腰直角三角形，为的中点，，，
在和中，，，，
，故②正确；
③ 为等腰直角三角形，为的中点，，，
在和中，，，故③正确；
④ ，，为等腰直角三角形，为的中点，，
，
在和中，，，
，，，
为等腰直角三角形，
过点作垂直于于点，如图所示：设，则，，，
则，，，故④正确；故选：．
70 如图，在四边形中，，，，平分，，分别为，的中点，的延长线交于点，连接，．对于下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②
【解答】，，，，故①正确，
，，，，，故②正确，
，平分，，，
，，，
斜边斜边，故③错误，
，，是等腰直角三角形，，
，，故④正确．故选：．
71 如图1，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】四边形是平行四边形，，，平分，
是等边三角形，，，
，，，故①错误；
可得，，故②正确；
，为中点，，，
，；故③正确；
四边形是平行四边形，，，，
，，，，故④正确；
故正确的个数为3个，故选：．
72 如图，等边三角形中，是边上的中线，点在线段上，，的延长线交 于点，，连接交于点．下面结论：①；②；③；④．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】是等边三角形，是边上的中线，，，
，，故①正确，
，，，，
，，，，，故②正确，
设，则，，，，
，，故③正确，
在中，，，，，
，故④正确，故选：．
73 如图，中，，，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接交于点，则以下结论：①； ②；③； ④与的面积比是：其中正确结论是
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【解答】如图，设．
在中，，，，，，
平分，，，，，
是钝角，，，故①错误，，
，显然，故②错误，
，，垂直平分线段，故③正确，
，故④正确，故选：．
74 如图，、是的切线，切点分别为、，是的直径，交于、两点，交于，连，下列结论：①②③④为的内心，其中正确的是
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②④
【解答】连接、、、，作，，
是直径，，即，、是的切线，，
故可得，即可得②正确；
，点是线段的中点，由题意得，，，，
，，，，即①正确；
由题意得，，，而，故不能得出，
也即得出，即③错误；、是的切线，，又，
，，即可得点是角平分线的交点，点为的内心，
故可得④正确．综上可得①②④正确．故选：．
75 如图，是半圆直径，半径于点，平分交弧于点，连结、，给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【解答】是半圆直径，，，平分交弧于点，
，，，故①正确
由题意得，，，，，故②错误；
，，，
与不相似，故③错误；
平分交弧于点，，，是半圆直径，
，（已证），
，，，
，，故④正确．综上可得①④正确．故选：．
76 如图，是的直径，弦于点．点是上一点，且满足，连接并延长交 于点．连接、，若，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【解答】①是的直径，弦，，，，
（公共角），；故①正确；
②，，，，；故②正确；
③，，，在中，，
；故③错误；
④，，，
，，，，；
故④正确．故选：．
77 如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，，则下列结论：①；②；③平分；④；⑤；⑥，其中一定成立的是
A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤
【解答】①、是的直径，，，
②假设，，，，，
，，即：，是半圆的三等分点，而与“，是上的点”矛盾，，
③、，，，，，平分，
④、是的直径，，，，，点为圆心，，
⑤、由④有，，点为中点，是的中位线，，
⑥和中，没有相等的边，与不全等，故选：．
78 如图2，已知在正方形中，对角线与相交于点，，分别是与的平分线，的延长线与相交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【解答】①四边形是正方形，，
，分别是与的平分线，，，
，，即，故①结论正确；
②在和中，，，，
，，，，故②正确；
③，，故③正确；
④，，，，
，，故④错误．故选：．
79 如图，在正方形中，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点，，分别以，为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，再分别以、为圆心，以大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，，作直线，分别交，，于点，，，交的延长线于点，连接，下列结论：①，②，③，④．其中正确的是
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【解答】① 四边形是正方形，，由作图可知：平分，
，是的中垂线，，，
，，；故①正确；
② 是的中垂线，，，，故②正确；
③ ，，，，，
，在中，，故③正确；
④ 连接，，，四边形是菱形，，
，，，，故④不正确；
本题正确的是：①②③，故选：．
80 如图3，已知四边形是边长为4的正方形，为上一点，且，为射线上一动点，过点作于点，交直线于点．则下列结论中：①；②若，则；③当时，；④的最小值为．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】连接，过作于，则，，，
，，，
，，，故①正确；
，，，，
，，，；故②正确；
连接，，点，，，四点共圆，，
，，同理当运动到点右侧时，此时，且四点共圆，
，故此时．因此或7，故③错误；
取 的中点，连接，，，，
点在以为圆心，为直径的圆上，
当最小时，的值最小，，的最小值，
，，的最小值为，故④错误，选：．
模块四
方程、不等式、函数
根式、分式有意义条件与自变量取值范围
题组一
主要考察分式、根式有意义的条件以及函数中自变量取值范围内容，属于简单题，关键识记知识。
1、函数中自变量的取值范围
类型
特点
自变量的取值范围
举例
整式型
等式右边是关于自变量的整式
全体实数
属于一切实数
分式型
等式右边是关于自变量的分式
使分母不为的实数
根式型
等式右边是自变量开偶次方式子
使根号下的式子大于或等于的实数
零次幂
等式右边是关于自变量的零次幂
使底数不为的实数
例29 函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【规范答题】由题意可得：，解得：，所以选
81 函数的自变量的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解答】函数的分母中含有自变量，自变量的取值范围为：，即．选：
82 如果整数，那么使函数有意义的的值是 （只填一个）
【解答】，，即，整数，当时符合要求，故答案为：0．
83 使有意义的的取值范围为 ．
【解答】有意义的条件：，所以
84 要使有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≤0 B．x≥﹣1 C．x≥0 D．x≤﹣1
【解答】要使根式有意义，则令x+1≥0，得x≥﹣1
85 使代数式有意义的的取值范围是（ ）
A. B. C.且 D.一切实数
【解答】解不等式组得且，故选C．
86 若，则的值为 .
【解答】由，知x=1，∴(x+y)2=0，∴y=-1，∴x-y=2.
87 若分式不论取何实数总有意义，则的取值范围是 ．
【解答】若分式不论x取何实数总有意义，则分母≠0，
设，当△＜0即可，.
答案m＞1.
方程与不等式
题组二
1、不等式解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
3、分式方程的解法：
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为，则是原方程的解。
4、增根：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
5、一元二次方程根与判别式
判别式：一元二次方程中叫一元二次方程根的判别式，用“”表示，.
①当时，一元二次方程有个不相等的实数根；
②当时，一元二次方程有个相等的实数根；
③当时，一元二次方程没有实数根.
例30 不等式组，的解集在以下数轴表示中正确的是
A． B．
C． D．
【规范答题】，解不等式①得：，解不等式②得：，
不等式组的解集是，在数轴上表示为：故选：．
，
例31 关于的方程有增根，则的值为 ．
【规范答题】方程两边都乘以,得整理得.
当a = 1 时,方程无解.
当时,.如果方程有增根,那么,即或.
当时,,所以;
当时,,所以a = 6 .
所以当或a = 6原方程会产生增根.
例32 如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ．
【规范答题】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，即，解得或2．故答案为：或2．
例33 施工队要铺设2000米的下水管道，因在中考期间需停工3天，每天要比原计划多施工40米才能按时完成任务．设原计划每天施工米，所列方程正确的是
A． B．
C． D．
【规范答题】设原计划每天施工米，根据题意，可列方程：，故选：．
88 一元二次方程的根的情况是（ ）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【解答】在方程中，△，该方程有两个相等的实数根．故选：．
89 已知关于的方程的解是，则的值为 ．
【解答】把代入方程得：，解得：，故答案为：．
90 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，，故选：．
91 若关于的方程无解，则的值是 ．
【解答】去分母，得：，整理，得：，
当时，分式方程无解，则，解得：；
当整式方程无解时，，故答案为：3或1．
92 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ．
【解答】去分母，得，解得：，
根据题意得：且，解得：且．
故答案是：且．
93 若关于的分式方程无解，则的值为 ．
【解答】去分母得：，解得：，
由分式方程无解，得到，即或，即，
综上，的值为或1．故答案为：或1
94 有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成，甲单独工作13天后，因某原因离开了，此后由乙来接替，乙三天后完成了这项工程，则甲的工作效率是乙的 倍．
【解答】设乙单独做天完成，则乙每天完成总共量的，故甲每天完成总共量的，
则，解得：，检验得：是原方程根，
则．所以，即甲的工作效率是乙的倍．故答案是：．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2020/8/8 14:20:46；用户：长腿老头；邮箱：18088243211；学号：37302423
95 “五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共人，则所列方程为
A． B．
C． D．
【解答】设实际参加游览的同学共人，根据题意得：．故选：．
96 八年级学生去距学校千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的倍．设骑车学生的速度为，则列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】 设甲、乙两船在静水中的速度均为，
则求两船在静水中的速度可列方程为：．故选：．
97 不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解答】 解不等式，得：，解不等式，得：，
不等式组的解集为：，故选：．
98 若关于x的不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2
【解答】解关于的不等式组得,,故选：．
99 若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为
A．或 B．或
C．或 D．或或
【解答】解不等式组，得，不等式组有且只有45个整数解，，
解得，因为关于的方程的解为：，，
解得，，，则的值为：或．故选：．
函数图像
题组三
1、一次函数图像性质
解析式
参 数
代表直线的斜率，含义是直线的倾斜程度。
代表直线的纵截距，含义是直线与轴相交的点的纵坐标。
图 像
增减性
随的增大而增大
随的减小而减小
2、反比例函数图像性质
解析式
图 像
增减性
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而增大；
3、二次函数图像性质
函 数
一般式：(书写的规范：题目对解析式没有要求，均需写成一般式)
顶点式：(分析性质：涉及函数最值对称性增减性需化为顶点式）
交点式：（交点问题：涉及函数与轴的交点时可用交点式）
★一般式与顶点式互化：
图 象
对称轴
直线
顶 点
增减性
时，随增大而减小
时，随增大而增大
时，随增大而增大；时，随增大而减小．
最 值
当时，有最小值，
当时，有最大值，
例34 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B． C． D．
【规范答题】、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，本选项错误；
、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故选项正确
、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故选项错误；
、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故选项错误．
故选：．
例35 已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 的是
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【规范答题】①中，，故，故①符合题意；
②中，，故，故②不符合题意；
③中，，故，故③不符合题意；
④中，，故，故④符合题意；故选：．
例36 如图，在中，，，，为上的动点，交折线 于点，设，的面积为，则与的函数图象符合题意的是
A． B． C． D．
【规范答题】在中，，，，，．
① 当时，，，的面积，函数图象为顶点在原点，开
口向上的抛物线，故、错误；
② 当时，，，的面积，
函数图象为开口向下的抛物线，故正确，错误．故选：．
100 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是
A． B． C． D．
【解答】、一次函数的图象经过一、二、四象限，则，即，，所以函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点位于直线的上方，由整理得，由于△，则两图象有交点，故错误；
、一次函数的图象经过一、二、四象限，则，即，，
所以函数开口向上，对称轴，故错误；
、一次函数的图象经过一、二、三象限，则，即，，
所以函数开口向下，对称轴，故错误；
、一次函数的图象经过二、三，四象限，则，即，，
所以函数开口向上，对称轴，故正确；故选：．
101 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是
A． B． C． D．
【解答】、由抛物线可知，图象开口向上，与轴交在负半轴，，
由直线可知，图象过一，二，三象限，，，故此选项错误；
、由抛物线可知，图象开口向上且与轴交在正半轴，，
由直线可知，图象过一，二，四象限，，，故此选项错误；
、由抛物线可知，图象开口向下且与轴交在正半轴，，
由直线可知，图象过一，三，四象限，，故此选项正确；
、由抛物线可知，图象开口向下且与轴交在负半轴，，
由直线可知，图象过一，二，三象限，，故此选项错误；故选：．
102 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是
A． B． C． D．
【解答】当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选：．
103 在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是
A． B． C． D．
【解答】、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故错误；
、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，，，
一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故错误；
、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故正确；
、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故错误；
故选：．
104 函数与为常数且在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B． C． D．
【解答】、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象经
一、二、四象限，故本选项错误；
、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象经过一、
三、四象限，故本选项正确；
、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象经过
一、三、四象限，故本选项错误；故选：．
105 在四边形中，，，，点沿运动，同时点 沿运动，运动速度均为每秒1个单位，当两点相遇时，运动停止，则的面积与运动时间秒之间的图象大致为
A． B． C． D．
【解答】点沿运动，同时点沿运动，运动速度均为每秒1个单位，，
为等边三角形，，
当时，，的面积；
当时，如图1，，作于，则，
的面积；
当时，如图2，，，则，
过作，，连接，，，
四边形为等腰梯形，，，
，，，
由勾股定理得：，，
，的面积，
此时为的一次函数，正确．故选：．
106 如图，在四边形中，，，，，．动点沿路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为．设点运动的时间为（单位：，的面积为，则关于的函数图象大致是
A． B． C． D．
【解答】
① 当点在上运动时，，图象为二次函数；
② 当点在上运动时，如下图，
由①知，，同理，
则，为一次函数；
③ 当点在上运动时，同理可得：，为一次函数；
故选：．
107 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿 的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是
A． B． C． D．
【解答】在中，，，，，于点，
，，，四边形是矩形，，，
点运动的路程为，当点从点出发，沿路径运动时，
即时，，则，，
四边形的面积为，，
当时，抛物线开口向下；
当点沿路径运动时，即时，是的平分线，，
四边形是正方形，，，，．
当时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映与之间函数关系的图象是：．故选：．
二次函数系数与图像
题组四
题组三主要考察分式、根式有意义的条件以及函数中自变量取值范围内容，属于简单题，关键识记知识。
1、二次函数中参数小命题
（1）单参数
①看抛物线的开口方向，开口向上，开口向下；
②看抛物线对称轴：左同右异。对称轴在轴左边则与同号，对称轴在轴右边则与异号
③看抛物线与轴交点：抛物线与轴交点在轴上方，在轴下方，
乘积型或商型以单个参数思路解决
（2）多参数：
①类型（含）：以对称轴为出发点
②类型（都含的）：将其看作时的函数值
③类型：利用判别式与根的情况判断
、类型（含或）综合利用①②的思路解决
（3）引入新参数
①配凑：左右同时：，即，不等式是否成立结合图像判断即可。
②最值：移项：，令把它当作关于的二次函数。研究的最大（小）值是否大于（小于）零即可。
例37 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，点位于、之间，与 轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于，两点，点在轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①；②；③（其中为任意实数）；④，其中正确的是
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【规范答题】抛物线与轴的交点在轴上方，，抛物线的对称轴为直线，
，所以①正确；
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点位于、之间，
抛物线与轴的另一个交点位于、之间，
即当时，，也就是，因此②正确；对称轴为，
时的函数值大于或等于时函数值，即，当时，函数值最大，
，即，，因此③不正确；
直线与抛物线交于、两点，点在轴上方且横坐标小于5，
时，一次函数值比二次函数值大，即，而，
，解得，因此④正确；综上所述，正确的结论有①②④，故选：．
例38 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出6个结论：①；②；③．；④一元二次方程有两个根为，．⑤；⑥为任意实数），其中正确的个数有
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【规范答题】① 对称轴为，，，，故①错误；
② 抛物线的开口向下，，与轴的交点在轴的正半轴上，，
对称轴为，，故②正确；
③ 把，代入解析式得，，
两边相加整理得，即，故③正确；
④ 对称轴为，图象过点，图象与轴另一个交点，
关于的一元二次方程的解为或，故④正确；
⑤ 由图象可知当时，二次函数的最大值为，
即为任意实数），整理得，
，为任意实数），故⑤错误；故选：．
108 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点，、点，在该函数图象上，则：④若方程的两根为和，且，则；⑤．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】①由题意可知：对称轴，，，故①正确；
②当时，，，故②错误；
③，关于直线的对称点为，，由图可知：时，随着的增大而减小，
由于，，故③正确；
④ 设，，由于图象可知：直线与抛物线有两个交点，
方程的两根为和，，故④正确；
⑤ 当时，，此时为最大值，当时，，
，即，故⑤错误；故选：．
109 二次函数的图象如图所示，分析下列四个结论，其中正确结论的个数有
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】抛物线开口向下，，对称轴在轴左侧，、同号，，
抛物线与轴的交点在上方，，所以，，因此①不正确；
当时，，当时，，，
即，也就是，因此③正确；
抛物线顶点纵坐标，即，又，因此有，所以④正确；
对称轴在之间，因此有，又，故有，
而，有，即，因此②不正确；
综上所述，正确的结论有：③④，故选：．
110 如图，抛物线与轴交于点，与轴的交点在点与点之间（不包括这两点），对称轴为直线．有下列结论：
①； ②；③；④若点，，在抛物线上，则．其
中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】① 由开口可知：，对称轴，，
由抛物线与轴的交点可知：，，故①正确；
② 对称轴，，，
，，，，故②正确；
③ ，，，，，，，
，故③正确，
④ 点，，在抛物线上，则，
当时，；当时，；故④错误；故选：．
111 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】抛物线开口向下，，对称轴为，即，因此，与的交点在正半轴，，
所以，因此①正确；，对称轴为，当时，随的增大而增大，
因此②不正确；由对称性可知，抛物线与轴的两个交点为，，，，
又，，，，因此③正确；
抛物线与轴的两个交点为，，，
，为方程的两个根，实际上就是当时，函数
相应的自变量的值为、；，根据图象可知，且，因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，故选：．
112 如图，二次函数的图象经过点且与轴交点的横坐标分别为，，其中，．给出下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】抛物线开口向下，，对称轴在轴的右侧，、异号，因此，与轴的交点在正半轴，，
所以，故①错误；当时，，因此②正确；
对称轴在之间，于是有，又，所以，故③正确；
当时，，又，所以，故④不正确；
当时，，又因为，即，所以，也就
，而，因此，⑤正确；综上所述，正确的结论有：②③⑤，故选：．
113 如图，已知二次函数的图象与轴相交于、两点．则以下结论：①；②二次函数的图象的对称轴为；③；④．其中正确的有 个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】对于①：二次函数开口向下，故，与轴的交点在的正半轴，
故，故，因此①错误；
对于②：二次函数的图象与轴相交于、，由对称性可知，
其对称轴为：，因此②错误；
对于③：设二次函数的交点式为，
比较一般式与交点式的系数可知：，，故，因此③正确；
对于④：当时对应的，观察图象可知时对应的函数图象的值在轴上方
故，因此④正确．只有③④是正确的．故选：．
反比例函数中的求解与运用
题组五
1、反比例函数的求解问题中，核心点是：把落在反比例函数上的点的坐标表示出来。结合运用三角形全等、三角形相似、锐角三角函数等知识点综合解题
2、的几何意义与面积模型
的几何意义
①过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为定值.
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
矩形面积模型
点和点在反比例函数图象上，过分别做轴轴的垂线得到两个矩形。有：
三角形面积模型
点和点在反比例函数图象上,连接、、可得,过分别做轴的垂线,垂足分别为、,与交于。
有：①
②
3、 几何结论
条 件
结 论
图 示
几何结论
直线
为矩形
例39 位于第一象限的点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，是坐标原点．若，的面积等于，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【规范答题】因为位于第一象限的点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，是坐标原点．
若，的面积等于2，所以，解得：，所以：，故选：．
例40 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，
对角线、交于点，点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值为
A． B． C．2 D．
【规范答题】设，，点为菱形对角线的交点，，，，
，，把，代入得，，
四边形为菱形，，，解得，，
在中，，．故选：．
114 已知点在反比例函数的图象上，则 ．
【解答】点在反比例函数的图象上，，．故答案为：2
115 若点（3，5）在反比例函数（k≠0）的图象上，则k＝ ．
【解答】把点的纵横坐标代入反比例函数得：,故答案为：15
116 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点．若菱形的面积为12，则的值为
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】 设点的坐标为，点的坐标为，
则，点的坐标为，，解得，，故选：．
117 如图1，反比例函数的图象过两点，过作轴，过点作
轴，垂足为，连接，交于，若，四边形的面积为，则的值为 ．
【解答】 设点坐标为，则，,轴，轴
,,，
四边形的面积为2,，即
将代入反比例函数，得故答案为：
118 已知点在双曲线上，若都是正整数，则图象经 过、
两点的一次函数的解析式（也称关系式）为 ．
【解答】 点在双曲线上，，、都是正整数，
，或，．
设经过、两点的一次函数的解析式为．
① 当，时，由题意， 得，解得，；
② 当，时，由题意， 得，解得，．
则所求解析式为或．故答案为或．
119 如图2，点在双曲线上，过点作轴，垂足为点，分别以点和点 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交轴于点，交轴于点，连接．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】 如图，设交于．由作图可知，垂直平分线段，，，
在中，，，，
由，可得，，，，
，，．故选：．
120 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在直线上，连接，，若，则的值为
A. B． C． D．
【解答】作轴于，如图，当时，，则；
当时，，解得，则，当时，，则，
，，为等腰直角三角形，，
，，，而，，
，，，
，即，解得，为等腰直角三角形，，
，把代入得．故选：．
121 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、，则下列选项中的结论错误的是
A． B．四边形与面积相等
C． D．若，，则点的坐标为
【解答】点、都在的图象上，，即，
四边形为正方形，，，
，正确；
，而，
四边形与面积相等，正确；
，，的值不能确定，的值不能确定，
只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，，错误；
作于点，如图所示：，为等腰直角三角形，
，设，则，，，
在中，，，即，，
，，，，为等腰直角三角形，
，设正方形的边长为，则，，
在中，，，解得，（舍去），
，点坐标为，正确．故选：．
总复习
第二讲 选择填空精讲
性质及简单运用
学生姓名
年 级
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数 学
教学目标
1、能从历年的中考题型中总结、归纳出常考的考试题型，并且从中掌握中考选择填空的考点考向，知己知彼，百战不殆；
2、对历年选择填空中出现的难点、重点进行突破，学会自己不会的点才能获得进步。
一、 考情分析：中考中的选择填空多为基础知识点，涉及面广，但历年中考选择填空常考点相对固定；代数与概率部分相对简单，几何部分综合性相对较高，函数方程部分内容不多，但一般都是难点。
二、选择填空考点梳理：知己知彼，百战百胜。
1、 实数相关概念（绝对值、倒数、相反数等）+ 科学计数法（2题，简单）
2、 角的度量 +多边形内角和、外角和的计算（1题，简单）
3、 根式、分式有意义的条件与自变量取值范围（1题，简单，易错）
4、 对顶角相等 + 平行线性质运用（1题，简单）+ 三视图读图与选图（1题，简单）
5、 轴对称图形、中心对称图形的辨别与判断、旋转的性质（1题，简单，易错）
6、 统计图的解读、统计量的分析与概率计算、概念辨析（1题，简单或中等，易错）
7、 整式乘法公式（平方差公式与完全平方公式）、因式分解（1题，中等）
8、 整式计算、指数幂运算 + 二次根式运算（1题，简单，易错）
9、 找规律（1题）：数字规律（简单）、图形（周期）规律（难）
10、 几何图形（阴影）面积计算：等面积法转化或者套公式（1题，中等或难）
11、 相似三角形的性质运用 + 特殊三角形性质与计算（1题，中等或难）
12、 平行四边形、菱形性质判断（1题，简单）+ 矩形、正方形小命题判断（1题，难）
13、 圆周角、圆心角定理角度求解 + 垂径定理的计算（1题，简单） 圆锥表面积、体积计算（1题，中等）
14、 方程组的求解、不等式与不等式组的解集、一元二次方程判别式的应用（1题，中等）
15、 分式方程中的行程（追及相遇）问题与工程问题（1题，中等或难）
16、 函数图像的选择：学过的函数图像混合判断 + 问题引出的函数图选择（1题，中等）
17、 反比例函数的几何意义求解与运用（1题，难）
[来源:学科网]
模块一
代数计算
有理数运算+科学计数法
题组一
该部分内容为送分题，只要能记住基础知识与概念，都可以做出来。科学计数法上一定要细心。
1、有理数的有关计算
（1）相反数：符号不同的两个数，互为相反数；0的相反数还是0。其中：互为相反数。
（2）绝对值
①定义：数轴上表示某数的点离开原点的距离。
正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。
②绝对值可表示为： 或
（3）倒数：用1除以一个数的商，叫做这个数的倒数；乘积为1的两个数互为倒数，其中0没有倒数；
①若，那么的倒数是； ②实数互为倒数，则；
2、科学计数法：把一个数或有限小数记成的形式，其中，为整数，这种记数法叫做科学记数法．
（1）原数的绝对值大于10时，利用科学记数法，写成的形式，注意,等于原数的整数位数减1，也是小数点向左移动的位数，如：．
（2）原数的绝对值小于10时，利用科学记数法，写成的形式，注意，等于原数左边第一个非0的数字前的所有0的个数，是小数点向右移动的位数，如：．
例1 ； 的倒数是 ； 的相反数是 ．
【规范答题】根据负数的绝对值等于它的相反数，得； 的倒数是；的相反数是
例2 中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家．某仓库运进面粉7吨，记为吨，那么运出面粉8吨应记为 吨．
【规范答题】因为题目运进记为正，那么运出记为负．所以运出面粉8吨应记为吨．故答案为：．
例3 千百年来的绝对贫困即将消除，云南省的贫困人口脱贫，的贫困村出列，的贫困县摘帽，1500000人通过异地扶贫搬迁实现“挪穷窝”，“斩穷根”（摘自2020年5月11日云南日报）．1500000这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【规范答题】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．所以，故选：．
1 的绝对值是 ．
【解答】，的绝对值是1．
2 若零上记作，则零下记作 ．
【解答】根据正数和负数表示相反的意义，可知如果零上记作，那么零下记作．故填：．
3 在实数，0，1中，最大的数是 ．
【解答】在实数，0，1中，最大的数是1，故答案为：1．
4 2020年“五一”期间，某景点接待海内外游客共688000人次，688000这个数用科学记数法表示为
A． B． C． D．
【解答】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．将688000用科学记数法表示为．故选：．
5 某地举办主题为“不忘初心，牢记使命”的报告会，参加会议的人员有3451人，将3451用科学记数法表示为 ．
【解答】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．，故答案为：．
指数幂运算+二次根式简单运算
题组二
题组二主要考察二次根式的加减乘除运算、二次根式性质运算、指数幂运算、整式乘法公式等简单内容，但是这部分内容由于知识间的相似，容易混淆出错，是典型的易错题，考试时避免出错，4个选项答案都要判断对错，综合运用排除法选择正确答案。
1、指数幂运算
①：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。逆用公式：
②：同底数幂相除，底数不变，指数相减。逆用公式：
③：幂的乘方，底数不变，指数相乘。逆用公式：
④：积的乘方，等于积的因式乘方积。逆用公式：，
⑤任何不等于0的数的0次幂都等于1。即
⑥负整数指数幂： 注意：为负指数的易错：、
2、二次根式的性质与计算:
（1）双重非负性：；
（2）二次根式的性质：； ；
（3）积的算术平方根的性质：；
（4）商的算术平方根的性质：.
3、最简二次根式：满足以下条件的根式叫最简二次根式
（1）被开方数不含分母（分母中也不能含有根号）； （2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式。
例4 下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【规范答题】、，所以选项错误，、，所以选项错误，
、，所以选项正确；
、，所以选项错误，故选：．
例5 下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【规范答题】、，错误；、，错误；
、，正确；、，错误；故选：
6 下列运算正确的是（ ）
A． B. C． D．
【解答】、，故错误；、，故错误；
、，故错误；、，故正确，故选：．
7 下列运算正确的是
A． B． C． D．
【解答】、由于，故本选项错误；
、由于，故本选项错误；
、由于与不是同类项，不能进行合并同类项计算，故本选项错误；
、由于，符合积的乘方与幂的乘方的运算法则，故本选项正确．
8 下列计算正确的是（ ）
A． B. C. D. [来源
【解答】、原式，故错误；、原式，故错误；、原式，故错误；故选：．
9 下列计算正确的是
A． B． C． D．
【解答】、原式，不符合题意；、原式，不符合题意；
、原式，符合题意；、原式，不符合题意，故选：．
10 下列运算中，正确的是
A． B．
C． D．
【解答】、，此选项错误，不合题意；、，此选项错误，不合题意；
、，正确；、，故此选项错误，不合题意；
整式乘法公式与因式分解
题组三
题组三主要考察完全平方公式、平方差公式，以及提公因式法，这部分内容记住公式是关键，细节部分主要是符号。因式分解要到最后的结果才有分，所以考试时需要特别注意数字也需要提公因式。
1、整式乘法公式
平方差公式：
完全平方公式：
以下是常见的变形：
2、因式分解的方法：
（1）提公因式法：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式。把多项式分解成两个因式的乘积的形式，即。
①用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.如：
②当多项式第一项的系数是负数时，先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.如：
③用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋”或“－”，不要把该项漏掉，或认为是而出现错误。
如：
（2）公式法：利用平方差公式：和完全平方公式：对多项式进行因式分解的方法。如：
对多项式可以先用整体法，即先令，则上式变为,简单明了，继续用公
式法分解因式。
（3）十字相乘法 ：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法。
对于二次三项式，若存在 ，则
判断方法：拆二次项与常数项，交叉相乘和为一次项可用该方法。判断时十字交叉，书写时横向相加再相乘。
举例：
例6 已知，则（ ）
A．38 B．36 C．34 D．32
【规范答题】把两边平方得：，则，故选：．
例7 分解因式： ．
【规范答题】原式提取，再利用平方差公式分解即可．原式，
故答案为：
11 因式分解： ．
【解答】原式．故答案为：．
12 分解因式： ．
【解答】．故答案为：．
13 分解因式：x2﹣2x+1＝ ．
【解答】．
14 多项式可分解为，则,的值分别为 .
【解答】，所以，.
15 分解因式：＝ .
【解答】.
16 将下列各式分解因式：
（1） （2）
【解答】（1）；（2）.
17 若，则 ．
【解答】把两边平方得：，则，故答案为：7
18 已知，化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【解答】原式按多项式乘法运算后为，再将代入，可得－2m．
19 若非零实数满足，则= ．
【解答】将原式改写为，所以，可求出b=2a．
模块二
统计与概率
统计图解读与统计量分析与概率
题组一
1、统计调查方法：全面调查（即普查）和抽样调查．
全面调查与抽样调查的优缺点：
①全面调查收集的到数据全面、准确，但一般花费多、耗时长，而且某些调查不宜用全面调查；
②抽样调查有花费少、省时的特点，但抽取的样本是否具有代表性，直接关系到对总体估计的准确程度．
③选取调查方法主要依据是调查对象的重要性，和样本容量没有联系。例如人口普查，经济普查等。
2、统计学中的几个基本概念：
①总体：我们把所要考察的对象的全体叫做总体；
②个体：把组成总体的每一个考察对象叫做个体；
③样本：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；
④样本容量：一个样本包括的个体数量叫做样本容量．（只是个数字， 没有单位）
⑤样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
⑥总体平均数：总体中所有个体的平均数叫，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
3、统计数据处理
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
（3）平均数：对于个数，我们把叫做这个数的平均数；
（4）方差：在一组数据中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差。用“”表示。即方差主要体现数据的稳定性，方差越小，越稳定。
4、概率的概念与辨析
（1） 必然事件:那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件．
不可能事件：那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件．
随机事件:无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件．
（2）概率与频率的区别：
①求一个事件概率的基本方法是通过大量的重复实验，但是实验结果（频率）不代表概率；
②当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件A的概率；
③概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值。二者没有必然联系，概率是可能性，频率是实验结果；
④概率反映了随机事件发生的可能性的大小；
例8 下列判断正确的是（ ）
A．甲乙两组学生身高的平均数均为，方差分别为，，则甲组学生的身高较整齐
B．为了解七年级名学生期中数学成绩，从中抽取名学生进行调查，这个问题中样本容量为
C．在“童心向党，阳光下成长”合唱比赛中，个参赛队成绩如下表，则这个参赛队成绩中位数是
比赛成绩/分
参赛队个数
D．有名同学出生于年，那么在这个问题中“至少有两名同学出生在同一个月”属于必然事件
【规范答题】、甲乙两组学生身高的平均数均为1.58，方差分别为，，
则乙组学生的身高较整齐，故此选项错误；
、为了了解某县七年级4000名学生的期中数学成绩，从中抽取100名学生的数学成绩进行调
查，这个问题中样本容量为100，故此选项错误；
、在“童心向党，阳光下成长”合唱比赛中，30个参赛队的决赛成绩如下表：
比赛成绩分
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
参赛队个数
9
8
6
4
3
则这30个参赛队决赛成绩的中位数是9.6，故此选项错误；
、有13名同学出生于2003年，那么在这个问题中“至少有两名同学出生在同一个月”属于
必然事件，正确．故选：．
例9 年月日，以“玉汝于成，溪达四海”为主题的2017一带一路数学科技文化节•玉溪暨第届全国三维数字化创新设计大赛（简称“全国大赛”）总决赛在玉溪圆满闭幕．某学校为了解学生对这次大赛的了解程度，在全校名学生中随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了下面两幅统计图．下列四个选项错误的是（ ）
A．抽取的学生人数为人 B．“非常了解”的人数占抽取的学生人数的
C．° D．全校“不了解”的人数估计有人
【规范答题】抽取的总人数为（人，故正确，
“非常了解”的人数占抽取的学生人数的，故正确，，故正确，
全校“不了解”的人数估计有（人，故错误，故选：．
20 某校随机抽查10名参加2016年云南省初中学业水平考试学生体育成绩，得到结果如表：
成绩（分）
46
47
48
49
50
人数（人）
1
2
1
2
4
下列说法正确的是（ ）
A．这名同学的体育成绩的众数为50 B．这名同学的体育成绩的中位数为48
C．这名同学的体育成绩的方差为50 D．这名同学的体育成绩的平均数为48
【解答】10名学生的体育成绩中50分出现的次数最多，众数为50；
第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：；
平均数，
方差；
选项正确，、、错误；故选：．
21 某学习小组名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如表：
人数（人）
分数（分）
那么这名学生所得分数的众数和中位数分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【解答】在这一组数据中90是出现次数最多的，故众数是90；
排序后处于中间位置的那个数是90，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是90；选：．
22 某校九年级体育模拟测试中，六名男生引体向上的成绩如下（单位：个）、6、9、11、8、10，下列关于这组数据描述正确的是
A．极差是6 B．众数是10 C．平均数是9.5 D．方差是16
【解答】（A）极差为，故（A）错误；
（B）根据出现次数最多的数据是10可得，众数是10，故（B）正确；
（C）平均数为，故（C）错误；
（D）方差为，故（D）错误．故选：．
23 下列说法正确的是（ ）
A．要了解某公司生产的万只灯泡的使用寿命，可以采用抽样调查的方法
B．4位同学数学期末成绩分别为，则这四位同学数学期末成绩的中位数为
C．甲乙两人各自跳远次，若他们跳远成绩平均数相同，甲乙跳远成绩的方差分别为和
D．某次抽奖活动中，中奖的概率为表示每抽奖次就有一次中奖
【解答】 、要了解灯泡的使用寿命破坏性极大，只能采用抽样调查的方法，故本选项正确；
、位同学的数学期末成绩分别为100、95、105、110，则这四位同学数学期末成绩的中位
数为102.5，故本选项错误；
、甲乙两人各自跳远10次，若他们跳远成绩的平均数相同，甲乙跳远成绩的方差不能确定，
故本选项错误；
、某次抽奖活动中，中奖的概率为表示每抽奖50次可能有一次中奖，故本选项错误选：．
24 下列说法正确的是
A．为了解三名学生的视力情况，采用抽样调查
B．任意画一个三角形，其内角和是是必然事件
C．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、，若，，，则甲的成绩比乙的稳定
D．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖20次就有1次中奖
【解答】了解三名学生的视力情况，由于总体数量较少，且容易操作，因此宜采取普查，因此选项不符合题意；任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，因此选项不符合题意；根据平均数和方差的意义可得选项符合题意；一个抽奖活动中，中奖概率为，表示中奖的可能性为，不代表抽奖20次就有1次中奖，因此选项不符合题意；故选：．
25 下列判断正确的是
A．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择抽样调查
B．一组数据6，5，8，7，9的中位数是8
C．甲、乙两组学生身高的方差分别为，．则甲组学生的身高较整齐
D．命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题
【解答】．北斗系统第五十五颗导航卫星发射前的零件检查，应选择全面调查，所以选项错误；
．一组数据6，5，8，7，9的中位数是7，所以选项错误；
．甲、乙两组学生身高的方差分别为，．则乙组学生的身高较整齐，选项错误；
．命题“既是矩形又是菱形的四边形是正方形”是真命题，
26 某中学九年级甲、乙两个班参加了一次数学考试，考试人数每班都为40人，每个班的考试成绩分为A、B、C、D、E五个等级，绘制的统计图如图：
根据以上统计图提供的信息，则D等级这一组人数较多的班是 ．
【解答】由题意得：甲班等级的有13人，乙班等级的人数为（人，
，所以等级这一组人数较多的班是甲班；故答案为：甲班．
模块三
几何性质、判定与计算
角的度量与多边形内角和外角和计算
题组一
1、三角形内角和定理：三角形的内角和为
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两内角和。
2、多边形的有关计算
①多边形内角和。若正多边形每个内角为，则有
②多边形外角和。若正多边形每个外角为，则有
③多边形对角线条数
例10 若一个多边形的边数为6，则这个多边形的内角和为 ．
【规范答题】根据题意得，故答案为：720
例11 如图1，过直线上一点作射线，，则的度数为 ．
【规范答题】，的度数为：．故答案为：．
27 已知一个多边形的内角和是，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【解答】设这个多边形是边形，则，解得：，即这个多边形为七边形．故选：．
28 一个五边形的内角和为（ ）
A．540° B．450° C．360° D．180°
【解答】根据多边形内角和公式：，答：一个五边形的内角和是540度，故选：．
29 若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的每一个内角是
A． B． C． D．
【解答】：，，．则这个正多边形的每一个内角为．选：．
30 一个十二边形的内角和等于（ ）
A．2160° B．2080° C．1980° D．1800°
【解答】十二边形的内角和等于：；故选：．
31 如图2在中，交于点，量角器摆放如图所示，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【解答】，，，
又，，故选：．
平行线性质与平行线分线段成比例的应用
题组二
1、性质与判定
①性质：两直线平行同位角相等、内错角相等、同旁内角互补
②判定：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补两直线平行
例12 如图，直线，直线与直线分别相交于两点，若，则∠2= ．
【规范答题】直线，，．与是对顶角，．答案为：．
例13 如图，在中，分别为上的点，若，，则 ．
【规范答题】，，．故答案为：．
32 如图，，交于点，，，则的度数为 ．
【解答】，，，，
，，故答案为：．
33 如图，已知，若，则 ．
【解答】，，，故答案为．
34 如图，若AB∥CD，∠1＝40度，则∠2＝ 度．
【解答】，，，．故答案为：140．
轴对称图形、中心对称图形与三视图的判别
题组三
1、三视图
三视图
一物体在三个投影面内进行正投影，在正面得到的的视图叫主视图；在水平面得到的叫俯视图；在侧面内得到的视图叫左视图.主视图、左视图、俯视图叫做物体的三视图.
长对正
高平齐
宽相等
2、常见几何体的三视图
主视图
俯视图
左视图
球
圆柱
圆锥
正方体
3、轴对称与中心对称
中心对称图 形
定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心。
轴对称
图 形
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
轴对称性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；
②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线。
例14 一个几何体的主视图、左视图、俯视图是半径相等的圆，则这个几何体是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．正方体
【规范答题】主视图、俯视图和左视图都是圆的几何体是球．
例15 下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【规范答题】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．
35 右侧所给几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【解答】由几何体可得：圆锥的俯视图是圆，且有圆心．故选：B．
36 下面长方体的主视图（主视图也称正视图）是（ ）
A． B． C． D．
【解答】长方体的主视图（主视图也称正视图）是
37 下列图形是某几何体的三视图（其中主视图也称正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是（ ）
A．三棱柱 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥
【解答】由主视图以及左视图可知这是一个锥体，再根据俯视图可知是一个圆锥，故选D．
38 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．三角形 B．菱形 C．角 D．平行四边形
【解答】A、三角形不一定是轴对称图形和中心对称图形，故本选项错误；
B、菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
C、角是轴对称图形但不一定是中心对称图形，故本选项错误；
D、平行四边形是中心对称图形但不一定是轴对称图形，故本选项错误，故选B．
39 下列几何体的左视图为长方形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】A．球的左视图是圆；B．圆台的左视图是梯形；
C．圆柱的左视图是长方形；D．圆锥的左视图是三角形．故选C．
40 下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】A、此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图不是中心对称图形，是轴对称图形，故A错；
B、此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此项正确；
C、此图形旋转180°后与原图形不重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图旋转180°后不能与原图形重合，∴此图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．
解三角形
题组四
1、相似三角形的性质与判定
（1）性质： ①相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
②对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；
③相似三角形面积比等于相似比的平方。
（2）判定： ①两个角对应相等，两个三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.
③三边对应成比例，两个三角形相似。
2、特殊三角形性质
特殊三角形
等腰三角形
性质
①等腰三角形是轴对称图形
②等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)
③等腰三角形的顶角平分线、底边中线、高线相互重合(三线合一)
等边三角形[来源:学*科*网Z*X*X*K]
性质
等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。等边三角形三线合一[来源:学科网ZXXK]
直角三角形
性质
①直角三角形的两锐角互余。
②在直角三角形中，如果一个锐角等于°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
④勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，即。
实记勾股数
3、解三角形的方法
定 义
由三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解三角形。
边角五元素之间的关系
设在中，，、、所对的边分别为，
则有：①三边之间的关系：(勾股定理)；
②锐角之间的关系：
③边角的关系：、、；
④，斜边的高
一般过程
①弄清题中名词、术语意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型；②将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题； ③根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形；④得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
非直角三角形中恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形
例16 如图，是的边上一点，，，．如果 的面积为15，那么 的面积为（ ）
A．15 B．10 C． D．5
【规范答题】，，，，，
的面积：的面积，的面积：的面积，
的面积为15，的面积．故选：．
例17 在中，，，若边上的高等于，则边的长为 ．
【规范答题】有两种情况：
① 如图1，是的高，，由勾股定理得：
，，
② 如图2，同理得：，，，综上所述，的长为9或1；
41 在中，，，，则的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，∴∠A的正切值为=3，故选A．
42 如图：在中，，，点，分别是，的中点，连接，，如果，那么的周长是 ．
【解答】，分别是，的中点，，，，
，，，，
，又是的中点，直线是线段的垂直平分线，，
的周长，故答案为：18．
43 如图，，，，若，则
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】如图，过点作，交于点
，是等边三角形，，
，，，即
是等边三角形，，平分，
在中，，，故选：．
44 如图，在中，，，，为的角平分线，则三角形面积为
A．3 B．10 C．12 D．15
【解答】作于，如图，在中，，，，，
为的角平分线，，，
，解得，．故选：．
45 如图，为了测得电视塔的高度，在处用高为1米的测角仪，测得电视塔顶端的仰角为，再向电视塔方向前进100米达到处，又测得电视塔顶端的仰角为，则这个电视塔的高度（单位：米）为
A． B．51 C． D．101
【解答】设，在中，，，
在中，，，，
解得：．则米．故选：．
46 在中，，，，则边长为
A．7 B．8 C．8或17 D．7或17
【解答】，，
当为钝角三角形时，如图1，，，
，，由勾股定理得，；
当为锐角三角形时，如图2，，故选：．
47 如图，在中，，是边上一点，，，．则为
A. B． C． D．
【解答】如图，延长到，使得．设．
，，，
，，，，
，，，
解得或（舍弃）．，故选：．
四边形中的有关计算
题组五
平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
性质
①对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分、邻角互补
②
判定
①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
②两组对边分别相等（平行）的四边形是平行四边形；
③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
矩 形
定义
有一个角为的平行四边形叫做矩形
性质
①对角线相等、3个内角为直角
②
判定
①有一（三）个角是直角的平行四边形（四边形）是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形。
菱 形
定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
性质
①四边相等、对角线平分对角
②对角线互相垂直且平分
③菱形面积 = 对角线乘积的一半
判定
①有一组邻边（四边）相等的平行四边形（四边形）是菱形；
②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
③对角线平分对角的平行四边形是菱形。
正方形
定义
4条边相等4个角为直角的四边形叫做矩形
性质
①四边相等，四个角都为
②对角线互相垂直、相等且互相平分。
③边长×边长＝×对角线×对角线
判定
①对角线垂直且相等的平行四边形是正方形
②邻边相等（对角线互相垂直）的矩形是正方形
③有一个角是直角（对角线相等）的菱形是正方形
例18 如图1，是矩形各边中点,，，则四边形的面积是 ．
【规范答题】，，，分别是矩形各边的中点，，，
，．
在与中，，．
同理可得，
．故答案为：24．
例19 在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝4，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ．
【规范答题】过作于，在中，，，
，，在中，，
，
如图1，，平行四边形的面积，
如图2，，平行四边形的面积，故答案为：或．
48 如图，在矩形中，，，是边上一点，沿折叠，使点恰好落在 边上的处，是的中点，连接，则 ．
【解答】在矩形中，，，沿折叠，使点恰好落在边上的处，
，，是的中点，，，
，则．故答案为：．
49 如图2，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是（ ）
A．4 B．6.25 C．7.5 D．9
【解答】，，，，为直角三角形，，
、与分别相切于点、，，四边形为正方形，
设，则，的内切圆与、、分别相切于点、、
，，，，
阴影部分（即四边形的面积是．故选：．
50 如图，在中，以为圆心，长为半径画弧交于．分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则的长为
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】如图，设交于点．
由作图可知：，，，，
四边形是平行四边形，，，，
，，四边形是平行四边形，
，四边形是菱形，，，
在中，，，
．故选：．
51 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，垂足为，，，则的值为
A．6 B．5 C． D．
【解答】四边形是矩形，，，，，，
，，，，即是等边三角形，
，，，，故选：．
扇形面积与圆锥、圆柱表面积、体积
题组六
内 容
图 示
扇 形
弧长公式：
面积公式：
圆 锥
圆锥展开：侧面展开图是扇形，底面是圆。
为扇形半径，也叫圆锥母线长。
圆锥个考点：
①侧面展开图中：扇形弧长=底面圆周长。即：
②在圆锥内由勾股定理有：
圆 柱
圆柱展开：侧面展开图时长方形，上底和下底时圆。
例20 如图1，边长为的正方形外切于⊙，切点分别为．则图中阴
影部分的面积为 ．
【规范答题】如图，连接，延长交于点，正方形外切于，
，四边形为矩形，，
又，点与点重合,则为的直径，同理为的直径，
由且知，四边形为正方形，
同理四边形、四边形、四边形均为正方形，
，，
，
则阴影部分面积，故答案为：．
例21 已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若圆锥的体积等于，则这个圆锥的高等于（ ）
A． B. C. D.
【规范答题】
法一：设圆锥高为h，底面圆半径为r，则母线=
底面圆周长为，而展开图中扇形半径=母线=，并且展开图中弧长为，
故
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法二：利用一个结论， 圆锥展开图如果是半圆，则圆锥的母线是底面半径的2倍。这个方法可以先算出
[再利用，算出，进一步可得
例22 如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：，则这个几何体的侧面积为
A． B． C． D．
【规范答题】由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，
所以这个几何体的侧面积．故选：．
52 圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为，的长方形，那么这个圆柱的体积等于 ．
【解答】① 底面周长为6高为，；
② 底面周长为高为6，．
答：这个圆柱的体积可以是144或．故答案为：144或．
53 一个圆锥的主视图是等边三角形，俯视图是面积为的圆，那么它的左视图的高是 ．
【解答】设圆锥的底面圆的半径为，则，解得，因为圆锥的主视图是等边三角形，
所以圆锥的母线长为4，所以它的左视图的高．故答案为．
54 一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是（ ）
A．48π B．45π C．36π D．32π
【解答】侧面积是：底面圆半径为：，
底面积，故圆锥的全面积是：．故选：．
55 若扇形面积为，圆心角为，则该扇形的半径为
A．3 B．9 C． D．
【解答】扇形的面积．解得：．故选：．
56 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是
A． B． C． D．
【解答】这个圆锥的侧面积，故选：．
57 一个圆锥的底面半径为4．侧面展开图是半径为8的扇形，则该圆锥的侧面积是
A． B． C． D．
【解答】圆锥的底面半径为4，圆锥的侧面展开扇形的弧长为，
侧面展开扇形的半径为8，该圆锥的侧面积为，故选：．
58 如图，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径，高，则这个零件的表面积是
A． B． C． D．
【解答】易得圆锥的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，圆锥的侧面积，
圆柱的侧面积，圆柱的底面积，
零件的表面积．故选：．
59 如图，圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是
A． B． C． D．
【解答】圆锥的母线，圆锥的侧面积，故选：．
60 已知圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为，则圆锥的母线长是
A．6 B． C． D．9
【解答】设母线长为，由题意得：，解得：，故选：．
61 如图所示，扇形中，，点为中点，，交于，以为半径画交于，则图中阴影部分面积为 ．
【解答】如图，连接．，，，，，
，故答案为：．
圆周角、圆心角定理与垂径定理
题组七
1、圆在选择填空中的考察主要以圆周角和圆心角定理为主，做题时，圈画关键词，并且抓准圆心角、圆周角是关键。
内 容
图 示
圆心角
定 理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。
圆周角
定 理
定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，且都等于它所对的圆心角的一半。
如图：
推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弧（或弦）是半圆（或直径）。
如图：
推论2：圆内接四边形的对角互补。
如图：，．
2、垂径定理
垂径
定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论：平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
例23 如图，为⊙的直径，，，垂足为，切⊙于点，，连接、、，下列结论不正确的是（ ）
A． B．是等边三角形
C． D．弧的长为
【规范答题】为的直径，切于点，，又，，正确；
弦，，，是等边三角形，正确；
弦，，正确；的长为：，错误，故选：．
例24 如图，是⊙上的两点，的垂直平分线与⊙交于两点， 与线段交于点．若 ，则（ ）
A．30° B．29° C．28° D．20°
【规范答题】，，，
．又是线段的垂直平分线，，
，．故选：．
例25 如图，在半径为3的中，直径与弦相交于点，连接，，若，则 ．
【规范答题】连接，，是的直径，，
，，．故答案为：．
62 如图，点、、在上，，则的度数是
A． B． C． D．
【解答】，圆心角，，
，故选：．
63 如图，为的直径，点、在上，若，则的大小为
A． B． C． D．
【解答】连接．是直径，，
，，故选：．
64 如图，为的直径，为弦，，垂足为，若，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】为的直径，为弦，，，
，，故选：．
65 如图，是的内接三角形，已知圆心〇在边上，平分交圆于点，连接，若，则的度数为
A． B． C． D．
【解答】是的内接三角形，圆心〇在边上，为的直径，
，平分，，，，
，，，故选：．
66 如图，是的直径，点在的延长线上，，与相切于点，交的延长线于点，若的半径为1，则的长是
A．1.5 B．2 C． D．
【解答】连接，切于，，的半径为1，，是的直径，
，，，由勾股定理得：，
，过，切于，切于，，设，
在中，由勾股定理得：，即，解得：，即，
故选：．
67 如图，半径为的的弦，且于，连结、，若，则半径的长为
A．1 B． C． D．
【解答】弦，，，，；连接，，
，，，，，
，，，故选：．
68 如图，的直径垂直于弦，垂足是，已知，，则的长为
A． B． C．4 D．
【解答】，是直径，，，，
，，．，故选：．
69 如图，在中，，是的中点，过，，三点的与边相切于点，则的半径为
A． B． C．1 D．
【解答】如图，连接、，作于点，于点，根据垂径定理可知：，
，是的中点，，与边相切于点，
根据切割线定理可知：，，，，
，，切圆于点，，，
，，，，，
，，即，解得．所以的半径为．选：．
几何小命题辩选
题组八
1、几何小命题主要围绕的考点：三角形全等是核心，特殊三角形的性质是手段，数形结合、坐标解析法、等面积方法的综合运用
例26 如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，则①；②；③；④中正确有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【规范答题】①于，，是边的中点，，①正确；
②过作于，则，
平分，，，②错误；
③，于，是等腰直角三角形，，
于，于，，，，
在与中，，，③正确；
④平分，且于，，，
在与中，，，，
，，④正确．故选：．
例27 如图，半径为的的弦，、交于，为上一点，连、、、，
下列结论：①；②若，则；③在②的条件下，若，，则
．其中正确的是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【规范答题】①弦，，，，；
②连接，，，，，，
，；
③设与相交于点，连接，，，，
在和中，，，
，，，，，
，，，，，，
，，，．
故其中正确的是：①②③．故选：．
例28 如图，正方形中，为对角线，为上一点，过点作，与、分别交点为的中点，连接，，，．下列结论：①；②；③≌；④若，则结论正确的（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【规范答题】①四边形为正方形，，，，，
为等腰直角三角形，，，故①正确
② 为等腰直角三角形，为的中点，，，
在和中，，，，
，故②正确；
③ 为等腰直角三角形，为的中点，，，
在和中，，，故③正确；
④ ，，为等腰直角三角形，为的中点，，
，
在和中，，，
，，，
为等腰直角三角形，
过点作垂直于于点，如图所示：设，则，，，
则，，，故④正确；故选：．
70 如图，在四边形中，，，，平分，，分别为，的中点，的延长线交于点，连接，．对于下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号是
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①②
【解答】，，，，故①正确，
，，，，，故②正确，
，平分，，，
，，，
斜边斜边，故③错误，
，，是等腰直角三角形，，
，，故④正确．故选：．
71 如图1，的对角线、交于点，平分交于点，且，，连接．下列结论：①；②；③；④，成立的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】四边形是平行四边形，，，平分，
是等边三角形，，，
，，，故①错误；
可得，，故②正确；
，为中点，，，
，；故③正确；
四边形是平行四边形，，，，
，，，，故④正确；
故正确的个数为3个，故选：．
72 如图，等边三角形中，是边上的中线，点在线段上，，的延长线交 于点，，连接交于点．下面结论：①；②；③；④．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】是等边三角形，是边上的中线，，，
，，故①正确，
，，，，
，，，，，故②正确，
设，则，，，，
，，故③正确，
在中，，，，，
，故④正确，故选：．
73 如图，中，，，的平分线交于点，过点作，垂足为，连接交于点，则以下结论：①； ②；③； ④与的面积比是：其中正确结论是
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【解答】如图，设．
在中，，，，，，
平分，，，，，
是钝角，，，故①错误，，
，显然，故②错误，
，，垂直平分线段，故③正确，
，故④正确，故选：．
74 如图，、是的切线，切点分别为、，是的直径，交于、两点，交于，连，下列结论：①②③④为的内心，其中正确的是
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②④
【解答】连接、、、，作，，
是直径，，即，、是的切线，，
故可得，即可得②正确；
，点是线段的中点，由题意得，，，，
，，，，即①正确；
由题意得，，，而，故不能得出，
也即得出，即③错误；、是的切线，，又，
，，即可得点是角平分线的交点，点为的内心，
故可得④正确．综上可得①②④正确．故选：．
75 如图，是半圆直径，半径于点，平分交弧于点，连结、，给出以下四个结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
【解答】是半圆直径，，，平分交弧于点，
，，，故①正确
由题意得，，，，，故②错误；
，，，
与不相似，故③错误；
平分交弧于点，，，是半圆直径，
，（已证），
，，，
，，故④正确．综上可得①④正确．故选：．
76 如图，是的直径，弦于点．点是上一点，且满足，连接并延长交 于点．连接、，若，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
【解答】①是的直径，弦，，，，
（公共角），；故①正确；
②，，，，；故②正确；
③，，，在中，，
；故③错误；
④，，，
，，，，；
故④正确．故选：．
77 如图，是的直径，，是上的点，且，分别与，相交于点，，则下列结论：①；②；③平分；④；⑤；⑥，其中一定成立的是
A．②④⑤⑥ B．①③⑤⑥ C．②③④⑥ D．①③④⑤
【解答】①、是的直径，，，
②假设，，，，，
，，即：，是半圆的三等分点，而与“，是上的点”矛盾，，
③、，，，，，平分，
④、是的直径，，，，，点为圆心，，
⑤、由④有，，点为中点，是的中位线，，
⑥和中，没有相等的边，与不全等，故选：．
78 如图2，已知在正方形中，对角线与相交于点，，分别是与的平分线，的延长线与相交于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④
【解答】①四边形是正方形，，
，分别是与的平分线，，，
，，即，故①结论正确；
②在和中，，，，
，，，，故②正确；
③，，故③正确；
④，，，，
，，故④错误．故选：．
79 如图，在正方形中，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧，交、于点，，分别以，为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连结并延长交于点，再分别以、为圆心，以大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，，作直线，分别交，，于点，，，交的延长线于点，连接，下列结论：①，②，③，④．其中正确的是
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【解答】① 四边形是正方形，，由作图可知：平分，
，是的中垂线，，，
，，；故①正确；
② 是的中垂线，，，，故②正确；
③ ，，，，，
，在中，，故③正确；
④ 连接，，，四边形是菱形，，
，，，，故④不正确；
本题正确的是：①②③，故选：．
80 如图3，已知四边形是边长为4的正方形，为上一点，且，为射线上一动点，过点作于点，交直线于点．则下列结论中：①；②若，则；③当时，；④的最小值为．其中正确的有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】连接，过作于，则，，，
，，，
，，，故①正确；
，，，，
，，，；故②正确；
连接，，点，，，四点共圆，，
，，同理当运动到点右侧时，此时，且四点共圆，
，故此时．因此或7，故③错误；
取 的中点，连接，，，，
点在以为圆心，为直径的圆上，
当最小时，的值最小，，的最小值，
，，的最小值为，故④错误，选：．
模块四
方程、不等式、函数
根式、分式有意义条件与自变量取值范围
题组一
主要考察分式、根式有意义的条件以及函数中自变量取值范围内容，属于简单题，关键识记知识。
1、函数中自变量的取值范围
类型
特点
自变量的取值范围
举例
整式型
等式右边是关于自变量的整式
全体实数
属于一切实数
分式型
等式右边是关于自变量的分式
使分母不为的实数
根式型
等式右边是自变量开偶次方式子
使根号下的式子大于或等于的实数
零次幂
等式右边是关于自变量的零次幂
使底数不为的实数
例29 函数中自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【规范答题】由题意可得：，解得：，所以选
81 函数的自变量的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解答】函数的分母中含有自变量，自变量的取值范围为：，即．选：
82 如果整数，那么使函数有意义的的值是 （只填一个）
【解答】，，即，整数，当时符合要求，故答案为：0．
83 使有意义的的取值范围为 ．
【解答】有意义的条件：，所以
84 要使有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≤0 B．x≥﹣1 C．x≥0 D．x≤﹣1
【解答】要使根式有意义，则令x+1≥0，得x≥﹣1
85 使代数式有意义的的取值范围是（ ）
A. B. C.且 D.一切实数
【解答】解不等式组得且，故选C．
86 若，则的值为 .
【解答】由，知x=1，∴(x+y)2=0，∴y=-1，∴x-y=2.
87 若分式不论取何实数总有意义，则的取值范围是 ．
【解答】若分式不论x取何实数总有意义，则分母≠0，
设，当△＜0即可，.
答案m＞1.
方程与不等式
题组二
1、不等式解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分．利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
3、分式方程的解法：
⑴去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。
⑵解整式方程，得到整式方程的解。
⑶检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公分母为，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根；如果最简公分母不为，则是原方程的解。
4、增根：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的条件是：①是得到的整式方程的解；②代入最简公分母后值为0。
5、一元二次方程根与判别式
判别式：一元二次方程中叫一元二次方程根的判别式，用“”表示，.
①当时，一元二次方程有个不相等的实数根；
②当时，一元二次方程有个相等的实数根；
③当时，一元二次方程没有实数根.
例30 不等式组，的解集在以下数轴表示中正确的是
A． B．
C． D．
【规范答题】，解不等式①得：，解不等式②得：，
不等式组的解集是，在数轴上表示为：故选：．
，
例31 关于的方程有增根，则的值为 ．
【规范答题】方程两边都乘以,得整理得.
当a = 1 时,方程无解.
当时,.如果方程有增根,那么,即或.
当时,,所以;
当时,,所以a = 6 .
所以当或a = 6原方程会产生增根.
例32 如果关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为 ．
【规范答题】关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
△，即，解得或2．故答案为：或2．
例33 施工队要铺设2000米的下水管道，因在中考期间需停工3天，每天要比原计划多施工40米才能按时完成任务．设原计划每天施工米，所列方程正确的是
A． B．
C． D．
【规范答题】设原计划每天施工米，根据题意，可列方程：，故选：．
88 一元二次方程的根的情况是（ ）
A．两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法确定
【解答】在方程中，△，该方程有两个相等的实数根．故选：．
89 已知关于的方程的解是，则的值为 ．
【解答】把代入方程得：，解得：，故答案为：．
90 关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则实数取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解答】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
△，，故选：．
91 若关于的方程无解，则的值是 ．
【解答】去分母，得：，整理，得：，
当时，分式方程无解，则，解得：；
当整式方程无解时，，故答案为：3或1．
92 若关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ．
【解答】去分母，得，解得：，
根据题意得：且，解得：且．
故答案是：且．
93 若关于的分式方程无解，则的值为 ．
【解答】去分母得：，解得：，
由分式方程无解，得到，即或，即，
综上，的值为或1．故答案为：或1
94 有一项工程，若甲、乙合作10天可以完成，甲单独工作13天后，因某原因离开了，此后由乙来接替，乙三天后完成了这项工程，则甲的工作效率是乙的 倍．
【解答】设乙单独做天完成，则乙每天完成总共量的，故甲每天完成总共量的，
则，解得：，检验得：是原方程根，
则．所以，即甲的工作效率是乙的倍．故答案是：．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
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95 “五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设实际参加游览的同学共人，则所列方程为
A． B．
C． D．
【解答】设实际参加游览的同学共人，根据题意得：．故选：．
96 八年级学生去距学校千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的倍．设骑车学生的速度为，则列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】 设甲、乙两船在静水中的速度均为，
则求两船在静水中的速度可列方程为：．故选：．
97 不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【解答】 解不等式，得：，解不等式，得：，
不等式组的解集为：，故选：．
98 若关于x的不等式组的解集是x＞a，则a的取值范围是（ ）
A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2
【解答】解关于的不等式组得,,故选：．
99 若整数使关于的不等式组，有且只有45个整数解，且使关于的方程的解为非正数，则的值为
A．或 B．或
C．或 D．或或
【解答】解不等式组，得，不等式组有且只有45个整数解，，
解得，因为关于的方程的解为：，，
解得，，，则的值为：或．故选：．
函数图像
题组三
1、一次函数图像性质
解析式
参 数
代表直线的斜率，含义是直线的倾斜程度。
代表直线的纵截距，含义是直线与轴相交的点的纵坐标。
图 像
增减性
随的增大而增大
随的减小而减小
2、反比例函数图像性质
解析式
图 像
增减性
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而减小；
当时，随的增大而增大；
当时，随的增大而增大；
3、二次函数图像性质
函 数
一般式：(书写的规范：题目对解析式没有要求，均需写成一般式)
顶点式：(分析性质：涉及函数最值对称性增减性需化为顶点式）
交点式：（交点问题：涉及函数与轴的交点时可用交点式）
★一般式与顶点式互化：
图 象
对称轴
直线
顶 点
增减性
时，随增大而减小
时，随增大而增大
时，随增大而增大；时，随增大而减小．
最 值
当时，有最小值，
当时，有最大值，
例34 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B． C． D．
【规范答题】、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，本选项错误；
、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故选项正确
、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故选项错误；
、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故选项错误．
故选：．
例35 已知正比例函数和反比例函数，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中符合 的是
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
【规范答题】①中，，故，故①符合题意；
②中，，故，故②不符合题意；
③中，，故，故③不符合题意；
④中，，故，故④符合题意；故选：．
例36 如图，在中，，，，为上的动点，交折线 于点，设，的面积为，则与的函数图象符合题意的是
A． B． C． D．
【规范答题】在中，，，，，．
① 当时，，，的面积，函数图象为顶点在原点，开
口向上的抛物线，故、错误；
② 当时，，，的面积，
函数图象为开口向下的抛物线，故正确，错误．故选：．
100 在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是
A． B． C． D．
【解答】、一次函数的图象经过一、二、四象限，则，即，，所以函数的图象开口向上，对称轴，与轴的交点位于直线的上方，由整理得，由于△，则两图象有交点，故错误；
、一次函数的图象经过一、二、四象限，则，即，，
所以函数开口向上，对称轴，故错误；
、一次函数的图象经过一、二、三象限，则，即，，
所以函数开口向下，对称轴，故错误；
、一次函数的图象经过二、三，四象限，则，即，，
所以函数开口向上，对称轴，故正确；故选：．
101 在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是
A． B． C． D．
【解答】、由抛物线可知，图象开口向上，与轴交在负半轴，，
由直线可知，图象过一，二，三象限，，，故此选项错误；
、由抛物线可知，图象开口向上且与轴交在正半轴，，
由直线可知，图象过一，二，四象限，，，故此选项错误；
、由抛物线可知，图象开口向下且与轴交在正半轴，，
由直线可知，图象过一，三，四象限，，故此选项正确；
、由抛物线可知，图象开口向下且与轴交在负半轴，，
由直线可知，图象过一，二，三象限，，故此选项错误；故选：．
102 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是
A． B． C． D．
【解答】当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限；
当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限．故选：．
103 在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是
A． B． C． D．
【解答】、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故错误；
、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，，，
一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故错误；
、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故正确；
、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，故错误；
故选：．
104 函数与为常数且在同一平面直角坐标系中的图象可能是
A． B． C． D．
【解答】、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象经
一、二、四象限，故本选项错误；
、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象经过一、
三、四象限，故本选项正确；
、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象经过
一、三、四象限，故本选项错误；故选：．
105 在四边形中，，，，点沿运动，同时点 沿运动，运动速度均为每秒1个单位，当两点相遇时，运动停止，则的面积与运动时间秒之间的图象大致为
A． B． C． D．
【解答】点沿运动，同时点沿运动，运动速度均为每秒1个单位，，
为等边三角形，，
当时，，的面积；
当时，如图1，，作于，则，
的面积；
当时，如图2，，，则，
过作，，连接，，，
四边形为等腰梯形，，，
，，，
由勾股定理得：，，
，的面积，
此时为的一次函数，正确．故选：．
106 如图，在四边形中，，，，，．动点沿路径从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动．过点作，垂足为．设点运动的时间为（单位：，的面积为，则关于的函数图象大致是
A． B． C． D．
【解答】
① 当点在上运动时，，图象为二次函数；
② 当点在上运动时，如下图，
由①知，，同理，
则，为一次函数；
③ 当点在上运动时，同理可得：，为一次函数；
故选：．
107 如图，在中，，，于点．点从点出发，沿 的路径运动，运动到点停止，过点作于点，作于点．设点运动的路程为，四边形的面积为，则能反映与之间函数关系的图象是
A． B． C． D．
【解答】在中，，，，，于点，
，，，四边形是矩形，，，
点运动的路程为，当点从点出发，沿路径运动时，
即时，，则，，
四边形的面积为，，
当时，抛物线开口向下；
当点沿路径运动时，即时，是的平分线，，
四边形是正方形，，，，．
当时，抛物线开口向上，
综上所述：能反映与之间函数关系的图象是：．故选：．
二次函数系数与图像
题组四
题组三主要考察分式、根式有意义的条件以及函数中自变量取值范围内容，属于简单题，关键识记知识。
1、二次函数中参数小命题
（1）单参数
①看抛物线的开口方向，开口向上，开口向下；
②看抛物线对称轴：左同右异。对称轴在轴左边则与同号，对称轴在轴右边则与异号
③看抛物线与轴交点：抛物线与轴交点在轴上方，在轴下方，
乘积型或商型以单个参数思路解决
（2）多参数：
①类型（含）：以对称轴为出发点
②类型（都含的）：将其看作时的函数值
③类型：利用判别式与根的情况判断
、类型（含或）综合利用①②的思路解决
（3）引入新参数
①配凑：左右同时：，即，不等式是否成立结合图像判断即可。
②最值：移项：，令把它当作关于的二次函数。研究的最大（小）值是否大于（小于）零即可。
例37 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，点位于、之间，与 轴交于点，对称轴为直线，直线与抛物线交于，两点，点在轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①；②；③（其中为任意实数）；④，其中正确的是
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【规范答题】抛物线与轴的交点在轴上方，，抛物线的对称轴为直线，
，所以①正确；
抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点位于、之间，
抛物线与轴的另一个交点位于、之间，
即当时，，也就是，因此②正确；对称轴为，
时的函数值大于或等于时函数值，即，当时，函数值最大，
，即，，因此③不正确；
直线与抛物线交于、两点，点在轴上方且横坐标小于5，
时，一次函数值比二次函数值大，即，而，
，解得，因此④正确；综上所述，正确的结论有①②④，故选：．
例38 如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，给出6个结论：①；②；③．；④一元二次方程有两个根为，．⑤；⑥为任意实数），其中正确的个数有
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【规范答题】① 对称轴为，，，，故①错误；
② 抛物线的开口向下，，与轴的交点在轴的正半轴上，，
对称轴为，，故②正确；
③ 把，代入解析式得，，
两边相加整理得，即，故③正确；
④ 对称轴为，图象过点，图象与轴另一个交点，
关于的一元二次方程的解为或，故④正确；
⑤ 由图象可知当时，二次函数的最大值为，
即为任意实数），整理得，
，为任意实数），故⑤错误；故选：．
108 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：①；②；③若点、点，、点，在该函数图象上，则：④若方程的两根为和，且，则；⑤．其中正确的结论有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】①由题意可知：对称轴，，，故①正确；
②当时，，，故②错误；
③，关于直线的对称点为，，由图可知：时，随着的增大而减小，
由于，，故③正确；
④ 设，，由于图象可知：直线与抛物线有两个交点，
方程的两根为和，，故④正确；
⑤ 当时，，此时为最大值，当时，，
，即，故⑤错误；故选：．
109 二次函数的图象如图所示，分析下列四个结论，其中正确结论的个数有
①；②；③；④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】抛物线开口向下，，对称轴在轴左侧，、同号，，
抛物线与轴的交点在上方，，所以，，因此①不正确；
当时，，当时，，，
即，也就是，因此③正确；
抛物线顶点纵坐标，即，又，因此有，所以④正确；
对称轴在之间，因此有，又，故有，
而，有，即，因此②不正确；
综上所述，正确的结论有：③④，故选：．
110 如图，抛物线与轴交于点，与轴的交点在点与点之间（不包括这两点），对称轴为直线．有下列结论：
①； ②；③；④若点，，在抛物线上，则．其
中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】① 由开口可知：，对称轴，，
由抛物线与轴的交点可知：，，故①正确；
② 对称轴，，，
，，，，故②正确；
③ ，，，，，，，
，故③正确，
④ 点，，在抛物线上，则，
当时，；当时，；故④错误；故选：．
111 如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③；④若，为方程的两个根，则且，其中正确的结论有
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【解答】抛物线开口向下，，对称轴为，即，因此，与的交点在正半轴，，
所以，因此①正确；，对称轴为，当时，随的增大而增大，
因此②不正确；由对称性可知，抛物线与轴的两个交点为，，，，
又，，，，因此③正确；
抛物线与轴的两个交点为，，，
，为方程的两个根，实际上就是当时，函数
相应的自变量的值为、；，根据图象可知，且，因此④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，故选：．
112 如图，二次函数的图象经过点且与轴交点的横坐标分别为，，其中，．给出下列结论：①，②，③，④，⑤．其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】抛物线开口向下，，对称轴在轴的右侧，、异号，因此，与轴的交点在正半轴，，
所以，故①错误；当时，，因此②正确；
对称轴在之间，于是有，又，所以，故③正确；
当时，，又，所以，故④不正确；
当时，，又因为，即，所以，也就
，而，因此，⑤正确；综上所述，正确的结论有：②③⑤，故选：．
113 如图，已知二次函数的图象与轴相交于、两点．则以下结论：①；②二次函数的图象的对称轴为；③；④．其中正确的有 个．
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】对于①：二次函数开口向下，故，与轴的交点在的正半轴，
故，故，因此①错误；
对于②：二次函数的图象与轴相交于、，由对称性可知，
其对称轴为：，因此②错误；
对于③：设二次函数的交点式为，
比较一般式与交点式的系数可知：，，故，因此③正确；
对于④：当时对应的，观察图象可知时对应的函数图象的值在轴上方
故，因此④正确．只有③④是正确的．故选：．
反比例函数中的求解与运用
题组五
1、反比例函数的求解问题中，核心点是：把落在反比例函数上的点的坐标表示出来。结合运用三角形全等、三角形相似、锐角三角函数等知识点综合解题
2、的几何意义与面积模型
的几何意义
①过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为定值.
②过双曲线(≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.
矩形面积模型
点和点在反比例函数图象上，过分别做轴轴的垂线得到两个矩形。有：
三角形面积模型
点和点在反比例函数图象上,连接、、可得,过分别做轴的垂线,垂足分别为、,与交于。
有：①
②
3、 几何结论
条 件
结 论
图 示
几何结论
直线
为矩形
例39 位于第一象限的点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，是坐标原点．若，的面积等于，则（ ）
A．4 B．2 C．1 D．﹣2
【规范答题】因为位于第一象限的点在反比例函数的图象上，点在轴的正半轴上，是坐标原点．
若，的面积等于2，所以，解得：，所以：，故选：．
例40 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，顶点落在轴的正半轴上，
对角线、交于点，点、恰好都在反比例函数的图象上，则的值为
A． B． C．2 D．
【规范答题】设，，点为菱形对角线的交点，，，，
，，把，代入得，，
四边形为菱形，，，解得，，
在中，，．故选：．
114 已知点在反比例函数的图象上，则 ．
【解答】点在反比例函数的图象上，，．故答案为：2
115 若点（3，5）在反比例函数（k≠0）的图象上，则k＝ ．
【解答】把点的纵横坐标代入反比例函数得：,故答案为：15
116 如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过对角线的中点和顶点．若菱形的面积为12，则的值为
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】 设点的坐标为，点的坐标为，
则，点的坐标为，，解得，，故选：．
117 如图1，反比例函数的图象过两点，过作轴，过点作
轴，垂足为，连接，交于，若，四边形的面积为，则的值为 ．
【解答】 设点坐标为，则，,轴，轴
,,，
四边形的面积为2,，即
将代入反比例函数，得故答案为：
118 已知点在双曲线上，若都是正整数，则图象经 过、
两点的一次函数的解析式（也称关系式）为 ．
【解答】 点在双曲线上，，、都是正整数，
，或，．
设经过、两点的一次函数的解析式为．
① 当，时，由题意， 得，解得，；
② 当，时，由题意， 得，解得，．
则所求解析式为或．故答案为或．
119 如图2，点在双曲线上，过点作轴，垂足为点，分别以点和点 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交轴于点，交轴于点，连接．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】 如图，设交于．由作图可知，垂直平分线段，，，
在中，，，，
由，可得，，，，
，，．故选：．
120 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，点在直线上，连接，，若，则的值为
A. B． C． D．
【解答】作轴于，如图，当时，，则；
当时，，解得，则，当时，，则，
，，为等腰直角三角形，，
，，，而，，
，，，
，即，解得，为等腰直角三角形，，
，把代入得．故选：．
121 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与坐标原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图象与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、，则下列选项中的结论错误的是
A． B．四边形与面积相等
C． D．若，，则点的坐标为
【解答】点、都在的图象上，，即，
四边形为正方形，，，
，正确；
，而，
四边形与面积相等，正确；
，，的值不能确定，的值不能确定，
只能为等腰三角形，不能确定为等边三角形，，错误；
作于点，如图所示：，为等腰直角三角形，
，设，则，，，
在中，，，即，，
，，，，为等腰直角三角形，
，设正方形的边长为，则，，
在中，，，解得，（舍去），
，点坐标为，正确．故选：．
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