安徽省阜阳市颍上第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题

颍上一中新高二开学考

数学试题

第Ⅰ卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.

1.设集合，，则（    ）

A. B. C. D.R

2.已知复数（i为虚数单位），则的共轭复数（    ）

A. B. C. D.

3.已知，则（    ）

A. B. C. D.

4.某人从一鱼池中捕得120条鱼，做了记号后再放回池中，经过一段时间后，再从该鱼池中捕得100，经过发现有记号的鱼有10条（假定该鱼池中鱼的数量既不减少也不增加）则池中大约有鱼（    ）

A.120 B.1000条 C.130条 D.1200条

5.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A. B. C. D.

6.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“定楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，，，且，，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（    ）

A. B. C.1s D.

7.若，，则（    ）

A. B. C. D.

8.已知函数是定义域为的偶函数为奇函数，当时，，若，则（    ）

A.2 B.0 C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.如图，在正六边形中，下列命题正确的是（    ）

A.   B.

C. D.

10.若函数在区间上的值域是，则称区间是函数的一个“等域区间”.下列函数存在“等域区间”的是（    ）

A. B. C. D.

11.如图，在棱长为1的正方体中，、、分别是、、的中点，则下列结论正确的是（    ）

A.、、、四点共面 B.平面截正方体所得截面为等腰梯形

C.三棱锥的体积为 D.异面直线与所成角的余弦值为

12.把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的，总有；（2）若，，则有成立.下列说法正确的是（    ）

A.若为“函数”，则

B.若为“函数”，则一定是增函数

C.函数在上是“函数”

D.函数在上是“函数”（表示不大于的最大整数）

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.如图，在中，，，，则的值为______.

14.下列叙述中正确的是______.（填写所有正确命题的序号）

①随机从某校高一600名男生中抽取60名学生调查身高，该调查中样本量是60

②数据2，3，3，5，9，9的中位数为3和5，众数为3和9

③数据9，10，11，11，16，20，22，23的75%分位数为21

④若将一组数据中的每个数都加上2，则平均数和方差都没有发生变化

15.在中，内角，，的对边分别为，，，且，.的外接圆半径为1，，若边上的一点满足，且，则的面积为______.

16.在棱长为2的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为______.

四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.如图，在平面四边形中，，，.

（1）若，求的面积；

（2）若，，求.

18.如图，已知平面，平面，为等边三角形，，为的中点，求证：

（1）平面.

（2）平面平面.

（3）求直线和平面所成的角的正弦值.

19.俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示

（1）求样本中数据落在的频率；

（2）求样本数据的第60百分位数；

（3）若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率.

20.已知，，设函数.

（1）求的单调递增区间；

（2）若，求的值域.

21.已知函数的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式；

（2）若对，使得关于的不等式恒成立，求实数的最大值.

22.已知函数的图象关于原点对称.

（1）求的值；

（2）判断的单调性；

（3）若，不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案：

13.；14.①③；15.；16.；

1.C

【分析】解不等式化简集合，求出函数的值域化简集合，再利用交集、补集的定义求解作答.

【详解】解不等式，得，即，因此，

当时，，则，因此，

所以，.故选：C.

2.A

【分析】利用复数的除法运算，化简复数，从而得到的共轭复数.

【详解】因为，所以.故选：A

3.A

【分析】观察题目中角的特征可知，将要求的角转化成已知角即，，再利用诱导公式求解即可.

【详解】由题意可知，将角进行整体代换并利用诱导公式得

；；

所以，

即.故选：A.

4.D

【分析】设池中有鱼约条，根据条件列出方程求解，即可得出结果.

【详解】设池中有鱼约条，则由题意可知，解得，故池中鱼约有1200条.故选：D.

【点睛】本题主要考查简单随机抽样，属于基础题型.

5.B

【分析】对命题，进行求解，可得，再通过充分条件和必要条件进行判断即可.

【详解】因为命题，是真命题，当时，，若恒成立，则，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，故选：B.

6.C

【分析】先根据周期求出，再解不等式，得到的范围即得解.

【详解】因为，，，所以，又，所以，

则，由可得，

所以，，

所以，，故，

所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为1s.故选：C.

7.C

【分析】根据和的单调性可以判断选项A与B，再根据的单调性可以判断选项C与D，即可得到答案.

【详解】因为，，令，则该函数在为增函数，∴，故A错误；

令，则该函数在为减函数，则，则有，故B错误；

令，则该函数为减函数，所以，则，故C正确；

由C可知，，又，所以，故D错误；故选：C.

8.C

【分析】根据条件，可以证明是周期为4的周期函数，计算出和，由周期性可得，再利用函数的对称性即可求解.

【详解】因为为奇函数，所以，又为偶函数，

所以，所以，即，

所以，故是以4为周期的周期函数；

由，易得，，所以，

所以，，解得，；

所以；故选：C.

9.ACD

【分析】本题考查平面向量的线性运算和数量积的运算，结合图形依次判断即可.

【详解】选项A：∵，∴A正确.

选项B：取的中点为，如上图所示，则，∴B错误.

选项C：在正六边形中，，，所以中，，

则；同理，，∵，∴C正确.

选项D：设六边形边长为1，则，，

原式化简为：，∴D正确.故选：ACD.

10.BC

【分析】根据“等域区间”的定义，由与直线至少有2个交点逐项判断.

【详解】对于A，且对称轴为，则，

函数在上单调递增；

对于D，，则，函数在上单调递增；

对于BC，函数在定义域内单调递增；由题意可知，当与直线至少有2个交点时，符合题意，

因为函数只有1个零点，所以与直线只有1个交点，A错误.

在同一坐标系中作出与直线的图象，

由图象可知，与直线有2个交点，B正确.

在同一坐标系中作出与直线的图象

由图象可知，单调递增且与直线有2个交点，C正确.

在单位圆中，由三角函数的定义可得当且仅当时，，当在同一坐标系中作出与直线的图象

由图象可知：与直线只有1个交点，D错误.故选：BC.

11.BCD

【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD选项，利用锥体的体积公式可判定C选项，综合可得出合适的选项.

【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、、、.

对于A选项，，，.

设，即，

所以，，该方程组无解，所以，、、、四点不共面，A错；

对于B选项，，，所以，，则，

又因为，同理可得，即，

所以，平面截正方体所得截面为等腰梯形，B对；

对于C选项：，，C对；

对于D选项，，，

所以，，

因此，异面直线与所成角的余弦值为，D对.故选：BCD.

12.AD

【分析】对于A，由条件（1）得.由条件（2），得，所以，故A说法正确；对于B和C，举反例说明其说法错误；对于D，说明函数符合条件（1）（2），故D说法正确.

【详解】对于A，若函数为“函数”，则由条件（1）得.由条件（2）得当时，，所以，故A说法正确；

对于B，若，，则满足条件（1）（2），但不是增函数，故B说法错误；

对于C，当，时，，，，，不满足条件（2），所以不是“函数”，故C说法错误；

对于D，在上的最小值是0，显然符合条件（1）.设上的每一个数均由整数部分和小数部分构成，设的整数部分是，小数部分是，即则.设的整数部分是，小数部分是，即，则.当时，；当时，；所以，所以函数满足条件（2），所以在上是“函数”，故D说法正确.故选：AD.

13.

【详解】试题分析：

考点：向量数量积

14.①③

【分析】根据样本容量的定义即可判断①选项；根据中位数和众数的定义即可判断②选项；根据百分位数的计算方法即可判断③选项；根据平均数和方差的计算公式即可判断④选项.

【详解】因为样本中包含的个体数称为样本量，所以①正确；因为数据2，3，3，5，9，9的中位数为，所以②错误，由于.所以该组数据的75%分位数是第6项与第7项数据的平均数，即为21，故③正确；若将一组数据中的每个数都加上2，则易知平均数增加2，方差是不变化的，故④错误.

故答案为：①③.

15./

【分析】先利用正弦定理求得，再次利用正弦定理得到，从而得到，进而利用余弦定理即可求得，由此利用三角形面积公式即可得解.

【详解】根据题意，得到图形如下，

因为的外接圆半径，，

所以由正弦定理得，可得，

因为边上的一点满足，且，

所以，则，，

，，

所以由正弦定理可得，，故，

又，所以，

所以由余弦定理，可得，故，即，

所以.故答案为：.

16.

【解析】作出图形，设，利用基本不等式可求得的最大值，可求得的最小值，利用正弦定理求得外接圆直径的最小值，可求得该三棱锥外接球直径的最小值，由此可求得结果.

【详解】如下图所示，设圆柱的底面半径为，母线长为，圆柱的外接球半径为，

取圆柱的轴截面，则该圆柱的轴截面矩形的对角线的中点到圆柱底面圆上每个点的距离都等于，则为圆柱的外接球球心，由勾股定理可得.

本题中，∵平面，设的外接圆为圆，可将三棱锥内接于圆柱，如下图所示：

设的外接圆直径为，，该三棱锥的外接球直径为，则.

如下图所示：

设，则，，，

，当且仅当时，取得最大值，

由，可得，，

所以，的最大值为，由正弦定理得，即的最小值为3，

因此，，

所以，三棱锥外接球的表面积为.

故三棱锥外接球的表面积的最小值为.故答案为：.

【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：

①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；

②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；

③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.

17.（1）；（2）.

【分析】（1）利用余弦定理求出，再求出的面积；

（2）设，在中，由正弦定理得①，在中，由正弦定理得②，①②两式相除，即得解.

【详解】（1）在中，由余弦定理得，，即，解得，

所以的面积.

（2）设，在中，由正弦定理得，即，①

在中，，，

由正弦定理得，即，②

①②两式相除，得，

即，整理得.

又因为，所以，即.

【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

18.

19.（1）0.4（2）55（3）

【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积和为1计算求解即可；

（2）根据频率分布直方图和第60百分位数定义计算即可；

（3）利用分层抽样的概念和古典概型计算公式计算即可.

【详解】（1）由频率分布直方图可知，样本中数据落在的频率为

（2）样本数据的第60百分位数落在第四组，且第60百分位数为

（3）与两组的频率之比为，现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为，，组抽取4人，记为1，2，3，4.

所有可能的情况为，，，，，，，，，，，，，，，共15种.

其中至少有1人的年龄在的情况有，，，，，，，，，共9种，故所求概率.

20.参考答案：

1.（1）（2）.

【分析】（1）结合图像，由最大最小值可得，由可得，由函数图像经过点可求，从而可得答案.

（2）原不等式等价于，使得成立，令，利用函数单调性求解最小值即可得答案.

【详解】（1）由所给函数图像可知，，，即，所以，

又图像过点，所以，，解得，，

因为，所以当时，，故.

（2）若对于，关于的不等式恒成立，

即对于，关于的不等式恒成立，

即对于，恒成立.当时，，

令时，为减函数，

所以当时，取得最小值为，即的最小值为，

故实数，所以的最大值为.

21.（1），（2）

【分析】（1）化简得到，解不等式，得到答案.

（2），则，故，得到值域.

【详解】（1）.取，，解得，.

故函数的单调递增区间为，.

（2），则，故，.

22.（1）；（2）在R上单调递增；（3）

【分析】（1）易知为奇函数，可得，代入解析式，可求出的值；

（2）先判断在上的单调性，再结合是定义在R的奇函数，可推出在定义域上单调递增；

（3）根据的奇偶性，可得在上恒成立，再结合函数的单调性，可知在上恒成立，进而令，可得，从而不等式可转化为在上恒成立，进而分离参数可得，求出的最大值，即可求出的取值范围.

【详解】（1）因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，即，解得.

（2）易知的定义域为R，令，

因为函数及都在上单调递增，所以在上单调递增，

根据复合函数的性质，可知在上单调递增，

又因为是定义在R的奇函数，所以在R上单调递增.

（3）由题意，在上恒成立，

等价于在上恒成立，

则在]上恒成立.

令，显然是增函数，则.

，所以在上恒成立.

则，令，则，

当且仅当，即时，等号成立.

所以所以，即，故的取值范围为.

【点睛】方法点睛：已知不等式恒成立求参数值（取值范围）问题常见的方法：

（1）函数法：讨论参数范围，借助函数的单调性求解；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.