专题7.1 随机事件与古典概型-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）

专题7.1 随机事件与古典概型

【考点1：随机事件的频率与概率】

【考点2：互斥事件与对立事件】

【考点3：古典概型】

【考点1：随机事件的频率与概率】

【知识点：随机事件的频率与概率】

1．事件的分类

2．频率和概率

（1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．

（2）对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率，简称为A的概率．

（3）事件A发生的频率是利用频数nA除以试验总次数n所得到的值，且随着试验次数的增多，它在A的概率附近摆动幅度越来越小，即概率是频率的稳定值，因此在试验次数足够的情况下，给出不同事件发生的次数，可以利用频率来估计相应事件发生的概率．

1．（2023秋·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考期末）下面四个选项中，是随机现象的是（    ）

A．刻舟求剑 B．水中捞月 C．流水不腐 D．守株待兔

2．（2021秋·陕西榆林·高二校考阶段练习）在这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是（    ）

A．必然事件 B．不可能事件

C．随机事件 D．以上选项均不正确

3．（2021秋·陕西榆林·高二陕西省神木中学校考阶段练习）下列事件中，随机事件的个数是（    ）

①未来某年8月18日，北京市不下雨；

②在标准大气压下，水在4℃时结冰；

③从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰好取到1号签；

④任取，则.

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（2022秋·上海浦东新·高二校考期末）已知集合A是集合B的真子集，则下列关于非空集合A，B的四个命题：

①若任取，则是必然事件；

②若任取，则是不可能事件；

③若任取，则是随机事件；

④若任取，则是必然事件．

其中正确的命题有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．（2022·全国·高三专题练习）以下事件是随机事件的是（    ）

A．标准大气压下，水加热到，必会沸腾 B．走到十字路口，遇到红灯

C．长和宽分别为的矩形，其面积为 D．实系数一元一次方程必有一实根

6．（2022秋·贵州六盘水·高二校考阶段练习）若x是实数，则下列事件是不可能事件的是（    ）

A． B．

C． D．

7．（2022秋·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习）在100件产品中，有95件一级品，5件二级品，给出下列事件：

①在这100件产品中任意选出6件，全部是一级品；

②在这100件产品中任意选出6件，全部是二级品；

③在这100件产品中任意选出6件，不全是一级品；

④在这100件产品中任意选出6件，至少一件是一级品，

其中__________是随机事件.（如果没有，请填“无”；如果有，请填序号）

8．（2022·高一课时练习）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象，哪些是不可能事件．

(1)某地1月1日刮西北风；

(2)当是实数时，；

(3)手电筒的电池没电，灯泡发亮；

(4)一个电影院某天的上座率超过．

9．（2022·高一课时练习）判断下面哪些是随机现象，哪些是确定性现象．

(1)导体通电时，发热；

(2)抛一块石头，下落；

(3)在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化；

(4)掷一枚硬币，出现正面；

(5)某人射击一次，中靶．

【考点2：互斥事件与对立事件】

【知识点：互斥事件与对立事件】

[方法技巧]

[方法技巧]

1．（2022秋·四川达州·高二统考期末）某班学生小李参加了2022年市举办的高中数学竞赛和高中物理竞赛，与事件“小李至少有一门学科竞赛获一等奖”互斥的事件是（    ）

A．小李两门学科竞赛都没有获一等奖

B．小李两门学科竞赛都获一等奖

C．小李至多有一门学科竞赛获一等奖

D．小李只有一门学科竞赛获一等奖

2．（2021秋·吉林长春·高二校考阶段练习）盒子中装有红色，黄色和黑色小球各2个，一次取出2个小球，下列事件中，与事件“2个小球都是红色”对立的事件是（    ）

A．2个小球都是黑色 B．2个小球恰有1个是红色

C．2个小球都不是红色 D．2个小球至多有1个是红色

3．（2019秋·广西南宁·高二校考期中）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则互为对立事件是（    ）．

A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是红球

C．至少有一个黑球与至少有1个红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球

4．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ）

A．至少有1名男生与全是男生；

B．至少有1名男生与全是女生；

C．恰有1名男生与恰有2名男生；

D．至少有1名男生与至少有1名女生．

5．（2022秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲不胜的概率是（    ）

A． B． C． D．

6．（2022秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1-10各10张)中任取一张：①“抽出红桃”与“抽出黑桃”是对立事件；②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是互斥事件；③“抽出的牌的数字为5的倍数”与“抽出的牌的数字大于9”是互斥事件；④“抽出数字为2”与“抽出数字为9”是互斥事件；⑤“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是对立事件.其中正确的个数为（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．（2023·上海·统考模拟预测）已知事件A发生的概率为，则它的对立事件发生的概率______________．

8．（2022秋·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考期末）事件A、B互斥，它们都不发生的概率为，且，则______.

9．（2023秋·上海浦东新·高二统考期末）已知事件、互斥，，且，则_______.

10．（2022秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）某人射击1次命中7～10环的概率如下表

（1）求射击1次，至少命中7环的概率为_______

（2）求射击1次，命中不足7环的概率为_______

【考点3：古典概型】

【知识点：古典概型】

1．基本事件的特点

(1)任何两个基本事件都是互斥的；

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．

2．古典概型

具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．

(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；

(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等．

3．古典概型的概率公式

P(A)＝.

[方法技巧]　　　解决古典概型实际问题的步骤

1．（2022·江苏常州·华罗庚中学校考模拟预测）为弘扬文明.和谐的社区文化氛围，更好地服务社区群众，武汉市某社区组织开展了“党员先锋”.“邻里互助”两个公益服务项目，其中某个星期内两个项目的参与人数（单位：人）记录如下：

对于该星期内的公益服务情况，下列说法正确的有（    ）A．“党员先锋”项目参与人数的极差为52，中位数为25

B．“邻里互助”项目参与人数的众数为11，平均数为64

C．用频率估计概率，“党员先锋”项目连续3天参与人数不低于25的概率为

D．用频率估计概率，“邻里互助”项目连续2天参与人数不低于该项目平均数的概率为

2．（2023秋·江西抚州·高三临川一中校考期末）老师要从3名男生和4名女生（含小红同学）中选择3位同学参加比赛，那么小红同学被选中参加比赛的概率为_______.

3．（2021秋·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中）在某电视台的一档演讲比赛节目中，进入最后比赛的是2名女选手和1名男选手，已知备选演讲题目2个，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为__．

4．（2023秋·江西吉安·高三统考期末）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开．某媒体从甲、乙等6名记者中选两人参加宣传报道，则甲、乙至少有一人被人选的概率为________．

5．（2020春·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）某人在微信群中发了一个8元“拼手气”红包，被甲、乙、丙三人抢完，若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则甲领到的钱数不少于其他任何人的概率为___________．

6．（陕西省渭南市2023届高三下学期教学质量检测（Ⅰ）文科数学试题）从某台机器一天产出的零件中，随机抽取10件作为样本，测得其质量如下（单位：克）：，记样本均值为，样本标准差为.

(1)求；

(2)将质量在区间内的零件定为一等品.

①估计这台机器生产的零件的一等品率；

②从样本中的一等品中随机抽取2件，求这两件产品质量之差的绝对值不超过0.3克的概率P.

7．（2023·全国·校联考模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行､也是继2002年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛，除此之外，卡塔尔世界杯还是首次在北半球冬季举行､第二次世界大战后首次由从未进过世界杯的国家举办的世界杯足球赛.某学校统计了该校500名学生观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组；（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图

(1)求a的值，并估计样本数据的中位数；

(2)采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人､现从这6人中随机抽取3人分享观看感想，求抽取的3人中恰有2人的观看时长在的概率.

8．（2022秋·上海徐汇·高二位育中学校考期末）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

(1)求、的值；

(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第60百分位数（精确到0.1）；

(3)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率.

9．（2022秋·湖北十堰·高二统考期末）某两个班的100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是．

(1)求语文成绩在内的学生人数．

(2)如果将频率视为概率，根据频率分布直方图，估计语文成绩不低于112分的概率．

(3)若语文成绩在内的学生中有2名女生，其余为男生．现从语文成绩在内的学生中随机抽取2人背诵课文，求抽到的是1名男生和1名女生的概率．

10．（2021春·河南周口·高一校考期中）某电视台为宣传安徽，随机对安徽15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示：

(1)分别求出a，b，x，y的值；

(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？

(3)在（2）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.