中考数学二轮复习转练题型08 与圆有关的证明与计算题（含解析）

这是一份中考数学二轮复习转练题型08 与圆有关的证明与计算题（含解析），共31页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的弦， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）．
A．30°B．40°C．50°D．60°
【答案】D
【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．
【详解】解：如图，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的弦， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明 SKIPIF 1 < 0 .
2．如图， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线，切点为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由切线性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，再由等腰三角形性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，然后用三角形外角性质得出 SKIPIF 1 < 0
【详解】切线性质得到 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
故选D
【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键
3．如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内接三角形， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 的圆的切线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的度数为（ ）
A．32°B．31°C．29°D．61°
【答案】A
【分析】根据题意连接OC， SKIPIF 1 < 0 为直角三角形，再根据BC的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的 SKIPIF 1 < 0 的度，再根据直角三角形可得 SKIPIF 1 < 0 的度数.
【详解】根据题意连接OC.因为 SKIPIF 1 < 0
所以可得BC所对的大圆心角为 SKIPIF 1 < 0
因为BD为直径，所以可得 SKIPIF 1 < 0
由于 SKIPIF 1 < 0 为直角三角形
所以可得 SKIPIF 1 < 0
故选A.
【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.
4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是这段弧所在圆的圆心， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
设半径为 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 这段弯路的半径为 SKIPIF 1 < 0
故选：A．
【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．
5．如图，点 SKIPIF 1 < 0 为扇形 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 上一点，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在 SKIPIF 1 < 0 上的点 SKIPIF 1 < 0 处，且 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 表示 SKIPIF 1 < 0 的长），若将此扇形 SKIPIF 1 < 0 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】连接OD，求出∠AOB，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可.
【详解】解：连接 SKIPIF 1 < 0 交AC于 SKIPIF 1 < 0 ．
由折叠的知识可得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
设圆锥的底面半径为 SKIPIF 1 < 0 ，母线长为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.
6．如图，边长为 SKIPIF 1 < 0 的等边 SKIPIF 1 < 0 的内切圆的半径为( )
A．1B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH= SKIPIF 1 < 0 AB=3，然后利用正切的定义计算出OH即可．
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，
∵ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
∴CH平分 SKIPIF 1 < 0 ，AO平分 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中，∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 内切圆的半径为1．
故选A．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= SKIPIF 1 < 0 ，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
【详解】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB= SKIPIF 1 < 0 ，BC=2，tan∠A= SKIPIF 1 < 0 ，
∴∠A=30°，
∴OH= SKIPIF 1 < 0 OA= SKIPIF 1 < 0 ，AH=AO•cs∠A= SKIPIF 1 < 0 ，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH= SKIPIF 1 < 0 ，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD= SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 ，
故选A.
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
8．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是( )
A．4B．6.25C．7.5D．9
【答案】A
【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.
【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，
∴AB2+AC2=BC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，
∵⊙O为△ABC内切圆，
∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，
∴四边形AEOF为正方形，
设⊙O的半径为r，
∴OE=OF=r，
∴S四边形AEOF=r²，
连接AO，BO，CO，
∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴r=2，
∴S四边形AEOF=r²=4，
故选A.
【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.
9．如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的两点，且 SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别与 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论不一定成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由圆周角定理和角平分线得出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由等腰三角形的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，得出 SKIPIF 1 < 0 ，证出 SKIPIF 1 < 0 ，选项A成立；由平行线的性质得出 SKIPIF 1 < 0 ，选项B成立；由垂径定理得出 SKIPIF 1 < 0 ，选项D成立； SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，没有相等的边， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不全等，选项C不成立，即可得出答案．
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，选项A成立；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，选项B成立；
∴ SKIPIF 1 < 0 ，选项D成立；
∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 中，没有相等的边，
∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不全等，选项C不成立，
故选C．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．
10．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根据三角形的内角和得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据圆周角定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：∵在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，BC为半圆O的直径，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
图中阴影部分的面积 SKIPIF 1 < 0
故选：A．
【点睛】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积。
二、填空题
11．如图， SKIPIF 1 < 0 的两条相交弦 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的面积是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，又 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得半径，即可得到 SKIPIF 1 < 0 的面积．
【详解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为等边三角形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴圆的半径为2，
∴ SKIPIF 1 < 0 的面积是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．
12．如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留 SKIPIF 1 < 0 )
【答案】 SKIPIF 1 < 0 －1
【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，
则图中阴影部分的面积＝ SKIPIF 1 < 0 ×（S圆O−S正方形ABCD）＝ SKIPIF 1 < 0 ×（4π−4）＝π−1，
故答案为：π−1．
【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
13．如图， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的直径，弦 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则弦 SKIPIF 1 < 0 的长度为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，利用垂径定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，根据勾股定理得到 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用垂径定理得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后解方程组求出 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 的长．
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，如图，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
设⊙ SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，①
在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，②
解由①②组成的方程组得到 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．
14．如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为 SKIPIF 1 < 0 ，则勒洛三角形的周长为__________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，计算弧长即可.
【详解】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，每段弧的长度为： SKIPIF 1 < 0
则勒洛三角形的周长为： SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【点晴】考查弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键.
15．如图，在平面直角坐标系中，已知 SKIPIF 1 < 0 经过原点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴分别交于 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 两点，点 SKIPIF 1 < 0 坐标为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则圆中阴影部分的面积为_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】由圆周角定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，在Rt△AOB中，利用解直角三角形求出OA、AB的长，然后根据S阴=S半-S△ABO求解即可.
【详解】连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是直径，
根据同弧对的圆周角相等得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即圆的半径为2，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了：①同弧对的圆周角相等；②90°的圆周角对的弦是直径；③锐角三角函数的概念；④圆、直角三角形的面积分式．熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.
16．如图， SKIPIF 1 < 0 是圆 SKIPIF 1 < 0 的弦， SKIPIF 1 < 0 ，垂足为点 SKIPIF 1 < 0 ，将劣弧 SKIPIF 1 < 0 沿弦 SKIPIF 1 < 0 折叠交于 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ．
【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．
【详解】解：连接OA，设半径为x，
SKIPIF 1 < 0 将劣弧 SKIPIF 1 < 0 沿弦AB折叠交于OC的中点D，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
解得， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．
17．如图，扇形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 为弧 SKIPIF 1 < 0 上的一点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则该扇形的半径长为___________
【答案】5
【分析】连接OP，设半径为r，在直角三角形OCP中利用勾股定理将CO用r表示，得到AC，又有△ACD∽△AOB，利用 SKIPIF 1 < 0 ，解出r即可
【详解】连接OP，设半径为r，则OP=OA=OB=r，PC=PD+CD=3,
在直角三角形OCP中， SKIPIF 1 < 0 ，即得OC2=r2-9，得到OC= SKIPIF 1 < 0
得到AC= SKIPIF 1 < 0 ，又易知△ACD∽△AOB，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
得到 SKIPIF 1 < 0 ，解出r=5；故填5
【点睛】本题主要考查勾股定理及相似三角形的证明与性质，本题关键在于能够连OP，表示出AC
18．如图，在圆心角为90°的扇形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上任意一点，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的内心，当点 SKIPIF 1 < 0 从点 SKIPIF 1 < 0 运动到点 SKIPIF 1 < 0 时，则内心 SKIPIF 1 < 0 所经过的路径长为_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】以 SKIPIF 1 < 0 为斜边在 SKIPIF 1 < 0 的右边作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心 SKIPIF 1 < 0 为半径作⊙ SKIPIF 1 < 0 ，在优弧 SKIPIF 1 < 0 上取一点H，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．求出 SKIPIF 1 < 0 ，证 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，证 SKIPIF 1 < 0 四点共圆，故点 SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹是 SKIPIF 1 < 0 ，由弧长公式可得.
【详解】如图，以 SKIPIF 1 < 0 为斜边在 SKIPIF 1 < 0 的左边作等腰 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为圆心 SKIPIF 1 < 0 为半径作⊙ SKIPIF 1 < 0 ，在优弧 SKIPIF 1 < 0 上取一点H，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵点 SKIPIF 1 < 0 是内心，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 四点共圆，
∴点 SKIPIF 1 < 0 的运动轨迹是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴内心 SKIPIF 1 < 0 所经过的路径长 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为 SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l= SKIPIF 1 < 0 ，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．
19．如图， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径作弧交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则阴影部分的面积为_____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据题意连接OC，可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧AC所对的阴影部分面积等于弧AC所对圆心角的面积减去 SKIPIF 1 < 0 的面积，而不规则图形BCD的面积等于 SKIPIF 1 < 0 的面积减去弧DC所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.
【详解】解：根据题意连接OC
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为等边三角形
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 阴影部分面积1= SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 阴影部分面积2= SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 阴影部分面积=阴影部分面积1+阴影部分面积2= SKIPIF 1 < 0
故答案为 SKIPIF 1 < 0 。
【点睛】本题只要考查圆弧的面积计算，关键在于阴影部分面积的分割.
20．如图，在扇形AOB中， SKIPIF 1 < 0 ，半径OC交弦AB于点D，且 SKIPIF 1 < 0 ．若 SKIPIF 1 < 0 ，则阴影部分的面积为_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是 SKIPIF 1 < 0 的面积与扇形OBC的面积之和再减去 SKIPIF 1 < 0 的面积，本题得以解决．
【详解】
解：作 SKIPIF 1 < 0 于点F，
SKIPIF 1 < 0 在扇形AOB中， SKIPIF 1 < 0 ，半径OC交弦AB于点D，且 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 阴影部分的面积是： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
三、解答题
21．如图， SKIPIF 1 < 0 内接于 SKIPIF 1 < 0 ，直径 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点E，延长 SKIPIF 1 < 0 至点F，使 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 并延长交过点A的切线于点G，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）求证： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线．
【答案】（1）见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ；（3）见解析.
【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理，结合题意进行计算，即可得到答案；
（2）根据三角函数性质，得到 SKIPIF 1 < 0 ，从而得出答案；
（3）根据相似三角形的性质进行计算，即可得到答案.
【详解】解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 （负值舍去），
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 的半径 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ；
（3）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线．
【点睛】本题考查平行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质.
22．如图, SKIPIF 1 < 0 内接于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .将斜边 SKIPIF 1 < 0 绕点 SKIPIF 1 < 0 顺时针旋转一定角度得到 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线;
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0
求证： SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O在AB上，AB为⊙O直径，故只需证AD⊥AB即可．由∠ABC+∠BAC=90°和∠DAE=∠ABC可证得∠DAE+∠BAC=90°，而E、A、C在同一直线上，用180°减去90°即为∠BAD=90°，得证．
（2）由（1）利用勾股定理得出 SKIPIF 1 < 0 ，公积金图形得出 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，即可得到 SKIPIF 1 < 0 ，再根据相似三角形的性质得到 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，即可解答
【详解】（1）证明： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的半径
SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线
（2）证明：由①知 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
由模型可知， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
【点睛】此题考查三角形相似，圆切线证明，解题关键在于证明AD⊥AB
23．如图1，有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心 SKIPIF 1 < 0 （保留作图痕迹，不写做法）
如图2，设 SKIPIF 1 < 0 是该残缺圆 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 是圆上一点， SKIPIF 1 < 0 的角平分线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 的切线交 SKIPIF 1 < 0 的延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求残缺圆的半圆面积．
【答案】图1做图题作法：详见解析；图2解答过程：（1）详见解析；（2）5π
【分析】作弦 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再作两弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点O即为圆心．
（1）连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，由切线的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，然后证明 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 即可；
（2）首先证明四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，然后求出BC，再利用勾股定理求出AB即可解决问题．
【详解】解：图1做图题作法：
①在残缺的圆上取两条不平行的弦 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ；
②以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心大于 SKIPIF 1 < 0 一半长为半径在 SKIPIF 1 < 0 两侧作圆弧；
③以点 SKIPIF 1 < 0 为圆心，同样长的半径在 SKIPIF 1 < 0 两侧作圆弧与②中的圆弧交于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点；
④作直线 SKIPIF 1 < 0 即为线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线；
⑤以同样的方法做线段 SKIPIF 1 < 0 的垂直平分线 SKIPIF 1 < 0 与直线 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 即为该残缺圆的圆心.
图2解答过程：
（1）证明：连接 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的切线
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）解：
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 为矩形
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题考查作图−复杂作图，切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．
24．如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作 SKIPIF 1 < 0 ，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：△APO～△DCA；
（2）如图2，当 SKIPIF 1 < 0 时
①求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）① SKIPIF 1 < 0 ；②存在， SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由切线性质和直径AC可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即可得： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）①连接OD，由 SKIPIF 1 < 0 可得△OAD是等边三角形，由此可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
②作 SKIPIF 1 < 0 交⊙O于Q，可证ABQP为菱形，求 SKIPIF 1 < 0 可转化为求 SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）∵PA切⊙O于点A，AC是⊙O的直径，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
（2）如图2，连接OD，
①∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴△ SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
②存在．如图2，过点B作 SKIPIF 1 < 0 交⊙O于Q，连接PQ，BC，CQ，
由①得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形ABQP是菱形，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
【点睛】本题是有关圆的综合题，难度不大；主要考查了切线性质，圆周角与圆心角，等边三角形性质，特殊角三角函数值，菱形性质等．
25．四边形 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的圆内接四边形，线段 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径，连结 SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 上的一点，连结 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的延长线与 SKIPIF 1 < 0 的延长线相交与点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求证：四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
①求证： SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形；
②求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
【答案】（1）见解析;（2）①见解析;② SKIPIF 1 < 0 .
【分析】（1）由圆周角的定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，可证 SKIPIF 1 < 0 ，由一组对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形；
（2）①由平行线的性质可证 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，可证 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形；
②通过证明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，通过证明 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可求 SKIPIF 1 < 0 ，由等腰直角三角形的性质可求 SKIPIF 1 < 0 的长度．
【详解】证明：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
（2）①∵ SKIPIF 1 < 0 是直径，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且， SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形；
②∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的圆内接四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，求 SKIPIF 1 < 0 的长度是本题的关键．
26．如图，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心， SKIPIF 1 < 0 的延长线与 SKIPIF 1 < 0 的外接圆 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的平分线交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求证： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3
【分析】(1)根据三角形内心的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用圆内接四边形的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，从而得到 SKIPIF 1 < 0 ，则可判断 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)根据三角形内心的性质得 SKIPIF 1 < 0 ，然后证明 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ；
(3)证明 SKIPIF 1 < 0 ，利用相似比得到 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，然后计算 SKIPIF 1 < 0 即可．
【详解】(1)∵点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平分 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
(2)∵点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的内心，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ；
(3)∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.
27．如图，在矩形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 折叠，点 SKIPIF 1 < 0 恰好落在对角线 SKIPIF 1 < 0 上的 SKIPIF 1 < 0 点. SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上一点， SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)求证： SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线；
(2)在边 SKIPIF 1 < 0 上截取 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的黄金分割点吗？请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的黄金分割点.
【分析】(1)连接 SKIPIF 1 < 0 ，由等腰三角形性质和折叠性质证 SKIPIF 1 < 0 ，根据矩形性质证 SKIPIF 1 < 0 ；（2）根据矩形性质和勾股定理求CE,CF,由 SKIPIF 1 < 0 得出结论.
【详解】解：(1)证明：连接 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
由折叠可知 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .即 SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的切线；
(2)点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的黄金分割点.
∵四边形 SKIPIF 1 < 0 是矩形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴ SKIPIF 1 < 0 .
∴点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的黄金分割点.
【点睛】考核知识点：矩形性质，切线判定.根据需要寻找条件是关键.
28．宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都与地面l平行，车轮半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，坐垫 SKIPIF 1 < 0 与点 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求坐垫 SKIPIF 1 < 0 到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫 SKIPIF 1 < 0 到 SKIPIF 1 < 0 的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为 SKIPIF 1 < 0 ，现将坐垫 SKIPIF 1 < 0 调整至坐骑舒适高度位置 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长．
（结果精确到 SKIPIF 1 < 0 ，参考数据： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】（1）99.5（2）3.9
【分析】（1）作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得答案；
（2）作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，先根据 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 的长度，再根据 SKIPIF 1 < 0 可得答案
【详解】（1）如图1，过点E作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
则单车车座 SKIPIF 1 < 0 到地面的高度为 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）如图2所示，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，
由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．
29．（材料阅读）:地球是一个球体，任意两条相对的子午线都组成一个经线圈（如图 SKIPIF 1 < 0 中的 SKIPIF 1 < 0 ）．人们在北半球可观测到北极星，我国古人在观测北极星的过程中发明了如图 SKIPIF 1 < 0 所示的工具尺（古人称它为“复矩”），尺的两边互相垂直，角顶系有一段棉线，棉线末端系一个铜锤，这样棉线就与地平线垂直．站在不同的观测点，当工具尺的长边指向北极星时，短边与棉线的夹角 SKIPIF 1 < 0 的大小是变化的．
（实际应用）:观测点 SKIPIF 1 < 0 在图1所示的 SKIPIF 1 < 0 上，现在利用这个工具尺在点 SKIPIF 1 < 0 处测得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，在点 SKIPIF 1 < 0 所在子午线往北的另一个观测点 SKIPIF 1 < 0 ，用同样的工具尺测得 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ． SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的直径， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的度数；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 km，求这两个观测点之间的距离即 SKIPIF 1 < 0 上 SKIPIF 1 < 0 的长．（ SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ）
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 （km）．
【分析】（1）设点B的切线CB交ON延长线于点E，HD⊥BC于D，CH⊥BH交BC于点C，则∠DHC=67°，证出∠HBD=∠DHC=67°，由平行线的性质得出∠BEO=∠HBD=67°，由直角三角形的性质得出∠BOE=23°，得出∠POB=90°-23°=67°；
（2）同（1）可证∠POA=31°，求出∠AOB=∠POB-∠POA=36°，由弧长公式即可得出结果．
【详解】（1）设点 SKIPIF 1 < 0 的切线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 延长线于点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示：
则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ；
（2）同（1）可证 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （km）．
【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、弧长公式等知识；熟练掌握切线的性质和弧长公式是解题的关键．
30．如图， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的5等分点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，得到一个五角星图形和五边形 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）计算 SKIPIF 1 < 0 的度数；
（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）求证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1)36°;(2)见解析;(3)见解析.
【分析】（1）由题意可得∠COD=70°，由圆周角的定理可得∠CAD=36°；
（2）由圆周角的定理可得∠CAD=∠DAE=∠AEB=36°，可求∠AME=∠CAE=72°，可得AE=ME；
（3）通过证明△AEN∽△BEA，可得 SKIPIF 1 < 0 ，可得ME2=BE•NE，通过证明BM=NE，即可得结论．
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的5等分点，
∴ SKIPIF 1 < 0 的度数 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（2）连接 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的5等分点，
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
（3）连接 SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∵ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
∴ SKIPIF 1 < 0
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的性质和判定，证明△AEN∽△BEA是本题的关键．