专题2.4 函数（基础巩固卷）-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

专题2.4 函数（基础巩固卷）

考试时间：120分钟；满分：150分

姓名：___________班级：___________考号：___________

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！

一．    选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（2022·全国·高一课时练习）函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由分母中根式内部的代数式大于0，0指数幂的底数不为0联立不等式组求解．

【详解】由，解得且．

函数的定义域为．

故选：C．

2．（2022·全国·高一单元测试）现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】根据幂函数的定义逐个辨析即可

【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个

故选：B

3．（2022·全国·高一单元测试）下列函数中，在区间上为增函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数单调性直接判断可得结果.

【详解】对于A，为上的减函数，A错误；

对于B，在，上单调递减，B错误；

对于C，在上单调递减，在上单调递增，C错误；

对于D，，则在上为增函数，D正确.

故选：D.

4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（    ）

A．－1 B．－1或3 C．3 D．2

【答案】C

【分析】根据幂函数的定义和性质，列出相应的方程，即可求得答案.

【详解】由题意知：，即，解得或，

∴当时，，则在上单调递减，不合题意;

当时，，则在上单调递增，符合题意,

∴,

故选：C

5．（2022·全国·高一单元测试）若函数为奇函数，则（    ）

A． B． C． D．1

【答案】A

【分析】根据奇函数的定义可得，整理化简可求得a的值，即得答案.

【详解】由函数为奇函数，可得，

所以，

所以，化简得恒成立，

所以，即,

经验证，定义域关于原点对称，且满足，故；

故选:A．

6．（2022·广东·东莞市东华高级中学高一阶段练习）若函数，且，则实数的值为（    ）

A． B．或 C． D．3

【答案】B

【分析】令，配凑可得，再根据求解即可

【详解】令（或），，，，.

故选；B

7．（2022·全国·高三专题练习）若函数的值域为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】当时易知满足题意；当时，根据的值域包含，结合二次函数性质可得结果.

【详解】当时，，即值域为，满足题意；

若，设，则需的值域包含，

，解得：；

综上所述：的取值范围为.

故选：C.

8．（2022·全国·高一单元测试）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】采用分离常数法和偶函数的性质可确定的单调性，结合可构造不等式求得结果.

【详解】，在上单调递减，又为偶函数，

，，，解得：或，

的解集为.

故选：D.

二．    多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（2021·辽宁·建平县实验中学高一阶段练习）已知函数的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（    ）

A．是奇函数 B．是奇函数

C．是偶函数 D．是偶函数

【答案】AD

【分析】由奇偶性的定义逐一证明即可.

【详解】对于A，，，即是奇函数，故A正确；

对于B，，，即是偶函数，故B错误；

对于C，，，即是奇函数，故C错误；

对于D，，，即是偶函数，故D正确；

故选：AD

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用定义证明奇偶性.

10．（2022·全国·高一单元测试）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】ACD

【分析】根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.

【详解】对于A，，，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A正确；

对于B，，，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；

对于C，，，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；

对于D，与的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确.

故选：ACD

11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】设，代入列方程组求解即可.

【详解】设，

由题意可知，

所以，解得或，

所以或.

故选：AD.

12．（2021·黑龙江·大庆外国语学校高一期中）函数 (x≠1)的定义域为[2，5)，下列说法正确的是 （    ）

A．最小值为 B．最大值为4

C．无最大值 D．无最小值

【答案】BD

【分析】先对函数分离常数，再判断单调性即可求最值．

【详解】函数在[2，5)上单调递减，即在x=2处取得最大值4，

由于x=5取不到，则最小值取不到．

故选：BD

三．    填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则___________.

【答案】9

【分析】根据函数解析式直接求解即可.

【详解】解：根据题意，

故答案为：9

14．（2022·浙江省嘉善中学高一阶段练习）若函数的值域是____.

【答案】

【分析】利用分离常数法去求函数的值域即可

【详解】， ，函数的值域是：.

故答案为：

15．（2022·全国·高一课时练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是__________ .

【答案】

【分析】分析可知，对任意的，恒成立，分、两种情况讨论，结合已知条件可求得实数的取值范围.

【详解】因为函数的定义域为，

所以，对任意的，恒成立.

①当时，则有，合乎题意；

②当时，由题意可得，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

16．（2021·江苏·高一单元测试）若是奇函数，当时的解析式是，则当时，的最大值是______．

【答案】

【分析】先利用奇函数的定义求出时的解析式，再结合二次函数的性质求解即可

【详解】当时，，

∵时，，

∴，又为奇函数，

∴，

∴，

因为时，，

所以当时，取得最大值.

故答案为：

四．        解答题（共6小题，满分70分）

17．（2022·江苏·海安县实验中学高一阶段练习）在①，②，且，③恒成立，且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数的图像经过点（1，2），______.

(1)求的解析式；

(2)求在上的值域.

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）若选条件①，设，用待定系数法求得即可；若选条件②,设，根据对称轴是，结合条件列方程求得即可；若选条件③，设.，根据条件，列方程求得即可.

（2）直接由（1）中解析式，求二次函数在上的值域即可.

（1）选条件①.

设，

则.

因为，所以，

所以，解得.因为函数的图像经过点（1，2），

所以，得.故.

选条件②.

设，

则函数图像的对称轴为直线.

由题意可得，解得.故.

选条件③

设.

因为，所以.

因为恒成立，所以，解得，

故.

（2）由（1）可知.因为，所以，

所以.所以在上的值域为.

18．（2022·全国·高一专题练习）已知函数.

(1)求函数的定义域；

(2)求的值；

(3)当时，求，的值．

【答案】(1)且

(2)

(3)，

【分析】（1）由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解；

（2）直接取代入得答案；

（3）分别取及代入求解．

（1）由题意，解得且,

函数的定义域为且.

（2）.

（3），．

19．（2022·辽宁·黑山县黑山中学高三阶段练习）已知是定义在R上的奇函数，当时时，

（1）求解析式

（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）

【答案】（1）；（2）图见详解，单调区间为：单调递增区间为：，，单调递减区间为：，.

【分析】（1）根据奇函数的性质，当时，，当时，，即可得解；

（2）根据二次函数的图像与性质，直接画图像，并求出单调性.

【详解】（1）当时，，

当时，，，

所以，

（2）的图像为：

单调递增区间为：，，

单调递减区间为：，.

20．（2022·全国·高一课时练习）若幂函数在其定义域上是增函数.

（1）求的解析式；

（2）若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】（1）根据幂函数的概念，以及幂函数单调性，求出，即可得出解析式；

（2）根据函数单调性，将不等式化为，求解，即可得出结果.

【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或，

又是增函数，即，，则；

（2）因为为增函数，所以由可得，解得或

的取值范围是或.

21．（2022·全国·高一单元测试）函数是定义在R上的偶函数，当时，．

（1）求函数在的解析式；

（2）当时，若，求实数m的值．

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）根据偶函数的性质，令，由即可得解；

（2），有，解方程即可得解.

【详解】（1）令，则，

由，此时；

（2）由，，

所以，

解得或或（舍）.

22．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，且．

（1）求m；

（2）判断并证明的奇偶性；

（3）判断函数在，上是单调递增还是单调递减？并证明．

【答案】（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.

【分析】（1）根据题意，将代入函数解析式，求解即可；

（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；

（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．

【详解】（1）根据题意，函数，且，

则，解得；

（2）由（1）可知，其定义域为，关于原点对称，

又由，

所以是奇函数；

（3）在上是单调递增函数．

证明如下：

设，则，

因为，

所以，，则，即，

所以在上是单调递增函数．