专题4.4 对数运算与对数函数（能力提升卷）-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

专题4.4 对数运算与对数函数（能力提升卷）

考试时间：120分钟；满分：150分

姓名：___________班级：___________考号：___________

考卷信息：

本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！

一．    选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）

1．（2022·全国·高一单元测试）已知，，则（    ）

A．1 B．2 C．5 D．4

【答案】A

【分析】先求得，然后结合对数运算求得正确答案.

【详解】∵，，∴，，

．

故选：A

2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】根据函数图象及对数函数的性质可求解.

【详解】因为函数为减函数，所以

又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即

又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，

故选：D

3．（2022·江苏省南通中学高一阶段练习）已知，，且，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】运用对数运算性质及换底公式即可获解.

【详解】，，

，

，，

，

故选：A

4．（2022·全国·高一课时练习）函数在区间上是减函数，则的取值范围是（    ）

A． B．， C．， D．

【答案】C

【分析】先确定，再转化为在区间上为减函数，且，即可求得的取值范围.

【详解】解：若，则在区间上为增函数，不可能，舍去；

若，则在区间上为减函数，且,

即的取值范围是.

故选：C.

【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题.

5．（2022·全国·高一课时练习）设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求出的定义域，然后利用奇函数的性质求出的值，从而得到的定义域，然后利用反函数的定义，即可求出的值域．

【详解】因为，

所以可得或，

所以的定义域为或，

因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，

所以的定义域为，

因为函数图象与函数图象关于直线对称，

所以与互为反函数，

故的值域即为的定义域.

故选：.

6．（2021·福建·上杭县第五中学高三阶段练习）中国的5G技术领先世界，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C取决于信道带宽W､信道内信号的平均功率S､信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至5000，则C大约增加了（    ）（附：）

A．20% B．23% C．28% D．50%

【答案】B

【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解.

【详解】将信噪比从1000提升至5000时，C大约增加了

.

故选：B.

7．（2022·全国·高三专题练习）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用对数运算的性质将化简为，从而和c比较大小，同理比较a,c的大小关系，再根据两个指数幂的大小结合对数的运算性质可比较a,b大小，即可得答案.

【详解】由题意：，，故．

又，即，所以，即，

因为，所以．

因为，故，即，

所以，所以，

所以，所以，

故选：B.

8．（2022·全国·高一课时练习）设函数f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|，则f（x）（　　）

A．是偶函数，且在 单调递增

B．是奇函数，且在 单调递增

C．是偶函数，且在单调递增

D．是奇函数，且在 单调递增

【答案】B

【分析】先求出的定义域结合奇偶函数的定义判断的奇偶性，设t＝||，则y＝lnt，由复合函数的单调性判断的单调性，即可求出答案.

【详解】解：由，得x≠±．

又f（﹣x）＝|﹣2x+1|﹣|﹣2x﹣1|＝﹣（|2x+1|﹣|2x﹣1|）＝﹣f（x），

∴f（x）为奇函数，

由f（x）＝|2x+1|﹣|2x﹣1|＝||，

∵11．

可得内层函数t＝||的图象如图，

在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减，在（，）上单调递增，

又对数式y＝是定义域内的增函数，

由复合函数的单调性可得，f（x）在（，）上单调递增，

在（﹣∞，），（，+∞）上单调递减．

故选：B．

二．    多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）

9．（2022·湖南·长沙市南雅中学高二阶段练习）已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是（    ）

A．＋＝ B．3x＞4y＞6z C．x＋y＞(＋)z D．xy＞2z2

【答案】ACD

【分析】设，则，，，分别代入选项中，根据对数运算法则化解，判断是否正确即可.

【详解】设，

则，，，

则，故A正确；

由，，，

又，，

则，故B错误；

，

因此，故C正确；

，

因此，故D正确；

故选：ACD

10．（2021·江西省新干中学高一期中）已知函数，则（    ）

A．当时，的单调递减区间为

B．当时，的单调递减区间为

C．当时，的值域为R

D．当时，的值域为

【答案】BC

【分析】先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性即可判断.

【详解】令，解得或，

故的定义域为

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

由复合函数的单调性可知：

当时，的单调递减区间为，的值域为R；

当时，的单调递减区间为，的值域为R．

故选：BC．

11．（2022·贵州·凯里一中高二期中）已知函数，若（互不相等），则的值可以是（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】BC

【分析】根据函数变换的知识作出分段函数的图像，结合图像可判断得的取值范围，由此可得答案.

【详解】因为的图像是由的图像保留轴上方的图像，再把轴下方的图像沿着轴往上翻折得到的图像，所以分段函数的图象如图，

不妨设，因为，

所以由关于对称可得，

又，所以，

故的值可以是，

故选：BC.

.

12．（2022·海南昌茂花园学校高三阶段练习）已知函数，，且，下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【分析】利用函数的图象，得，且，对A进行判断，

利用题目条件所得结论，结合函数的性质，对B进行判断，

利用题目条件所得结论，结合不等式性质，对C进行判断，

利用题目条件所得结论，结合基本不等式求最值，对D进行判断，从而得结论．

【详解】因为，，所以由函数的图象知．

对于A，，

即可得，

即，所以A不正确；

对于B，因为，且，所以．

因为函数是单调递减函数，

所以函数的值域是，

因此，即，所以B正确；

对于C，因为，且，所以，因此C正确；

对于D，因为，且，

所以,

当且仅当时，等号成立，

而，因此，所以D正确．

故选：BCD．

三．    填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13．（2022·全国·高一单元测试）已知，则实数a的取值范围为______．

【答案】.

【分析】分和两种情况求解即可.

【详解】解：当时，由，可得，解得；

当时，，可得，得，不满足，故无解.

综上所述a的取值范围为：.

故答案为：.

14．（2021·全国·高一课时练习）函数的值域是________.

【答案】

【解析】先求出函数的定义域为，设，，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出的单调性，从而可求出值域.

【详解】解：由题可知，函数，

则，解得：，

所以函数的定义域为，

设，，

则时，为增函数，时，为减函数，

可知当时，有最大值为，

而，所以，

而对数函数在定义域内为减函数，

由复合函数的单调性可知，

函数在区间上为减函数，在上为增函数，

，

∴函数的值域为.

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.

15．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和是_____________．

【答案】6

【分析】设，根据已知条件求得的值，求得表达式，构造函数，判断的奇偶性，由此求得的最大值与最小值之和.

【详解】设，依题意，所以，

.

，

构造函数，

，

所以为奇函数，图象关于原点对称，在区间上的最大值和最小值的和为.

所以在区间上的最大值和最小值的和为.

故答案为：

16．（2022·四川省绵阳南山中学高三阶段练习（理））设函数，若关于的方程恰有6个不同的实数解，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【分析】作出函数的图象，令，结合图象可得，方程在内有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得；

【详解】作出函数的大致图象，

令，因为恰有6个不同的实数解，

所以在区间上有2个不同的实数解，

，

解得，

实数的取值范围为．

故答案为：．

四．        解答题（共6小题，满分70分）

17．（2021·江苏·高一单元测试）已知a，b，c均为正数，且，求证：；

【答案】证明见解析

【分析】设，则，结合指数与对数的互化公式，以及换底公式和对数的运算即可得证.

【详解】设，则.

∴，

∴，

而，

∴，得证.

18．（2022·江苏·高一单元测试）已知集合，集合．记集合中最小元素为，集合中最大元素为．

(1)求及，的值；

(2)证明：函数在上单调递增；并用上述结论比较与的大小．

【答案】(1)，，；(2)证明见解析，

【分析】（1）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可解出；

（2）根据单调性的定义即可证明函数在上单调递增，再根据单调性以及对数的性质即可比较出大小．

（1）因为，所以，，即．因为，所以，．

（2）设为上任意两个实数，且，则，，

，即，所以在上单调递增．

所以，所以．

19．（2021·全国·高一专题练习）已知函数．

（1）求的定义域；

（2）判断的奇偶性并予以证明；

（3）求不等式的解集．

【答案】（1）；（2）奇函数；证明见解析；（3）．

【分析】（1）利用对数的性质可得，解不等式即可得函数的定义域.

（2）根据奇偶性的定义证明的奇偶性即可.

（3）由的解析式判断单调性，利用对数函数的单调性解不等式即可.

【详解】（1）要使有意义，则，解得：．

∴的定义域为.

（2）为奇函数，证明如下：

由（1）知： 且，

∴为奇函数，得证．

（3）∵在内是增函数，由，

∴，解得，

∴不等式的解集是.

20．（2017·广东湛江·高一期末）已知．

（Ⅰ）求函数的定义域；

（Ⅱ）证明函数为奇函数；

（Ⅲ）求使＞0成立的x的取值范围．

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）见解析；（Ⅲ）时， 使的x的取值范围为（－1，0）；当a＞1时，使的x的取值范围为（0，1）．

【详解】试题分析：（1）有对数的性质，可得，即可求得函数的定义域；

（2）由（1）可知函数的定义域关于原点对称，化简的，即可证得函数为奇函数；

（3）由，根据对数函数的性质，可分和两种情况分类讨论，得到不等式的解集.

试题解析：（Ⅰ）解：，∴   解得．  

∴函数的定义域为.    

（Ⅱ）证明：，且定义域为（－1，1）关于原点对称

∴ ．

∴ 函数为奇函数．

（Ⅲ）解：当a>1时， 由＞0，得，则，

，．

时， ．即，解得，

∴．

综上可知，时， 使的x的取值范围为（－1，0）；

当a＞1时，使的x的取值范围为（0，1）．

点睛：本题主要考查了对数函数的图象与性质，其中解答涉及到对数函数的定义域与值域、函数的奇偶性的判定与证明、对数函数的单调性等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，本题的解答中熟记对数函数的图象与性质，合理分类讨论是解答的关键.

21．（2022·浙江·宁波中学高一期中）已知函数，．

(1)求函数的定义域；

(2)若不等式在上恒成立，求实数m取值范围．

【答案】(1)；(2)

【分析】（1）利用对数的函数的性质可求得函数的定义域；

（2）利用对数的函数的性质去掉对数符号，转化为含参不等式恒成立问题，参变分离后求最值可得答案．

【详解】（1）解：，

函数定义域满足，解得，

函数的定义域为；

（2）解：，所以，即

因为函数在上单调递增

所以在上恒成立，又，所以

又函数在上单调递增，所以

则.

22．（2021·全国·高一专题练习）设函数，且．

（1）求的值；

（2）若令，求实数t的取值范围；

（3）将表示成以为自变量的函数，并由此求函数的最大值与最小值及与之对应的x的值．

【答案】（1）6；（2）；（3），此时；，此时．

【分析】（1）根据题目函数的解析式，代入计算函数值；

（2）因为，根据对数函数的单调性求出实数t的取值范围；

（3）根据换元法将函数转化为二次函数，借助二次函数的单调性求出函数取最大值，最小值，接着再求取最值时对应的x的值.

【详解】（1）；

（2），又，，，所以t的取值范围为；

（3）由，

令，，

当时，，即，解得，

所以

，此时；

当时，，即，

，此时．

【点睛】求函数最值和值域的常用方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；

(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；

(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．