专题1.7 基本不等式-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

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专题1.7 基本不等式【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】【考点2：由基本不等式证明不等式】【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】【考点4：利用基本不等式解决实际问题】【考点1：由基本不等式求最值或取值范围】【知识点：基本不等式】一．基本不等式：≤（1）基本不等式成立的条件：a>0，b>0.（2）等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．二．几个重要的不等式：（1），，当且仅当a＝b时取等号；（2），>0，当且仅当a＝b时取等号；（3），，当且仅当a＝b时取等号；（4），，当且仅当a＝b时取等号；三. 利用基本不等式求最值问题：已知x>0，y>0，则：（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2.（简记：积定和最小）（2）如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是.（简记：和定积最大）1．（2022春•甘孜州期末）​的最小值为（　　）A．2 B．3 C．4 D．52．（2022春•青铜峡市校级期末）已知正数x，y满足x+y＝4，则xy的最大值（　　）A．2 B．4 C．6 D．83．（2022秋•渝中区校级月考）已知正实数a，b满足，则a+2b的最小值为（　　）A．6 B．8 C．10 D．124．（2022春•尖山区校级期末）已知x＞0，y＞0，且2x+y＝xy，则x+2y的最小值为（　　）A．8 B． C．9 D．5．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足a+b＝4，则的最小值为（　　）A． B．4 C． D．6．（2022春•内江期末）已知正实数a、b满足，若的最小值为4，则实数m的取值范围是（　　）A．{2} B．[2，+∞） C．（0，2] D．（0，+∞）7．（2022春•温州期末）若正数a，b满足a+b＝ab，则a+2b的最小值为（　　）A．6 B． C． D．8．（2022春•朝阳区校级期末）已知，求的最小值 　　．9．（2022春•丽江期末）若正数a，b满足a+2b＝ab，则2a+b的最小值为 　　．10．（2022春•台州期末）已知非负实数x，y满足，则x+y的最小值为 　　．11．（2022春•石家庄期末）已知ab＞0，a+b＝1，则的最小值为 　　．12．（2022春•长春期末）已知a，b都是非零实数，若a2+4b2＝3，则的最小值为 　　．13．（2022春•岚山区校级月考）已知，且2x+y＝7，则的最小值为 　　．14．（2022•烟台三模）当x＞0时，的最大值为 　　．15．（2022春•西青区校级月考）已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则的最小值为 　　．16．（2022春•温州期中）已知a＞b＞0，当取到最小值时，则a＝　　．17．（2022•南京模拟）（1）已知x＞3，求的最小值；（2）已知x，y是正实数，且x+y＝1，求的最小值．     18．（2021秋•新泰市校级期末）已知实数a＞0，b＞0，a+2b＝2．（1）求的最小值；（2）求a2+4b2+5ab的最大值．      【方法技巧1】通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：（1）拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；（2）代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；（3）拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．　　【方法技巧2】通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．通过此种方法利用基本不等式求最值的基本步骤为：（1）根据已知条件或其变形确定定值(常数)；（2）把确定的定值(常数)变形为1；（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；（4）利用基本不等式求解最值．　　 【考点2：由基本不等式证明不等式】1．（2022春•郫都区校级期末）若实数x、y满足x2+y2＝1+xy，则下列结论中，正确的是（　　）A．x+y≤1 B．x+y≥2 C．x2+y2≥1 D．x2+y2≤22．（2022春•尖山区校级月考）若a＞0，b＞0，a+b＝2，则（　　）A．ab≥1 B． C．a2+b2≥2 D．3．（2022春•肥东县月考）对于不等式①，②（x≠0），③，下列说法正确的是（　　）A．①③正确，②错误 B．②③正确，①错误 C．①②错误，③正确 D．①③错误，②正确 【考点3：利用基本不等式解决存在性或恒成立问题】1．（2021秋•武清区校级月考）设x＞0，y＞0，设，若3x+2y＞m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）A．{x|x≤﹣6或x≥4} B．{x|x≤﹣4或x≥6} C．{x|﹣6＜x＜4} D．{x|﹣4＜x＜6}2．（2021秋•兰山区校级期中）已知a＞0，b＞0，a+2b＝ab，若不等式2a+b≥2m2﹣9恒成立，则m的最大值为（　　）A．1 B．2 C．3 D．73．（2021秋•新兴县校级月考）已知m＞0，xy＞0，当x+y＝2时，不等式2恒成立，则m的取值范围是（　　）A．m＜2 B．m≥1 C．0＜m≤1 D．1＜m≤24．（2022春•合肥期末）若两个正实数x，y满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 　　．5．（2021秋•河南月考）已知x、y为两个正实数，且不等式恒成立，则实数a的取值范围是 　　．6．（2021秋•黑龙江期末）已知x＞0，y＞0且，求使不等式x+y≥m恒成立的实数m的取值范围．  7．（2020秋•安庆期末）已知正实数x，y满足4x+4y＝1．（1）求xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数a的取值范围．   8．（2021秋•玄武区校级月考）已知正数x，y满足2x+y﹣xy＝0．（1）求2x+y的最小值；（2）若恒成立，求实数m的取值范围．     9．（2021秋•华龙区校级期中）已知x＞0，y＞0，且x+y＝2．（1）求的最小值；（2）若4x+1﹣mxy≥0恒成立，求m的最大值．      【考点4：利用基本不等式解决实际问题】【知识点：利用基本不等式解决实际问题】(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解；(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.1．（2022春•浦东新区校级月考）某工厂的产值第二年比第一年的增长率是P1，第三年比第二年的增长率是P2，而这两年的平均增长率为P，在P1+P2为定值的情况下，P的最大值为 　　（用P1、P1表示）．2．（2021秋•阳春市校级月考）用一段长为32m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？  3．（2021秋•信阳校级期末）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．（Ⅰ）若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？（Ⅱ）若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．