中考数学二轮精品专题复习 专题21　双变量不含参不等式证明方法之换元法（原卷版)

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专题21　双变量不含参不等式证明方法之换元法【方法总结】双变量不等式的证明是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何消元，构造合适的一元函数．整体换元法：若两个变量存在确定的关系，可以利用其中一个变量替换另一个变量，直接消元，将两个变量转化为一个变量．若两个变量不存在确定的关系，有时可以将两个变量之间的关系看成一个整体（比如，，，)等策略将两个变量划归为一个变量整体换元，化为一元不等式．[例1]　已知函数f(x)＝ax2＋xlnx(a∈R)的图象在点(1，f(1))处的切线与直线x＋3y＝0垂直．(1)求实数a的值；(2)求证：当n＞m＞0时，lnn－lnm＞－．    [例2]　已知函数f(x)＝lnx－，g(x)＝xlnx－m(x2－1)(m∈R)．(1)若函数f(x)，g(x)在区间(0，1)上均单调且单调性相反，求实数m的取值范围；(2)若0＜a＜b，证明：＜＜．     [例3]　已知，其中图像在处的切线平行于轴．(1)确定与的关系；(2)设斜率为的直线与的图像交于，求证：．       [例4]　已知函数．(1)求的单调区间和极值；(2)设，且，证明：．    【对点训练】1．已知函数f(x)＝ln x－．(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)设m>n>0，求证：lnm－lnn>．   2．已知函数f(x)＝＋ln x在(1，＋∞)上是增函数，且a>0．(1)求a的取值范围；(2)若b>0，试证明<ln<．     3．设函数f(x)＝xln(ax)(a>0)．(1)设F(x)＝f(1)x2＋f′(x)，讨论函数F(x)的单调性；(2)过两点A(x1，f′(x1))，B(x2，f′(x2))(x1<x2)的直线的斜率为k，求证：<k<．     4．已知函数，．(1)讨论的单调性；(2)当，,为两个不相等的正数，证明：．     5．已知函数f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R．(1)当a＝0时，求函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；(2)若a＝－2，正实数x1，x2满足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，证明：x1＋x2≥．     6．已知函数f (x)＝λln x－e－x(λ∈R)．(1)若函数f (x)是单调函数，求λ的取值范围；(2)求证：当0<x1<x2时，．     7．已知函数f(x)＝lnx＋(a>0)．(1)若函数f(x)有零点，求实数a的取值范围；(2)证明：当a≥，b>1时，f(lnb)>．