专题1.9 预备知识（基础巩固卷）-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

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专题1.9 预备知识（基础巩固卷）考试时间：120分钟；满分：150分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！一．    选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（2022·重庆市育才中学高一阶段练习）若集合，则的子集个数为（    ）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.【详解】解： ，则的子集个数为个，故选：D.2．（2022·河南南阳·高一阶段练习）不等式的解集为（    ）A．或 B．C．或 D．【答案】A【分析】根据二次不等式的解法求解即可.【详解】可化为，即，即或．所以不等式的解集为或.故选：A3．（2022·上海·高一单元测试）若集合中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（    ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】D【分析】根据集合元素的互异性即可判断.【详解】由题可知，集合中的元素是的三边长，则，所以一定不是等腰三角形．故选：D．4．（2020·全国·高考真题（理））设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（    ）A．–4 B．–2 C．2 D．4【答案】B【分析】由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.【详解】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．（2022·广东·东莞实验中学高一阶段练习）已知集合，集合，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】通过对集合的化简即可判定出集合关系，得到结果.【详解】因为集合，集合，因为时，成立，所以.故选：C.6．（2022·江苏省如皋中学高一阶段练习）2022年3月21日，东方航空公司MU5735航班在广西梧州市上空失联并坠毁．专家指出：飞机坠毁原因需要找到飞机自带的两部飞行记录器（黑匣子），如果两部黑匣子都被找到，那么就能形成一个初步的事故原因认定.3月23日16时30分左右，广西武警官兵找到一个黑匣子，虽其外表遭破坏，但内部存储设备完整，研究判定为驾驶员座舱录音器．则“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的（    ）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，根据充分与必要条件的定义即可判断出结果．【详解】因为两部黑匣子都被找到，就能形成一个初步的事故原因认定，则“找到驾驶员座舱录音器”不能形成“初步事故原因认定”；而形成“初步事故原因认定”则表示已经“找到驾驶员座舱录音器”，故“找到驾驶员座舱录音器”是“初步事故原因认定”的必要不充分条件，故选：C．7．（2022·湖北·麻城市博达学校高一阶段练习）某班共有学生名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班人不会打乒乓球，人不会打篮球，人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设只会打乒乓球、篮球、排球的学生有人，同时会打乒乓球和篮球、排球和篮球、乒乓球和排球的学生分别为，根据题目条件列出等式，解之可得结论．【详解】设只会打乒乓球、篮球、排球的学生有人，同时会打乒乓球和篮球、排球和篮球、乒乓球和排球的学生分别为，由题意知：，，，，第一个式子乘减去后面三个式子得：，即该班会其中两项运动的学生人数是人．故选：D.8．（2022·全国·高一课时练习）设实数满足，函数的最小值为（    ）A． B． C． D．6【答案】A【解析】将函数变形为，再根据基本不等式求解即可得答案.【详解】解：由题意，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为.故选：A．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 二．    多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（2022·辽宁·沈阳市第九中学高一开学考试）设，则（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据题意先用列举法表示出集合B，然后直接判断即可.【详解】依题意集合B的元素为集合A的子集，所以所以，，所以AD错误，BC正确.故选：BC10．（2022·全国·高一单元测试）对任意实数，，，给出下列命题，其中假命题是（    ）A．“”是“”的充要条件B．“”是“”的充分条件C．“”是“”的必要条件D．“是无理数”是“是无理数”的充分不必要条件【答案】ABD【分析】根据充分、必要性的推出关系，判断各选项中条件间的关系，即可得答案.【详解】A：由有，当不一定有成立，必要性不成立，假命题；B：若时，充分性不成立，假命题；C：不一定，但必有，故“”是“”的必要条件，真命题；D：是无理数则是无理数，若是无理数也有是无理数，故为充要条件，假命题.故选：ABD11．（2022·浙江·宁波市北仑中学高一开学考试）下列说法中正确的是（    ）A．若a>b，则B．若-2<a<3，1<b<2，则-3<a-b<1C．若a>b>0，m>0，则D．若a>b，c>d，则ac>bd【答案】AC【分析】利用不等式的性质对各选项逐一分析并判断作答.【详解】对于A，因c2+1>0，于是有>0，而a>b，由不等式性质得，A正确；对于B，因为1<b<2，所以-2<-b<-1，同向不等式相加得-4<a-b<2，B错误；对于C，因为a>b>0，所以，又因为m>0，所以，C正确；对于D，且，而，即ac>bd不一定成立，D错误.故选：AC12．（2022·广东·珠海市第一中学高三阶段练习）（多选）下列说法正确的有（   ）A．的最小值为2B．已知x＞1，则的最小值为C．若正数x、y满足x+2y＝3xy，则2x+y的最小值为3D．设x、y为实数，若9x2+y2+xy＝1，则3x+y的最大值为【答案】BCD【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及基本不等式的公式，即可求解.【详解】解：对于A选项，当x=-1时，，故A选项错误，对于B选项，当x＞1时，x﹣1＞0，则，当且仅当时，等号成立，故B选项正确，对于C选项，若正数x、y满足x+2y＝3xy，则，，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，故C选项正确，对于D选项，，所以，可得，当且仅当y＝3x时，等号成立，故3x+y的最大值为，D选项正确.故选：BCD. 三．    填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（2022·湖南·雅礼中学高一阶段练习）已知集合，，，若，则___．【答案】0【分析】根据元素与集合间的关系，列方程求解即可.【详解】集合，，，或，，或，，．故答案为：0.14．（2022·全国·高一单元测试）已知，则函数的最小值为_______.【答案】7【分析】由，得，构造导数关系，利用基本不等式即可得到.【详解】法一：，，，当且仅当，即时等号成立，故答案为：7.法二：，令得或，当时函数单调递减，当时函数单调递增，所以当时函数取得最小值为：，故答案为：7.【点晴】此题考基本不等式，属于简单题.15．（2022·上海·高一单元测试）设非空集合，当中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称是的偶子集，若集合，则其偶子集的个数为___________.【答案】【分析】对集合中奇数和偶数的个数进行分类讨论，确定每种情况下集合的个数，综合可得结果.【详解】集合中只有个奇数时，则集合的可能情况为：、、、、、，共种，若集合中只有个奇数时，则集合，只有一种情况，若集合中只含个偶数，共种情况；若集合中只含个偶数，则集合可能的情况为、、，共种情况；若集合中只含个偶数，则集合，只有种情况.因为是的偶子集，分以下几种情况讨论：若集合中的元素全为偶数，则满足条件的集合的个数为；若集合中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共种；若集合中的元素是个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种；若集合中的元素为个奇数个偶数，共种.综上所述，满足条件的集合的个数为.故答案为：.16．（2022·全国·高一单元测试）已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】转化为命题“，使得”是真命题，根据二次函数知识列式可解得结果.【详解】因为命题“存在，使”是假命题，所以命题“，使得”是真命题，当时，得，故命题“，使得”是假命题，不合题意；当时，得，解得.故答案为：【点睛】关键点点睛：转化为命题“，使得”是真命题求解是解题关键. 四．        解答题（共6小题，满分70分）17．（2022·浙江省定海第一中学高一开学考试）已知集合或，，且，求m的取值范围．【答案】或【分析】因为，所以，分别讨论和两种情况然后求并集.【详解】解：因为，所以，当时，，解得：；当时，或解得：或所以或.18．（2021·全国·高一专题练习）（1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？（2）用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最短篱笆的长度为；（2）当这个矩形菜园是边长为的正方形时，最大面积是.【解析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.（1）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论；（2）由题意得出，利用基本不等式可求出矩形面积的最大值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论.【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为.（1）由已知得，由，可得，所以，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为；（2）由已知得，则，矩形菜园的面积为.由，可得，当且仅当时，上式等号成立.因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是.【点睛】本题考查基本不等式的应用，在运用基本不等式求最值时，充分利用“积定和最小，和定积最大”的思想求解，同时也要注意等号成立的条件，考查计算能力，属于基础题.19．（2022·河北·武安市第一中学高一期末）已知集合，且．（1）若，求m，a的值．（2）若，求实数a组成的集合．【答案】（1），；）（2）【分析】（1）依题意可得，，即可求出，从而求出集合，则，即可求出；（2）首先求出集合，依题意可得，对集合分类讨论，即可求出参数的取值；【详解】解：（1）因为，且．，所以，，所以解得，所以，所以，所以，解得（2）若，所以，因为，所以当，则；当，则；当，则；综上可得20．（2022·辽宁·沈阳市第九中学高一开学考试）已知集合.(1)若，求，的值；(2)若，且，求，的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意可得，解方程组即可得出答案；（2）易得，再根据，列出方程组，解之即可得解.（1）解：若，则有，解得；（2）解：，因为，所以，解得.21．（2022·全国·高一单元测试）（1）已知，求的最小值．（2）求关于x的不等式的解集：．【答案】（1）8 ；（2）时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为；时，解集为.【分析】（1）整理可得，结合基本不等式分析计算；（2）不等式分类讨论问题，结合本题，首先讨论最高项系数的符号；其次讨论两根的大小．【详解】解：（1）因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8．（2），当时，不等式为，解集为，时，不等式分解因式可得，当时，故，此时解集为．当时，，故此时解集为，当时，可化为，又，解集为．当时，可化为，又，解集为．22．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二开学考试）（1）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集；（2）若不等式在实数集R上恒成立，求m的范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先将不等式问题转化为方程问题求出的值，然后就可以解不等式了；（2）一元二次不等式恒成立，即考虑其判别式.【详解】（1）因为的解集为，所以与是方程的两个实数根，由根与系数的关系得解得不等式，即，整理得，解得.即不等式的解集为.（2）由题意可得，，即，整理得，解得.