中考数学二轮精品专题复习 专题34 单变量不等式能成立之最值分析法(原卷版)

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专题34　单变量不等式能成立之最值分析法【方法总结】单变量不等式能成立之最值分析法遇到f(x)≥g(x)型的不等式能成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x)或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)max≥0或u(x)min≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．注意　“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f(x)≥g(a)对于x∈D恒成立，应求f(x)的最小值；若存在x∈D，使得f(x)≥g(a)成立，应求f(x)的最大值．在具体问题中究竟是求最大值还是最小值，可以先联想“恒成立”是求最大值还是最小值，这样也就可以解决相应的“存在性”问题是求最大值还是最小值．注意与恒成立问题的区别．特别需要关注等号是否成立问题，以免细节出错．【例题选讲】[例1]　设函数f (x)＝2lnx－mx2＋1．(1)讨论函数f (x)的单调性；(2)当f (x)有极值时，若存在x0，使得f (x0)>m－1成立，求实数m的取值范围．    [例2]　设f(x)＝x－－alnx(a∈R)．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(，f())处的切线方程；(2)当a<1时，在内是否存在一实数x0，使f(x0)>e－1成立？   [例3]　已知f(x)＝xeax－x2－x＋1，a≠0．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若∃x0≥1，使f(x0)＜成立，求参数a的取值范围．    [例4]　已知函数f(x)＝－alnx－＋ax，a∈R．(1)当a<0时，讨论f(x)的单调性；(2)设g(x)＝f(x)＋xf′(x)，若关于x的不等式g(x)≤－ex＋＋(a－1)x在[1，2]上有解，求实数a的取值范围．     [例5]　已知函数f(x)＝x2－(a＋3)x＋3alnx，g(x)＝x2－(a＋4)x－＋4alnx．(1)当a＝2时，求函数f(x)的极值；(2)当a＞0时，若在[1，e](e为自然对数的底数)上存在一点x0，使得f(x0)＜g(x0)成立，求实数a的取值范围．    【对点精练】1．已知函数f(x)＝ax2＋lnx．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若∃x∈(0，＋∞)使f(x)>0成立，求a的取值范围．     2．已知函数f (x)＝x－alnx，g(x)＝－(a∈R)．若在[1，e]上存在一点x0，使得f(x0)<g(x0)成立，求a的取值范围．     3．已知函数f(x)＝x(lnx－1)，g(x)＝．(1)求证：当0<x<时，f(x)<x2－x；(2)若存在x0∈(0，m]，使f(x0)－g(m)≤0，求m的取值范围．     4．已知函数f(x)＝lnx－a(x＋1)，a∈R，在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求f(x)的单调区间；(2)若存在x0＞1，当x∈(1，x0)时，恒有f(x)－＋2x＋＞k(x－1)成立，求k的取值范围．    5．已知函数f(x)＝2x－＋klnx．(1)当k＝－3时，求f(x)的极值；(2)若存在x∈[1，e]，使得3x－f(x)<－成立，求实数k的取值范围．    6．已知f(x)＝x2＋ax－ln x＋e，g(x)＝x2＋e．(1)若a＝－1，判断是否存在x0＞0，使得f(x0)＜0，并说明理由；(2)设h(x)＝f(x)－g(x)，是否存在实数a，当x∈(0，e](e＝2.718 28…为自然常数)时，函数h(x)的最小值为3，并说明理由．