中考数学二轮精品专题复习 专题37 讨论函数零点或方程根的个数问题（原卷版)

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专题37　讨论函数零点或方程根的个数问题 【方法总结】判断、证明或讨论函数零点个数的方法利用零点存在性定理求解函数热点问题的前提条件为函数图象在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0．①直接法：判断一个零点时，若函数为单调函数，则只需取值证明f(a)·f(b)<0；②分类讨论法：判断几个零点时，需要先结合单调性，确定分类讨论的标准，再利用零点存在性定理，在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0．【例题选讲】[例1]　已知f (x)＝e－x(ax2＋x＋1)．当a>0时，试讨论方程f (x)＝1的解的个数．    [例2]　设函数f(x)＝－kln x，k>0．(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，]上仅有一个零点．     [例3]　已知函数f(x)＝(a，b∈R，a≠0)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)讨论方程f(x)＝1根的个数．    [例4]　已知函数f(x)＝ex，x∈R.(1)若直线y＝kx与f(x)的反函数的图象相切，求实数k的值；(2)若m<0，讨论函数g(x)＝f(x)＋mx2零点的个数．  [例5]　已知函数f(x)＝－x3＋ax－，g(x)＝ex－e(e为自然对数的底数)．(1)若曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线与曲线y＝g(x)在(0，g(0))处的切线互相垂直，求实数a的值；(2)设函数h(x)＝试讨论函数h(x)零点的个数．     [例6]　已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋2ln x(a∈R)．(1)若a＝0，求证：f(x)<0；(2)讨论函数f(x)零点的个数．   [对点训练]1．(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．     2．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝＋x，其中e是自然对数的底数，e＝2.718 28…．(1)证明：函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间(1，2)上有零点；(2)求方程f(x)＝g(x)的根的个数，并说明理由．      3．设函数f(x)＝ln x＋，m∈R．(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数．    4．已知函数f(x)＝ln x＋－，a∈R且a≠0.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x∈时，试判断函数g(x)＝(ln x－1)ex＋x－m的零点个数．    5．设函数f(x)＝ex－2a－ln(x＋a)，a∈R，e为自然对数的底数．(1)若a>0，且函数f(x)在区间[0，＋∞)内单调递增，求实数a的取值范围；(2)若0<a<，试判断函数f(x)的零点个数．   6．已知函数f (x)＝ln x－ax2(a∈R)．(1)若f (x)在点(2，f (2))处的切线与直线2x＋y＋2＝0垂直，求实数a的值；(2)求函数f (x)的单调区间；(3)讨论函数f (x)在区间[1，e2]上零点的个数．