福建省泉州科技中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题【试卷+答案】

这是一份福建省泉州科技中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题【试卷+答案】，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
泉州科技中学2021—2022学年度上学期期中考高二年级  数学试卷 注意事项：①本试卷分第I卷、第II卷两部分，共150分，考试时间120分钟．②选择题、填空题答案表在答题卡中，请按要求作答．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把正确答案的字母填涂答题卡的答题表中．）在空间四边形中，等于A.  B.  C.  D. 直线与为两条不重合的直线，则下列命题中正确命题的个数是
若，则斜率；        若斜率，则；
若倾斜角，则；    若，则倾斜角．A.  B.  C.  D. 设直线与直线的交点为，则到直线的距离最大值为      A.  B.  C.  D. 设，是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的最大值为       A.  B.  C.  D. 如图，在大小为的二面角中，四边形，四边形都是边长为的正方形，则，两点间的距离是A.  B.  C.  D. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线：与椭圆交于，两点，若，则的面积是    A.  B.  C.  D. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点       A.  B.  C.  D. 已知，是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于，的动点，设直线，的斜率分别为，若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是       A.  B.    C.  D. 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的的0分，部分选对的得2分）若方程表示以为圆心，为半径的圆，则下列结论正确的是      A.                                B. 圆关于直线对称
C. 圆与轴相切                         D. 的最大值为．已知直线，，以下结论正确的是       A. 不论为何值时，与都互相垂直；
B. 当变化时，与分别经过定点和
C. 如果与交于点，则的最大值是
D. 不论为何值时，与都关于直线对称设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于、两点，则      A. 为定值                     B. 的周长的取值范围是
C. 当时，为直角三角形         D. 当时，的面积为    在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，在线段上，则下面说法中正确的有      A. 平面
B. 若是上的中点，则
C. 直线与平面所成角的正弦值为
D. 直线与直线所成角最小时，线段长为第Ⅱ卷（非选择题 共90分）三、填空题：（本大题共4小题，共20分）经过点，且以为一个方向向量的直线的方程为          ．已知则          ．已知点，分别为双曲线的左、右焦点，过的直线交双曲线于，点在点的上方两点，且，，则该双曲线的离心率为__________．平面直角坐标系中，已知是圆：的一条弦，且，是的中点．当弦在圆上运动时，直线：上总存在，两点，使得恒成立，则线段长度的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（本小题满分10分）已知平面内两点．（Ⅰ）求线段的垂直平分线方程；（Ⅱ）直线过点，且两点到直线的距离相等，求直线的方程．


 （本小题满分12分）如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为的等边三角形，四边形是矩形，，为的中点．
（Ⅰ）求二面角的大小（Ⅱ）求点到平面的距离．



 （本小题满分12分）已知双曲线以、为焦点，且过点（Ⅰ）求双曲线与其渐近线的方程；（Ⅱ）若斜率为的直线与双曲线相交于，两点，且为坐标原点，求直线的方程．


 （本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知点和直线：，设圆的半径为，圆心在上．
（Ⅰ）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，试求圆的方程和切线的方程；
（Ⅱ）若圆心上存在点使为原点，求圆心的横坐标的取值范围．
 
 （本小题满分12分）如图，已知矩形中，，为的中点，沿将三角形折起，使．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．




 （本小题满分12分）已知在平面直角坐标系中，动点满足到定点和直线的距离之比为．（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；（Ⅱ）若与原点距离为的直线：与曲线相交于，两点，直线与直线平行，且与曲线相切于点位于直线的两侧，记，的面积分别为，，求的取值范围．






答案和解析CCDA  DBBA   ABD   AC    ACD   AD13.   14.   15.或     16. 1.【答案】
解：根据向量的加法、减法法则，得
．
故选C． 【答案】
解：因为两条直线的倾斜角为时，斜率不存在，所以错误；
因为两直线的斜率相等即斜率，得到倾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，所以正确；
若倾斜角，则 ，所以正确；
若，则倾斜角，所以正确．故选C．3.【答案】
解：由得，即，
又，即过定点
到直线的距离最大值为，故选D．4.【答案】
解：由椭圆的定义，知，，所以的周长为，所以当最小时，最大．
又当时，最小，此时，所以的最大值为．故选：．5.【答案】
解：由题以为空间一组基底向量，因为四边形，四边形都是边长为的正方形且二面角的大小为，
所以：，
又，

．
故选D．6.【答案】解：由题意可得，，则，．
因为，所以，，
所以为等腰三角形，其面积是，
由对称性可知的面积等于的面积，
所以的面积是，故选B．7.【答案】
解：因为点是直线，即上的一动点，
所以设．
因为是圆的两条切线，切点分别为，
所以，
所以点在以为直径的圆上，
即弦是圆和圆的公共弦．
因为圆心的坐标是，且半径，
所以圆的方程为，
又，
所以，得，即公共弦所在的直线方程为，
所以由得
所以直线过定点．故选B．8.【答案】解：因为直线与双曲线：没有公共点，
而双曲线的离心率取得最大值，故，即，
则双曲线方程为，
设，，，
则两式相减得：，即，
又，．故选A．9.【答案】
解：由题意可得，圆的标准方程为，圆心为，半径为，
即，故F，A正确；
由于直线经过圆心，故圆关于直线对称，B正确；
圆与轴的距离为，小于半径，故圆与轴相交，故C错误；
代表圆上的点与的距离，
故的最大值为，D正确．
故选ABD．  10.【答案】解：因为直线，，
所以 ，
则不论 为何值时， 与 都互相垂直，故 A正确；
因为直线： ，当 变化时，直线 过定点 ；
直线 ： ，当变化时，直线 过定点 ，故 B错误；
根据题意得，解得，
所以，
当 时， 的最大值为 ，故C正确．在 上任取点 ，可知点 关于直线 对称的点的坐标为 ，可知：点 不在 ： 上，故D不正确；
故选AC．  11.【答案】
解：设椭圆的左焦点为，则，所以为定值，A正确；
的周长为，因为为定值，易知的范围是，
所以的周长的范围是，B错误；
将与椭圆方程联立，可解得，，又易知，
所以，所以为直角三角形，C正确；
将与椭圆方程联立，解得，，所以，D正确，
故选ACD．  12.【答案】解：直三棱柱中，，
以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图，
，，分别是，的中点，在线段上，
，，，，，，
对于，为平面的法向量，，
则，又不在平面内，
平面，故A正确；
对于，当是上的中点时，，，，
则，
与不垂直，故B错误；
对于，为平面的法向量，，
设直线与平面所成角为，
则，故C错误；
对于，设，
则，，
设直线与直线所成角为，
则
，
当即时，
取最大值，此时直线与直线所成角最小，
，，故D正确．
故选AD．  13.【答案】解：由直线的方向向量为，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，
化为一般方程是．
故答案为：．14.【答案】解：因为，且，
所以，
解得，
所以，
故，
所以，
故答案为．15.【答案】或
解：设，则，当，均在双曲线的右支上时，
由双曲线的定义可知
，所以，所以，
所以，所以，在中，
由勾股定理可得，所以．
当点在双曲线的左支上时，由双曲线的定义可知，，所以，
所以，
所以，所以，在中，由勾股定理可得
，所以．
故答案为或．  16.【答案】
解：因为圆：
所以圆心，
因为为的中点，
所以，
因为，
所以为等腰直角三角形，
所以，
即点在以为圆心，为半径的圆上，
点所在圆的方程为，
要使得恒成立，则点所在的圆在以为直径的圆的内部，
而，在直线：上，
点到直线：距离，
所以以为直径的圆的半径的最小值为，
所以的最小值为，
则线段长度的取值范围是，
故答案为：  17.【答案】解：因为的中点坐标为，
的垂直平分线斜率为，
所以由点斜式，
得的中垂线方程为
当时，由点斜式
得
当过中点时，由两点式得
所以，直线的方程为或
18.【答案】证明：以点为原点，分别以直线，为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为平面平面，且是边长为的等边三角形，
所以过做的垂线，则平面，且为中点，所以，
可得，，，，解：设为平面的法向量，则，即，取，得，取，显然为平面的一个法向量，，，
二面角的平面角为锐角，二面角的大小为．解：设点到平面的距离为，
由可知为平面的一个法向量，
，
即点到平面的距离为．19.【答案】解：设双曲线的方程为，半焦距为，
则，，
即，所以，
故双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为；
设直线的方程为，
将其代入方程，可得，
，
设，，
则，是方程的两个根，
所以，，
又由，可知，
即，
可得，
故，
解得，
所以直线的方程为或．20.【答案】解：联立得：，
解得：，
圆心．圆的方程为
若不存在，不合题意；
若存在，设切线为：，可得圆心到切线的距离，即，
解得：或，
则所求切线为或；
设点，由，知：，
化简得：，
点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，可记为圆，
又点在圆上，，
圆与圆的关系为相交或相切，
，其中，
，
解得：．21.【答案】Ⅰ证明：在矩形中，，为中点，
，为等腰直角三角形，
，即．
取中点，连接，，则，
在中，，
在中，，又，
，．
又，，
且，平面，
面，
而平面，
平面平面．
Ⅱ解：分别以直线，为轴和轴，为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
．
设平面的一个法向量为，
由得
即，，令，则，
取．
设为直线与平面所成的角，
则．
即直线与平面所成角的正弦值为．22.【答案】解：设的坐标为，
由题知，
整理得：，
即动点的轨迹的方程为；
由题知，原点与直线的距离为，
故，即，
设直线，
联立，可得，
又直线与椭圆相切，
所以，整理得：，
又与之间的距离，
则，
又，
由，
故，
因为，值于直线异侧，
故，同号，
则，
故．
即的取值范围为．