专题3.3 指数运算与指数函数（基础巩固卷）-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

专题3.3 指数运算与指数函数（基础巩固卷）

考试时间：120分钟；满分：150分

姓名：___________班级：___________考号：___________

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！

一．    选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（2022·江苏省宝楠国际学校高一阶段练习）的值为（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4

【答案】B

【解析】利用指数幂的运算性质可得计算结果.

【详解】解：.

故选：B．

2．（2021·全国·高一专题练习）如果指数函数(，且)的图象经过点，那么的值是（    ）

A． B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】将点代入函数解析式，即可得出的值.

【详解】由题意可知，解得或（舍）

故选：B

3．（2021·全国·高一专题练习（理））化简 (a>0，b>0)的结果是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用根式与分数指数幕的互化及其化简运算，求解即可.

【详解】

故选：B

4．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，函数的图像是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】将原函数变形为分段函数，根据及时的函数值即可得解.

【详解】，

时，时，.

故选：B.

5．（2023·全国·高三专题练习）函数的图像如图所示，其中 为常数，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．， C．， D．，

【答案】D

【分析】由函数的单调性得到的范围，再根据函数图像平移关系分析得到的范围.

【详解】由函数的图像可知，函数在定义域上单调递减，，排除AB选项；

分析可知：

函数图像是由向左平移所得，，.故D选项正确.

故选：D

6．（2021·全国·高一专题练习）函数（    ）

A．是上的减函数

B．是上的增函数

C．在上是减函数，在上是增函数

D．无法判断其单调性

【答案】B

【分析】利用指数函数的单调性结合单调性的性质可得出结论.

【详解】因为指数函数为上的增函数，指数函数为上的减函数，

故函数是上的增函数.

故选：B.

7．（2022·全国·高一单元测试）若函数（且）在区间上的最大值和最小值的和为，则a的值为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】D

【分析】分与两种情况，结合函数单调性表达出最值，列出方程，求出a的值.

【详解】当时，函数在上为减函数，

则，解得：，

当时，函数在上为增函数，

则，解得：．

综上，或．

故选：D

8．（2021·全国·高一课前预习）若，，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数以及幂函数的单调性比较出之间的大小关系.

【详解】因为在上单调递减，所以，即，

又因为在上单调递增，所以，即，

所以，

故选：A.

【点睛】本题考查根据指数函数、幂函数的单调性比较数值大小，难度一般.注意幂函数当时在上单调递增.

二．    多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（2021·广东·珠海市田家炳中学高一期中）下列运算结果中，一定正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据有理数指数幂的运算法则计算．

【详解】解：选项，正确；

选项，错误；

选项当时，，当时，，错误；

选项，正确．

故选：．

【点睛】本题考查了有理数指数幂的运算，属于基础题．

10．（2022·福建·宁德市高级中学高三阶段练习）若函数（且）的图像过第一、三、四象限，则必有（    ）．

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】对底数分情况讨论即可得答案.

【详解】解：若，则的图像必过第二象限，而函数（且）的图像过第一、三、四象限，所以．

当时，要使的图像过第一、三、四象限，则，即．

故选：BC

【点睛】此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.

11．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）下列函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】结合函数的奇偶性、单调性确定正确选项.

【详解】A选项，的定义域为，，为偶函数.

当时，为增函数，符合题意.

B选项，的定义域为，当时，为减函数，不符合题意.

C选项，的定义域为，，为奇函数，不符合题意.

D选项， 的定义域为，，为偶函数.

当时，根据复合函数单调性同增异减可知：为增函数，符合题意.

故选：AD

12．（2021·全国·高一专题练习）下列说法中，正确的是（    ）

A．任取，都有.

B．是增函数．

C．的最小值为1.

D．在同一坐标系中与的图像关于轴对称．

【答案】CD

【分析】根据指数函数的性质对各选项逐一分析即可.

【详解】对于A，取时，有，故A错误；

对于B，是减函数，故B错误；

对于C，由于，且在上单调递增，所以的最小值为，故C正确；

对于D，由指数函数性质可知与的图像关于轴对称，故D正确；

故选：CD

三．    填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（2022·全国·高一单元测试）若且，则函数的图像恒过的定点的坐标为______．

【答案】

【分析】任意指数函数一定过定点，根据该性质求解.

【详解】令，得，所以，所以函数的图像恒过定点．

故答案为：

14．（2022·全国·高一单元测试）已知函数是指数函数，且，则______．

【答案】

【分析】依题意设（且），根据即可求出的值，从而求出函数解析，再代入计算可得.

【详解】解：由题意，设（且），

因为，所以，又，所以，

所以，所以．

故答案为：

15．（2022·全国·高一单元测试）函数在的值域为______．

【答案】

【分析】令，结合二次函数的性质即可得出答案.

【详解】解：，

设，

当时，，所以，

所以在的值域为．

故答案为：．

16．（2022·全国·高一专题练习）已知则a，b，c的大小关系是________.

【答案】或

【分析】利用指数函数的单调性比较大小即可

【详解】因为是R上的减函数，且，

所以，所以，

因为是R上的增函数，且，

所以，所以，

所以

故答案为：或

四．        解答题（共6小题，满分70分）

17．（2021·全国·高一课时练习）已知指数函数（，且），且，求的值.

【答案】

【解析】由求出，可确定的解析式，从而计算函数值．

【详解】因为，且，则，解得，于是.

所以，.

【点睛】本题考查指数函数的解析式．属于基础题．

18．（2021·全国·高一专题练习）计算下列各式（式中字母均是正数）：

（1）；（2）；（3）.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）利用指数幂的运算性质化简计算即可，但需注意底数相同的项对应指数相加减；

（2）利用指数幂的运算性质化简计算即可；

（3）将根式化为分数指数幂，然后利用指数幂的运算性质化简即可.

【详解】（1）；

（2）；

（3）

【点睛】本题考查指数幂的运算，解题时要注意将同类项进行合并，将根式化为分数指数幂，考查计算能力，属于基础题.

19．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知，计算：；

（2）设，，求的值．

【答案】（1）4；（2）27

【分析】（1）对两边平方，求出，再对此式两边平方，化简可得，从而代入可求结果，

（2）将等式两边化为同底数幂的形式，然后可得关于的方程组，求出的值，从而可求得的值

【详解】（1）因为，所以，

所以，所以，                        

所以，即，所以，

所以．                        

（2）因为，所以，即．

又，所以，即，

由，解得，

故的值为27．

20．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为R的函数是奇函数．

(1)求的解析式；

(2)用定义证明的单调性．

【答案】(1)；(2)在R上单调递减，证明见解析

【分析】（1）根据函数为奇函数可得、，代入函数解析式可分别求得a、b的取值，继而确定函数解析式；（2）化简求出的表达式，根据、的大小关系，判断的正负，进而根据定义法确定函数的单调性.

（1）因为是R上的奇函数，所以，

即，解得，则．

又，则，解得，

经检验当，时，是奇函数，

所以．

（2）证明：由（1）知，

对任意的，R，且，

有，

因为，所以，所以，

∴在R上单调递减．

21．（2021·全国·高一课时练习）已知指数函数且的图象经过点．

(1)求指数函数的解析式；

(2)求满足不等式的实数的取值范围．

【答案】(1)；(2)或

【分析】（1）直接将点带入函数得到答案.

（2）代入化简得到，解得答案.

(1)因为且的图象经过点，所以，，得，

所以.

(2)由题可得，即，得，或

22．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.

（1）求在上的值域；

（2）解不等式；

（3）若关于的方程在上有解，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）令，将问题转化为二次函数值域的求解问题，由二次函数性质可求得结果；

（2）将不等式整理为，可得，由指数函数单调性可解不等式求得结果；

（3）令，将问题转化为与在时有交点，由的值域可构造不等式，解不等式求得结果.

【详解】（1）令，当时，，则可将原函数转化为，

当时，；当时，；

在上的值域为；

（2），即，，

解得：，，即不等式的解集为；

（3）令，当时，，

在上有解等价于与在时有交点，

由（1）知：在时的值域为，

，解得：，即的取值范围为.

【点睛】思路点睛：本题考查与指数函数和二次函数有关的复合函数的值域、不等式及方程有根问题的求解，解题的基本思路是能够通过换元的方式将问题转化为二次函数的问题来进行求解.