浙江省宁波市余姚市2022-2023学年高一下学期期末数学试题

这是一份浙江省宁波市余姚市2022-2023学年高一下学期期末数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省宁波市余姚市2022-2023学年高一下学期期末数学试题
一、单选题
1．若复数z=a2−4+(a−2)i为纯虚数，则实数a的值为（　　）
A．2 B．2或-2 C．-2 D．-4
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b2+c2−a2=bc，若sin2A+sin2B=sin2C，则角B的大小为（　　）
A．30∘ B．45∘ C．60∘ D．90∘
3．已知正三角形边长为2，用斜二测画法画出该三角形的直观图，则所得直观图的面积为（　　）
A．24 B．64 C．22 D．26
4．已知平面向量a，b满足(3a−2b)⊥(5a+b)，且a⋅b=17，若|a|=1，则|b|=（　　）
A．92 B．152 C．7 D．2
5．下列命题正确的是（　　）
①平行于同一条直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③平行于同一个平面的两条直线平行；④平行于同一个平面的两个平面平行
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
6．某图书馆统计了某个月前8天纸质图书的借阅情况，整理数据得到如下折线图．根据折线图，下列结论正确的是（　　）

A．这8天里，每天图书借出数的极差大于50
B．这8天里，每天图书借出数的平均数大于105
C．这8天里，每天图书借出数的中位数大于101
D．前4天图书借出数的方差小于后4天图书借出数的方差
7．在正四棱锥S−ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为6的等腰三角形，则正四棱锥S−ABCD的外接球的体积为（　　）
A．27π2 B．9π C．9π2 D．18π
8．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1．若点E为边CD上的动点（不与C、D重合），则EA⋅EB的最小值为（　　）

A．1312 B．2116 C．3 D．1
二、多选题
9．甲乙两台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床的正品率是0.8，乙机床的正品率为0.9，分别从它们制造的产品中任意抽取一件，则（　　）
A．两件都是次品的概率为0.02
B．事件“至多有一件正品”与事件“至少有一件正品”是互斥事件
C．恰有一件正品的概率为0.26
D．事件“两件都是次品”与事件“至少有一件正品”是对立事件
10．已知复数z满足(2+i)z=1+3i，则（　　）
A．|z|=2
B．z满足方程z2−2z+2=0
C．z4=4
D．zz在复平面内对应的点位于第二象限
11．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（　　）
A．若a2+c2−b2>0，则△ABC为锐角三角形
B．若A>B，则sinA>sinB
C．若b=3，a=4，B=π6，则此三角形有2解
D．若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形
12．已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点M为侧棱CC1上的动点（包括端点），AM⊥平面α．下列说法正确的有（　　）
A．异面直线AM与B1C可能垂直
B．直线BC与平面α可能垂直
C．AB与平面α所成角的正弦值的范围为[33，22]
D．若M∈α且CM=MC1，则平面α截正四棱柱所得截面多边形的周长为32
三、填空题
13．已知向量a=(3，−1)，b=(2，k)，且a与b共线，则a⋅b=　 　．
14．在△ABC中，AB=25，AC=5，∠BAC=90°，则△ABC绕BC所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为　 　.
15．如图所示，摩天轮的直径为110m，最高点距离地面的高度为120m，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每30min转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动5min后距离地面的高度为　 　m．

16．△ABC中，AB=1，AC=4，∠A=60°，AD是BC边上的中线，E，F分别为线段AB，AC上的动点，EF交AD于点G.若△AEF面积为△ABC面积的一半，则AG⋅EF的最小值为　 　

四、解答题
17．为了纪念2017年在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14．若各家庭回答是否正确互不影响．
（1）求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
（2）求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．
18．如图，已知等腰△ABC中，AB=AC=3，BC=4，点P是边BC上的动点.

（1）若点P是线段BC上靠近B的三等分点，试用向量AB，AC表示向量AP；
（2）求AP⋅(AB+AC)的值.
19．如图①，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为AB，BC，BB1，的中点．

（1）求证：平面EFG⊥平面BB1D1D；
（2）将该正方体截去八个与四面体B-EFG相同的四面体得到一个多面体(如图②)，若该多面体的体积是1603，求该正方体的棱长．
20．某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量为n）进行统计，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]的分组作出频率分布直方图，已知得分在[50，60)，[90，100]的频数分别为8，2．

（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x，y的值；
（2）估计本次竞赛学生成绩的中位数；
（3）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生，求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90，100]内的概率．
21．如图，在平面四边形ABCD中，AC=4，BC⊥CD．

（1）若AB=2，BC=3，CD=15，求△ACD的面积；
（2）若∠B=2π3，∠D=π6，求(36+12)AD−BC的最大值．
22．已知一圆形纸片的圆心为O，直径AB=2，圆周上有C、D两点.如图，OC⊥AB，∠AOD=π6，点P是BD上的动点.沿AB将纸片折为直二面角，并连结PO，PD，PC，CD.

（1）当AB//平面PCD时，求PD的长；
（2）当三棱锥P−COD的体积最大时，求二面角O−PD−C的余弦值.

答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质
【解析】【解答】复数z=a2-4+(a-2)i为纯虚数，则
a2−4=0a−2≠0，解得a=-2.
故选：C.
【分析】本题考试纯虚数的定义，根据纯虚数的定义，得到方程组a2−4=0a−2≠0，求解即可.
2．【答案】A
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】解：∵b2+c2-a2=bc，
∴由余弦定理可得cosA=12，
∴A=60°.
又∵sin2A+sin2B=sin2C，
∴由正弦定理可得：a2+b2=c2.
∴cosC=0，∴C=90°，∴B=30°.
故选：A.
【分析】本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，根据已知条件，出现较多边的平方项，自然选择余弦定理，第一个式子解出∠A的值，第二个式子运用正余弦定理可求出∠C，即可求解∠B.
3．【答案】B
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】因为三角形在其直观图中对应一个边长为2正三角形，
所以直观图的面积是12×2×2×sin60°=3，
由斜二测画法中直观图和原图的面积的关系为S直观图S原图=24，
所以直观图的面积为24×34×22=64，
故答案为：C.
【分析】本题主要考查斜二测画法，根据斜二测画法可知，该三角形直观图的高为64，从而可求出直观图的面积.
4．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】根据题意，3a→−2b→·5a→+b→=0，即15a2-7a·b-2b2=0，
又a·b=17，且a=1，故15−1−2b2=0，即2b2=14，解得b=7，
故选：C.
【分析】本题主要考查平面向量的数量积，根据题意得出方程15a2-7a·b-2b2=0，即可求解.
5．【答案】C
【知识点】两条直线平行的判定；平行公理；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】①由平行公理可得，平行于同一条直线的两条直线平行，故①正确；
②平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故②错误；
③平行于同一个平面的两条直线有三种位置关系，即平行、相交或异面，故③错误；
④由平面与平面平行的判定可得，平行于同一个平面的两个平面平行，故④正确.
∴正确的命题是①④.
故选：C.
【分析】由平行公理判断①；由平行于同一直线的两平面的位置关系判断②；由平行于同一平面的两直线的位置关系判断③；由面面平行的判定判断④.
6．【答案】C
【知识点】频率分布折线图、密度曲线；极差、方差与标准差
【解析】【解答】A、每天图书借出数的极差为130一80=50，A错误；
B、每天图书借出数的平均数86+108+80+130+103+97+101+1218=4134101，C正确；
D、前4天平均数86+108+80+1304=101，则方差为之14i=14(xi−101)2=389，
后4天平均数103+97+101+1214=105.5，则方差为14i=58(xi−105.5)2=84.75，
所以前4天图书借出数的方差大于后4天图书借出数的方差，D错误.
故选：C.
【分析】利用折线图求出极差、平均数，中位数判断A、B、C；应用方差的求法分别求出前4天、后4天图书借出数方差判断D.
7．【答案】C
【知识点】球内接多面体
【解析】【解答】解：设外接球的球心为O，半径为R，底面中心为E，连接SE，BO，BE，

因为在正四棱锥S-ABCD中，底面是边长为2的正方形，侧面是腰长为6的等腰三角形，
所以BE=2，SE=SB2−BE2=2，
在Rt△ABC中，R2=0E2+BE2，即R2=(2−R)2+(2)2，
解得R=32，所以外接球的体积为V=43πR3=92π.
故选：C.
【分析】本题主要考查如何求解外接球的体积，根据题目中的信息画出正四棱锥的图形，找出外接球的球心O以及底面中心点E，连接SE，BO，BE，根据勾股定理求出BE的长，在Rt△ABC中，由R2=OE2+BE2求解R，再有外接球的体积公式V=43πR3求解即可.
8．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】由于AB⊥BC，AD⊥CD，
如图，以D为坐标原点，以DA，DC为x，y轴建立直角坐标系，连接，由于AB=AD=1，则△ADC≅△ABC，

而∠BAD=120°，故∠CAD=∠CAB=60°，则∠BAx=60°，
则D(0，0)，A(1，0)，B(32，32)，C(0，3)，
设E(0，y)，0≤y≤3，则EA→=(1，−y)，EB→=32，32−y，
故c
当y=34时，EA→·EB→=2116.
故选：B.
【分析】 本题考查平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，首先通过题意建立平面直角坐标系，因为 AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=120°，AB=AD=1，从而得出D(0，0)，A(1，0)，B(32，32)，C(0，3)，根据数量积的坐标表示，结合二次函数即可求得 EA⋅EB的最小值 .
9．【答案】A,C,D
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】对于A，若取出的两件都是次品，其概率为：P=(1-0.8)×(1-0.9)=0.2×0.1=0.02，故A正确；
对于B，事件"至多有一件正品"包含有两件次品、一件正品和一件次品，"至少有一件正品"包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以两个事件不是互斥事件，故B错误；
对于C，恰有一件正品，其概率为：P=0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.08+1=0.26，故C正确；
对于D，"至少有一件正品"包含有两件正品、一件正品和一件次品，所以事件"两件都是次品"与事件"至少有一件正品"是对立事件，故D正确.
故选：ACD.
【分析】本题考查互斥时间与相互独立事件的运用，由互斥事件的定义： 事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件 ；对立事件的定义： 若A交B为不可能事件，A并B为必然事件，那么称A事件与事件B互为对立事件，可判断B项、D项，再运用概率的加法公式及相互独立事件的概率公式计算可判断A项、C项.
10．【答案】A,B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】因为(2+i)z=1+3i，
所以z=1+3i2+i=1+3i2−i2+i2−i=2−i+6i−3i24−i2=5+5i5=1+i，
对于A项，∣z∣=12+12=2，故A正确；
对于B项，z=1+i代入z2−2z+2得：1+i2−21+i+2=1+i2+2i−2−2i+2=0，故B正确；
对于C项，z4=1+i4=1+i22=2i2=4i2=−4，故C错误；
对于D项，zz=1−i1+i=1−i2=2，所以zz在复平面内对应的点为（2，0），故D错误.
故选：AB.
【分析】本题考查复数的运算以及复数的模，通过对 (2+i)z=1+3i 的运算化简可得z=1+i，运用复数模公式可以判断A，通过复数运算判断B、C，通过复数几何意义可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】对于A项，因为a2+c2-b2＞0，所以cosB=a2+c2−b22ac>0，
所以B为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故A错误；
对于B项，因为A>B⇒a>b，所以由正弦定理可知，sinA>sinB，故B正确；
对于C项，如图所示，

因为asin B