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专题7.4 概率（能力提升卷）-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册）
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这是一份专题7.4 概率（能力提升卷）-2023-2024学年高一数学常考考点训练（北师大版2019必修第一册），文件包含专题74概率能力提升卷北师大版2019必修第一册原卷版docx、专题74概率能力提升卷北师大版2019必修第一册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共25页， 欢迎下载使用。
专题7.4 概率（能力提升卷）
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2022秋·广东佛山·高二校考期中）从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ）
A．“至少一个白球”和“都是红球”
B．“至少一个白球”和“至少一个红球”
C．“恰有一个白球”和“恰有一个红球”
D．“恰有一个白球”和“都是红球”
【答案】D
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】A选项中“至少一个白球”和“都是红球”二者是互斥事件，同时二者必发生其一，是对立事件，A错误；
B选项中“至少一个白球”和“至少一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，不是互斥事件，B错误；
C选项中“恰有一个白球”和“恰有一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，不是互斥事件，C错误；
D选项中“恰有一个白球”和“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件，又由于两个事件之外还有“都是白球”事件，故不是对立事件，D正确.
故选：D.
2．（2022春·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考期末）已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A．PA∩B=0 B．PA∩B=PAPB
C．PA=1-PB D．PA∪B=1
【答案】D
【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.
【详解】因为事件A与事件B是互斥事件，A、B不一定是互斥事件，所以PA∩B不一定为0，故A错误；
因为A∩B=∅，所以PA∩B=0，而PAPB不一定为0，故B错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，所以C错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，A∪B是必然事件， 所以PA∪B=1，故D正确.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ）
A．频率为35 B．概率为35 C．频率为12 D．概率接近35
【答案】A
【分析】根据频率和概率的知识确定正确选项.
【详解】依题意可知，事件A的频率为1220=35，概率为12.
所以A选项正确，BCD选项错误.
故选：A
4．（2022·高一课时练习）等可能地从集合1,2,3的所有子集中任选一个，选到非空真子集的概率为（ ）
A．78 B．34 C．1516 D．14
【答案】B
【分析】写出集合1,2,3的所有子集，再利用古典概率公式计算作答.
【详解】集合1,2,3的所有子集有：∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}，共8个，它们等可能，
选到非空真子集的事件A有：{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}，共6个，
所以选到非空真子集的概率为P(A)=68=34.
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）北京2022年冬奥会于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．23
【答案】C
【分析】记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A，B，C，D，用列举法写出所有的基本事件及没有选择冰壶的所有事件，从而求出没有选择冰壶的概率.
【详解】解：记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A，B，C，D，
则从这四个项目中任选两项的情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况，
其中没有选择冰壶的有BC，BD，CD，共3种情况，
所以所求概率为36=12.
故选：C.
6．（2022秋·湖北·高二襄阳四中校联考阶段练习）高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a、b、14，该同学可以进入两个社团的概率为15，且三个社团都进不了的概率为310，则ab=（ ）
A．320 B．110 C．115 D．15
【答案】B
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于a，b的方程，联立求解即得.
【详解】依题意，该同学可以进入两个社团的概率为15，则ab⋅(1-14)+14a(1-b)+14b(1-a)=15，整理得ab+a+b=45，
又三个社团都进不了的概率为310，则(1-a)(1-b)(1-14)=310，整理得a+b-ab=35，
联立ab+a+b=45与a+b-ab=35，解得ab=110，
所以ab=110.
故选：B
7．（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）
A．事件A发生的概率PA等于事件A发生的频率fnA
B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点
C．掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B为“两枚都是正面朝上”，则PA=2PB
D．对于两个事件A、B，若PA∪B=PA+PB，则事件A与事件B互斥
【答案】C
【解析】根据频率与概率的关系判断即可得A选项错误；根据概率的意义即可判断B选项错误；根据古典概型公式计算即可得C选项正确；举例说明即可得D选项错误.
【详解】解：对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误；
对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，表示一次实验发生的可能性是16，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；
对于C选项，根据概率的计算公式得PA=12×12×2=12，PB=12×12=14，故PA=2PB，故C选项正确；
对于D选项，设x∈-3,3，A事件表示从-3,3中任取一个数x，使得x∈1,3的事件，则PA=13，B事件表示从-3,3中任取一个数x，使得x∈-2,1的事件，则PA=12，显然PA∪B=56=13+12=PA+PB，此时A事件与B事件不互斥，故D选项错误.
【点睛】本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于D选项的判断，适当的举反例求解即可.
8．（2022·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3，且p3>p2>p1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p丙.并对三者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12，
则此时连胜两盘的概率为p甲
则p甲=12(1-p2)p1p3+p2p1(1-p3)+12(1-p3)p1p2+p3p1(1-p2)
=p1(p2+p3)-2p1p2p3；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，
则p乙=(1-p1)p2p3+p1p2(1-p3)=p2(p1+p3)-2p1p2p3
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙
则p丙=(1-p1)p3p2+p1p3(1-p2)=p3(p1+p2)-2p1p2p3
则p甲-p乙=p1(p2+p3)-2p1p2p3-p2(p1+p3)-2p1p2p3=p1-p2p3<0
p乙-p丙=p2(p1+p3)-2p1p2p3-p3(p1+p2)-2p1p2p3=p2-p3p1<0
即p甲
p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
二． 多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2022·全国·高一专题练习）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ACD
【分析】根据频率和概率的关系可判断.
【详解】由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小，故①正确；
由频率和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，而概率是频率的稳定值，是确定的理论值，故②错误，③④正确.
故选：ACD.
10．（2022·高一单元测试）某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲､乙､丙､丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
顾客人数 商品
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
根据表中数据,下列结论正确的是A．顾客购买乙商品的概率最大 B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C．顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率约为0.3 D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3
【答案】BCD
【解析】根据概率的概念,结合所给数据,逐项判断,即可求得答案.
【详解】对于A,由于购买甲商品的顾客有685位,购买乙商品的顾客有515位,故A错误;
对于B, ∵从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,
∴顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2,故B正确;
对于C,∵ 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时的买了甲､丙､丁,另有200位顾客同时购买了甲､乙､丙,其他顾客最多购买了2种商品,
∴ 顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001000=0.3,故C正确;
对于D,∵ 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有183位顾客仅购买1种商品,
∴ 顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.183<0.2,故D正确.
故选:BCD.
【点睛】本题考查了概率在实际中的应用,解题关键是掌握概率的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
11．（2022·高一单元测试）从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为16 B．2个球中恰有1个红球的概率为12
C．至少有1个红球的概率为13 D．2个球不都是红球的概率为13
【答案】AB
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件、对立事件的概率逐项分析计算即可判断作答.
【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为A，从乙袋中摸出一个红球的事件为B，则P(A)=13，P(B)=12，A，B相互独立，
2个球都是红球的事件为AB，则有P(AB)=P(A)⋅P(B)=16，A正确；
2个球中恰有1个红球的事件为AB+AB，则P(AB+AB)=P(AB)+P(AB) =13×(1-12)+(1-13)×12=12，B正确；
至少有1个红球的事件的对立事件是AB，则P(AB)=P(A)⋅P(B)=(1-13)×(1-12)=13，所以至少有1个红球的概率为23，C不正确；
2个球不都是红球的事件是事件AB的对立事件，其概率为1-P(AB)=56，D不正确.
故选：AB
12．（2022·全国·高三专题练习）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲､乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是（ ）
A．甲参赛的概率大 B．乙参赛的概率大
C．这种选取规则公平 D．这种选取规则不公平
【答案】BD
【分析】列出由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”的所有可能的情况，计算抽取的“三位递增数”是偶数的个数，即可求得甲乙参赛的概率，比较可得答案.
【详解】由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135,145，234，235，245，345，共10个.
记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的样本点有124，134，234，共3个，
所以PA=310.
记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个，所以PB=710.
因为PA
三． 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2022·广西南宁·统考模拟预测）为了迎接春节，小王买了红､黄､紫三种颜色的花各一盆，准备并排摆放在自家阳台上，则红和紫两种颜色的花不相邻的概率为___________.
【答案】13
【分析】列出所有可能的基本事件和符合条件的基本事件，再利用古典概型的概率公式进行求解.
【详解】红､黄､紫三种颜色的花依次摆放的方法有：
（红､黄､紫），（红､紫､黄），（黄､红､紫），（黄､紫､红），
（紫､红､黄），（紫､黄､红），共6种不同的情况，
其中满足条件的是（红､黄､紫），（紫､黄､红），共2种情况，
所以红和紫两种颜色的花不相邻的概率为26=13.
故答案为：13.
14．（2019·全国·高考真题）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
【答案】0．98.
【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.240=0.98．
【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．
15．（2022秋·上海徐汇·高二位育中学校考期末）甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________.
【答案】512
【分析】两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生,根据独立事件概率求法,即可得解.
【详解】解：设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,B1,B2分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立事件的性质,可得
PA1=2×34×14=38,PA2=342=916
PB1=2×23×13=49,PB2=232=49
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则A=A1B2∪A2B1,且A1B2与A2B1互斥,A1与B2,A2与B1分别相互独立,
所以PA=PA1B2+PA2B1 =PA1PB2+PA2PB1 =38×49+916×49=512
因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是512.
故答案为：512
16．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，丙购买到冰墩墩的概率为13，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.
【答案】23
【分析】先算出甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案.
【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率P1=1-12=12.
同理，丙购买不到冰墩墩的概率P2=1-13=23.
所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率P3=P1⋅P2=12×23=13，于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率P=1-P3=23.
故答案为：23.
四． 解答题（共6小题，满分70分）
17．（2022·上海·高二专题练习）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶．
【答案】(1)0.72；
(2)0.26.
【分析】（1）设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”．利用独立事件的概率公式求解；
（2）利用概率的加法公式和事件独立事件的概率公式求解.
【详解】（1）解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”．
由于两个人射击的结果相互不影响，所以A与B相互独立．
由已知可得，PA=0.8，PB=0.9，PA=0.2，PB=0.1
根据题意知AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义得
PAB=PAPB=0.8×0.9=0.72．
（2）解：由题意知“恰好有一人中靶”=(AB)∪(AB)，且AB与AB互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义得P(AB)∪(AB)=PAB+PAB=PAPB+PAPB
=0.8×0.1+0.9×0.2=0.26.
18．（2020秋·福建·高二福建师大附中校考期中）某科研团队发现了一种新型单细胞生物，在长时间观测后，科研团队发现每个活细胞在每一分钟内都会独立且等可能地发生以下四件事中的一件：①死亡；②保持原状；③分裂成两个活细胞；④分裂成三个活细胞.若初始时在一条件适宜的孤立系统中放置两个活细胞，试计算理论上在无限长时间后该系统中仍有活细胞存活的概率.
【答案】22-2.
【解析】设一个细胞时它存活的概率为x，变成两个细胞后有存活的概率会变成1-(1-x)2，列出方程，求得x=2-2，进而求得两个细胞初始的时候无限时间后还有细胞存活的概率.
【详解】设一个细胞时它存活的概率为x，则x是与当前时间无关的，
一分钟后及“无限长时间后仍有存活的细胞的概率”还是x，
变成两个细胞后有存活的概率会变成1-(1-x)2，
类推可得方程x=0×14+x×14+[1-(1-x)2]×14+[1-(1-x)3]×14，
整理得x2-4x+2=0，解得x=2-2或x=2+2（舍去），
所以两个细胞无限时间后还有细胞存活的概率为P=1-(1-x)2=22-2.
【点睛】方法点睛：由一个细胞时存活的概率为x，得出两个细胞后有存活的概率会变成1-(1-x)2，类推得出方程x=0×14+x×14+[1-(1-x)2]×14+[1-(1-x)3]×14是解答的关键.
19．（2022春·湖南永州·高二永州市第一中学校考阶段练习）2020年“双十一”购物节之后，某网站对购物超过1000元的20000名购物者进行年龄调查，得到如下统计表：
分组编号
年龄分组
购物人数
1
[20,30)
5500
2
[30,40)
4500
3
[40,50)
3a
4
[50,60)
3000
5
[60,70]
4a
（1）从这20000名购物者中随机抽取1人，求该购物者的年龄不低于50岁的概率；
（2）从年龄在[50,70]的购物者中用分层抽样的方法抽取7人进一步做调查问卷，再从这7人中随机抽取2人中奖，求中奖的2人中年龄在[50,60)，[60,70]内各有一人的概率.
【答案】（1）0.35；（2）47.
【解析】（1）根据参与调查的总人数确定a的值，进而求得购物者的年龄不低于50岁的概率；
（2）年龄在[50,70]的购物者中用分层抽样的方法抽取7人，则年龄在[60,70]的应抽取4人，年龄在[50,60)的应抽取3人，利用古典概型，确定中奖的2人中年龄在[50,60)，[60,70]内各有一人的概率.
【详解】（1）因为参与调查的总人数为20000人，
由表中数据可得5500+4500+3a+3000+4a=20000，解得a=1000，
所以从这20000名购物者中随机抽取1人，该购物者的年龄不低于50岁的概率为P1=3000+4a20000=700020000=0.35.
（2）由（1）知，这20000名购物者中，年龄在[50,60)的有3000人，年龄在[60,70]的有4000人，从年龄在[50,70]的购物者中用分层抽样的方法抽取7人，则年龄在[60,70]的应抽取4人，用A1，A2，A3，A4表示，年龄在[50,60)的应抽取3人，用B1，B2，B3表示.
在这7人中随机取出2人中奖的所有可能情况有：
A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2B3，A3A4，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3，共21种情况，
其中中奖的2人中在[50,60)，[60,70]内各有一人有：
A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，共12种情况，
所以所求的概率为P2=1221=47.
【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
20．（2021·山西太原·统考二模）2017年国家发改委、住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收.利用率要达35%以上.某市在实施垃圾分类之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查.已知该市这样的社区有200个，下图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区.
（Ⅰ）根据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值x（精确到整数）；
（Ⅱ）若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这200个社区中“超标”社区的个数.
（Ⅲ）市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，先从这些社区中按垃圾量用分层抽样抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求重点监控社区中至少有1个垃圾量为16,18的社区的概率.
【答案】（Ⅰ）11吨；（Ⅱ）40；（Ⅲ）0.7.
【分析】（Ⅰ）利用组中值结合频率分布直方图可求平均值x.
（Ⅱ）根据频率分布直方图可求超标的频率，从而可求200个社区中“超标”社区的个数.
（Ⅲ）利用古典概型概率的计算公式可求重点监控社区中至少有1个垃圾量为16,18的社区的概率.
【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图得该样本中垃圾量为4,6，6,8，8,10，10,12，12,14，14,16，16,18的频率分别为0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08，
x=5×0.08+7×0.10+9×0.20+11×0.24+13×0.18+15×0.12+17×0.08=11.04≈11，
所以当天这50个社区垃圾量的平均值为11吨；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得该样本中“超标”社区的频率为0.12+0.08=0.2，
所以这200个社区中“超标”社区的概率为0.2，
所以这200个社区中“超标”社区的个数为200×0.2=40；
（Ⅲ）由题意得样本中“超标”社区共有50×0.12+0.08=10个，其中垃圾量为14,16的社区有50×0.12=6个，垃圾量为16,18的社区有50×0.08=4个，按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为14,16的社区有3个，分别记为a，b，c；垃圾量为16,18的社区有2个，分别记为d，e，
从中选取2个的基本事件为a,b，a,c，a,d，a,e，b,c，b,d，b,e，c,d，c,e，d,e，共10个；其中所求事件“至少有1个垃圾量为16,18的社区”为a,d，a,e，b,d，b,e，c,d，c,e，d,e，共7个；
所以至少有1个垃圾量为16,18的社区的概率为P=0.7.
【点睛】思路点睛：利用频率分布直方图计算均值时注意利用组中值来计算，而古典概型概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数计算.
21．（2021春·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为25，34，13.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：
（Ⅰ）三人都合格的概率；
（Ⅱ）三人都不合格的概率；
（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.
【答案】（Ⅰ）110；（Ⅱ）110；（Ⅲ）1人.
【分析】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13，从而根据不同事件的概率求法求得各小题.
【详解】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，
显然事件A，B，C相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).
（Ⅰ）三人都合格的概率：P3=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=25×34×13=110
（Ⅱ）三人都不合格的概率：P0=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=35×14×23=110.
（Ⅲ）恰有两人合格的概率：P2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25×34×23+25×14×13+35×34×13=2360.
恰有一人合格的概率：P1=1-P0-P2-P3=1-110-2360-110=2560=512.
因为512>2360>110，
所以出现1人合格的概率最大.
22．（2022·高一单元测试）为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12.
（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；
（2）请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？
【答案】（1）730；（2）甲与乙进行首场比赛时.
【分析】（1）将情况按照第一场比赛甲胜乙、乙胜甲分类，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解；
（2）由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式分别计算出三种情况下甲获得冠军的概率，比较大小即可得解.
【详解】（1）设事件M为“甲和乙先赛且共进行4场比赛”，则有两类：
第一种是甲和乙比赛，甲胜乙，再甲与丙比赛，丙胜甲，再丙与乙比赛，乙胜丙，再进行第四场比赛；
第二种是甲和乙比赛，乙胜甲，再乙与丙比赛，丙胜乙，再丙与甲比赛，甲胜丙，再进行第四场比赛；
故所求概率PM=23×1-35×12+1-23×1-12×35=730，
所以甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率为730；
（2）设事件A表示甲与乙先赛且甲获得冠军；事件B表示甲与丙先赛且甲获得冠军；事件C表示乙与丙先赛且甲获得冠军，
则PA=23×35+23×1-35×12×23+1-23×1-12×35×23=59；
PB=35×23+35×1-23×1-12×35+1-35×12×23×35=2750；
PC=12×23×35+1-12×35×23=25；
因为59>2750>25，
所以甲与乙进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大.
【点睛】本题考查了互斥事件概率加法公式及独立事件概率乘法公式的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.
专题7.4 概率（能力提升卷）
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2022秋·广东佛山·高二校考期中）从装有大小和形状完全相同的8个红球和2个白球的口袋内任取两个球，下列各对事件中，互斥而不对立的是（ ）
A．“至少一个白球”和“都是红球”
B．“至少一个白球”和“至少一个红球”
C．“恰有一个白球”和“恰有一个红球”
D．“恰有一个白球”和“都是红球”
【答案】D
【分析】根据互斥事件与对立事件的概念依次判断各个选项即可得到结果.
【详解】A选项中“至少一个白球”和“都是红球”二者是互斥事件，同时二者必发生其一，是对立事件，A错误；
B选项中“至少一个白球”和“至少一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，不是互斥事件，B错误；
C选项中“恰有一个白球”和“恰有一个红球”有可能都表示一个白球，一个红球，不是互斥事件，C错误；
D选项中“恰有一个白球”和“都是红球”不可能同时发生，是互斥事件，又由于两个事件之外还有“都是白球”事件，故不是对立事件，D正确.
故选：D.
2．（2022春·上海黄浦·高一上海外国语大学附属大境中学校考期末）已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A．PA∩B=0 B．PA∩B=PAPB
C．PA=1-PB D．PA∪B=1
【答案】D
【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.
【详解】因为事件A与事件B是互斥事件，A、B不一定是互斥事件，所以PA∩B不一定为0，故A错误；
因为A∩B=∅，所以PA∩B=0，而PAPB不一定为0，故B错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，所以C错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，A∪B是必然事件， 所以PA∪B=1，故D正确.
故选：D.
3．（2022·全国·高三专题练习）某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面向上”，则A的（ ）
A．频率为35 B．概率为35 C．频率为12 D．概率接近35
【答案】A
【分析】根据频率和概率的知识确定正确选项.
【详解】依题意可知，事件A的频率为1220=35，概率为12.
所以A选项正确，BCD选项错误.
故选：A
4．（2022·高一课时练习）等可能地从集合1,2,3的所有子集中任选一个，选到非空真子集的概率为（ ）
A．78 B．34 C．1516 D．14
【答案】B
【分析】写出集合1,2,3的所有子集，再利用古典概率公式计算作答.
【详解】集合1,2,3的所有子集有：∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}，共8个，它们等可能，
选到非空真子集的事件A有：{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}，共6个，
所以选到非空真子集的概率为P(A)=68=34.
故选：B
5．（2023·全国·高三专题练习）北京2022年冬奥会于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕，小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶､短道速滑､花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．23
【答案】C
【分析】记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A，B，C，D，用列举法写出所有的基本事件及没有选择冰壶的所有事件，从而求出没有选择冰壶的概率.
【详解】解：记冰壶､短道速滑､花样滑冰､冬季两项分别为A，B，C，D，
则从这四个项目中任选两项的情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种情况，
其中没有选择冰壶的有BC，BD，CD，共3种情况，
所以所求概率为36=12.
故选：C.
6．（2022秋·湖北·高二襄阳四中校联考阶段练习）高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的概率分别为a、b、14，该同学可以进入两个社团的概率为15，且三个社团都进不了的概率为310，则ab=（ ）
A．320 B．110 C．115 D．15
【答案】B
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，列出关于a，b的方程，联立求解即得.
【详解】依题意，该同学可以进入两个社团的概率为15，则ab⋅(1-14)+14a(1-b)+14b(1-a)=15，整理得ab+a+b=45，
又三个社团都进不了的概率为310，则(1-a)(1-b)(1-14)=310，整理得a+b-ab=35，
联立ab+a+b=45与a+b-ab=35，解得ab=110，
所以ab=110.
故选：B
7．（2022·高一课时练习）下列命题中正确的是（ ）
A．事件A发生的概率PA等于事件A发生的频率fnA
B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点
C．掷两枚质地均匀的硬币，事件A为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件B为“两枚都是正面朝上”，则PA=2PB
D．对于两个事件A、B，若PA∪B=PA+PB，则事件A与事件B互斥
【答案】C
【解析】根据频率与概率的关系判断即可得A选项错误；根据概率的意义即可判断B选项错误；根据古典概型公式计算即可得C选项正确；举例说明即可得D选项错误.
【详解】解：对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误；
对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是16，表示一次实验发生的可能性是16，故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；
对于C选项，根据概率的计算公式得PA=12×12×2=12，PB=12×12=14，故PA=2PB，故C选项正确；
对于D选项，设x∈-3,3，A事件表示从-3,3中任取一个数x，使得x∈1,3的事件，则PA=13，B事件表示从-3,3中任取一个数x，使得x∈-2,1的事件，则PA=12，显然PA∪B=56=13+12=PA+PB，此时A事件与B事件不互斥，故D选项错误.
【点睛】本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于D选项的判断，适当的举反例求解即可.
8．（2022·全国·统考高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1,p2,p3，且p3>p2>p1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
【答案】D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p丙.并对三者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12，
则此时连胜两盘的概率为p甲
则p甲=12(1-p2)p1p3+p2p1(1-p3)+12(1-p3)p1p2+p3p1(1-p2)
=p1(p2+p3)-2p1p2p3；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，
则p乙=(1-p1)p2p3+p1p2(1-p3)=p2(p1+p3)-2p1p2p3
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙
则p丙=(1-p1)p3p2+p1p3(1-p2)=p3(p1+p2)-2p1p2p3
则p甲-p乙=p1(p2+p3)-2p1p2p3-p2(p1+p3)-2p1p2p3=p1-p2p3<0
p乙-p丙=p2(p1+p3)-2p1p2p3-p3(p1+p2)-2p1p2p3=p2-p3p1<0
即p甲
p与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
二． 多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2022·全国·高一专题练习）对下面的描述：①频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小；②做n次随机试验，事件A发生m次，则事件A发生的频率就是事件A发生的概率；③频率是不能脱离具体的n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．其中正确的说法有（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】ACD
【分析】根据频率和概率的关系可判断.
【详解】由频率和概率的意义知，频率是反映事件发生的频繁程度，概率是反映事件发生的可能性的大小，故①正确；
由频率和概率的关系知，频率是概率的近似值，是通过大量试验得到的，而概率是频率的稳定值，是确定的理论值，故②错误，③④正确.
故选：ACD.
10．（2022·高一单元测试）某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲､乙､丙､丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
顾客人数 商品
甲
乙
丙
丁
100
√
×
√
√
217
×
√
×
√
200
√
√
√
×
300
√
×
√
×
85
√
×
×
×
98
×
√
×
×
根据表中数据,下列结论正确的是A．顾客购买乙商品的概率最大 B．顾客同时购买乙和丙的概率约为0.2
C．顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率约为0.3 D．顾客仅购买1种商品的概率不大于0.3
【答案】BCD
【解析】根据概率的概念,结合所给数据,逐项判断,即可求得答案.
【详解】对于A,由于购买甲商品的顾客有685位,购买乙商品的顾客有515位,故A错误;
对于B, ∵从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,
∴顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001000=0.2,故B正确;
对于C,∵ 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有100位顾客同时的买了甲､丙､丁,另有200位顾客同时购买了甲､乙､丙,其他顾客最多购买了2种商品,
∴ 顾客在甲､乙､丙､丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100+2001000=0.3,故C正确;
对于D,∵ 从统计表可以看出,在这1000位顾客中,有183位顾客仅购买1种商品,
∴ 顾客仅购买1种商品的概率可以估计为0.183<0.2,故D正确.
故选:BCD.
【点睛】本题考查了概率在实际中的应用,解题关键是掌握概率的定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.
11．（2022·高一单元测试）从甲袋中摸出一个红球的概率是13，从乙袋中摸出一个红球的概率是12，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（ ）
A．2个球都是红球的概率为16 B．2个球中恰有1个红球的概率为12
C．至少有1个红球的概率为13 D．2个球不都是红球的概率为13
【答案】AB
【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件、对立事件的概率逐项分析计算即可判断作答.
【详解】记从甲袋中摸出一个红球的事件为A，从乙袋中摸出一个红球的事件为B，则P(A)=13，P(B)=12，A，B相互独立，
2个球都是红球的事件为AB，则有P(AB)=P(A)⋅P(B)=16，A正确；
2个球中恰有1个红球的事件为AB+AB，则P(AB+AB)=P(AB)+P(AB) =13×(1-12)+(1-13)×12=12，B正确；
至少有1个红球的事件的对立事件是AB，则P(AB)=P(A)⋅P(B)=(1-13)×(1-12)=13，所以至少有1个红球的概率为23，C不正确；
2个球不都是红球的事件是事件AB的对立事件，其概率为1-P(AB)=56，D不正确.
故选：AB
12．（2022·全国·高三专题练习）已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等）.现要从甲､乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是（ ）
A．甲参赛的概率大 B．乙参赛的概率大
C．这种选取规则公平 D．这种选取规则不公平
【答案】BD
【分析】列出由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”的所有可能的情况，计算抽取的“三位递增数”是偶数的个数，即可求得甲乙参赛的概率，比较可得答案.
【详解】由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135,145，234，235，245，345，共10个.
记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的样本点有124，134，234，共3个，
所以PA=310.
记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个，所以PB=710.
因为PA
三． 填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2022·广西南宁·统考模拟预测）为了迎接春节，小王买了红､黄､紫三种颜色的花各一盆，准备并排摆放在自家阳台上，则红和紫两种颜色的花不相邻的概率为___________.
【答案】13
【分析】列出所有可能的基本事件和符合条件的基本事件，再利用古典概型的概率公式进行求解.
【详解】红､黄､紫三种颜色的花依次摆放的方法有：
（红､黄､紫），（红､紫､黄），（黄､红､紫），（黄､紫､红），
（紫､红､黄），（紫､黄､红），共6种不同的情况，
其中满足条件的是（红､黄､紫），（紫､黄､红），共2种情况，
所以红和紫两种颜色的花不相邻的概率为26=13.
故答案为：13.
14．（2019·全国·高考真题）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.
【答案】0．98.
【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．
【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为10×0.97+20×0.98+10×0.99=39.2，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.240=0.98．
【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．
15．（2022秋·上海徐汇·高二位育中学校考期末）甲､乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲､乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率为___________.
【答案】512
【分析】两轮活动猜对3个成语,相当于事件“甲猜对1个,乙猜对2个”、事件“甲猜对2个,乙猜对1个”的和事件发生,根据独立事件概率求法,即可得解.
【详解】解：设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个,2个成语的事件,B1,B2分别表示乙两轮猜对1个,2个成语的事件.根据独立事件的性质,可得
PA1=2×34×14=38,PA2=342=916
PB1=2×23×13=49,PB2=232=49
设A=“两轮活动‘星队’猜对3个成语”,则A=A1B2∪A2B1,且A1B2与A2B1互斥,A1与B2,A2与B1分别相互独立,
所以PA=PA1B2+PA2B1 =PA1PB2+PA2PB1 =38×49+916×49=512
因此,“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是512.
故答案为：512
16．（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳铁路实验中学校考期末）2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲､乙､丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，丙购买到冰墩墩的概率为13，则甲，乙､丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为___________.
【答案】23
【分析】先算出甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案.
【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率P1=1-12=12.
同理，丙购买不到冰墩墩的概率P2=1-13=23.
所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率P3=P1⋅P2=12×23=13，于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率P=1-P3=23.
故答案为：23.
四． 解答题（共6小题，满分70分）
17．（2022·上海·高二专题练习）甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：
(1)两人都中靶；
(2)恰好有一人中靶．
【答案】(1)0.72；
(2)0.26.
【分析】（1）设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”．利用独立事件的概率公式求解；
（2）利用概率的加法公式和事件独立事件的概率公式求解.
【详解】（1）解：设A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则A=“甲脱靶”，B=“乙脱靶”．
由于两个人射击的结果相互不影响，所以A与B相互独立．
由已知可得，PA=0.8，PB=0.9，PA=0.2，PB=0.1
根据题意知AB=“两人都中靶”，由事件独立性的定义得
PAB=PAPB=0.8×0.9=0.72．
（2）解：由题意知“恰好有一人中靶”=(AB)∪(AB)，且AB与AB互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义得P(AB)∪(AB)=PAB+PAB=PAPB+PAPB
=0.8×0.1+0.9×0.2=0.26.
18．（2020秋·福建·高二福建师大附中校考期中）某科研团队发现了一种新型单细胞生物，在长时间观测后，科研团队发现每个活细胞在每一分钟内都会独立且等可能地发生以下四件事中的一件：①死亡；②保持原状；③分裂成两个活细胞；④分裂成三个活细胞.若初始时在一条件适宜的孤立系统中放置两个活细胞，试计算理论上在无限长时间后该系统中仍有活细胞存活的概率.
【答案】22-2.
【解析】设一个细胞时它存活的概率为x，变成两个细胞后有存活的概率会变成1-(1-x)2，列出方程，求得x=2-2，进而求得两个细胞初始的时候无限时间后还有细胞存活的概率.
【详解】设一个细胞时它存活的概率为x，则x是与当前时间无关的，
一分钟后及“无限长时间后仍有存活的细胞的概率”还是x，
变成两个细胞后有存活的概率会变成1-(1-x)2，
类推可得方程x=0×14+x×14+[1-(1-x)2]×14+[1-(1-x)3]×14，
整理得x2-4x+2=0，解得x=2-2或x=2+2（舍去），
所以两个细胞无限时间后还有细胞存活的概率为P=1-(1-x)2=22-2.
【点睛】方法点睛：由一个细胞时存活的概率为x，得出两个细胞后有存活的概率会变成1-(1-x)2，类推得出方程x=0×14+x×14+[1-(1-x)2]×14+[1-(1-x)3]×14是解答的关键.
19．（2022春·湖南永州·高二永州市第一中学校考阶段练习）2020年“双十一”购物节之后，某网站对购物超过1000元的20000名购物者进行年龄调查，得到如下统计表：
分组编号
年龄分组
购物人数
1
[20,30)
5500
2
[30,40)
4500
3
[40,50)
3a
4
[50,60)
3000
5
[60,70]
4a
（1）从这20000名购物者中随机抽取1人，求该购物者的年龄不低于50岁的概率；
（2）从年龄在[50,70]的购物者中用分层抽样的方法抽取7人进一步做调查问卷，再从这7人中随机抽取2人中奖，求中奖的2人中年龄在[50,60)，[60,70]内各有一人的概率.
【答案】（1）0.35；（2）47.
【解析】（1）根据参与调查的总人数确定a的值，进而求得购物者的年龄不低于50岁的概率；
（2）年龄在[50,70]的购物者中用分层抽样的方法抽取7人，则年龄在[60,70]的应抽取4人，年龄在[50,60)的应抽取3人，利用古典概型，确定中奖的2人中年龄在[50,60)，[60,70]内各有一人的概率.
【详解】（1）因为参与调查的总人数为20000人，
由表中数据可得5500+4500+3a+3000+4a=20000，解得a=1000，
所以从这20000名购物者中随机抽取1人，该购物者的年龄不低于50岁的概率为P1=3000+4a20000=700020000=0.35.
（2）由（1）知，这20000名购物者中，年龄在[50,60)的有3000人，年龄在[60,70]的有4000人，从年龄在[50,70]的购物者中用分层抽样的方法抽取7人，则年龄在[60,70]的应抽取4人，用A1，A2，A3，A4表示，年龄在[50,60)的应抽取3人，用B1，B2，B3表示.
在这7人中随机取出2人中奖的所有可能情况有：
A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A1B3，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A2B3，A3A4，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3，共21种情况，
其中中奖的2人中在[50,60)，[60,70]内各有一人有：
A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，共12种情况，
所以所求的概率为P2=1221=47.
【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
20．（2021·山西太原·统考二模）2017年国家发改委、住建部发布了《生活垃圾分类制度实施方案》，规定46个城市在2020年底实施生活垃圾强制分类，垃圾回收.利用率要达35%以上.某市在实施垃圾分类之前，对人口数量在1万左右的社区一天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查.已知该市这样的社区有200个，下图是某天从中随机抽取50个社区所产生的垃圾量绘制的频率分布直方图.现将垃圾量超过14吨/天的社区称为“超标”社区.
（Ⅰ）根据上述资料，估计当天这50个社区垃圾量的平均值x（精确到整数）；
（Ⅱ）若以上述样本的频率近似代替总体的概率，请估计这200个社区中“超标”社区的个数.
（Ⅲ）市环保部门决定对样本中“超标”社区的垃圾来源进行调查，先从这些社区中按垃圾量用分层抽样抽取5个，再从这5个社区随机抽取2个进行重点监控，求重点监控社区中至少有1个垃圾量为16,18的社区的概率.
【答案】（Ⅰ）11吨；（Ⅱ）40；（Ⅲ）0.7.
【分析】（Ⅰ）利用组中值结合频率分布直方图可求平均值x.
（Ⅱ）根据频率分布直方图可求超标的频率，从而可求200个社区中“超标”社区的个数.
（Ⅲ）利用古典概型概率的计算公式可求重点监控社区中至少有1个垃圾量为16,18的社区的概率.
【详解】（Ⅰ）由频率分布直方图得该样本中垃圾量为4,6，6,8，8,10，10,12，12,14，14,16，16,18的频率分别为0.08，0.1，0.2，0.24，0.18，0.12，0.08，
x=5×0.08+7×0.10+9×0.20+11×0.24+13×0.18+15×0.12+17×0.08=11.04≈11，
所以当天这50个社区垃圾量的平均值为11吨；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得该样本中“超标”社区的频率为0.12+0.08=0.2，
所以这200个社区中“超标”社区的概率为0.2，
所以这200个社区中“超标”社区的个数为200×0.2=40；
（Ⅲ）由题意得样本中“超标”社区共有50×0.12+0.08=10个，其中垃圾量为14,16的社区有50×0.12=6个，垃圾量为16,18的社区有50×0.08=4个，按垃圾量用分层抽样抽取的5个社区中，垃圾量为14,16的社区有3个，分别记为a，b，c；垃圾量为16,18的社区有2个，分别记为d，e，
从中选取2个的基本事件为a,b，a,c，a,d，a,e，b,c，b,d，b,e，c,d，c,e，d,e，共10个；其中所求事件“至少有1个垃圾量为16,18的社区”为a,d，a,e，b,d，b,e，c,d，c,e，d,e，共7个；
所以至少有1个垃圾量为16,18的社区的概率为P=0.7.
【点睛】思路点睛：利用频率分布直方图计算均值时注意利用组中值来计算，而古典概型概率的计算，关键是基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数计算.
21．（2021春·黑龙江哈尔滨·高一校考期末）某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为25，34，13.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：
（Ⅰ）三人都合格的概率；
（Ⅱ）三人都不合格的概率；
（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.
【答案】（Ⅰ）110；（Ⅱ）110；（Ⅲ）1人.
【分析】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13，从而根据不同事件的概率求法求得各小题.
【详解】记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，
显然事件A，B，C相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13
设恰有k人合格的概率为Pk(k=0,1,2,3).
（Ⅰ）三人都合格的概率：P3=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=25×34×13=110
（Ⅱ）三人都不合格的概率：P0=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=35×14×23=110.
（Ⅲ）恰有两人合格的概率：P2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25×34×23+25×14×13+35×34×13=2360.
恰有一人合格的概率：P1=1-P0-P2-P3=1-110-2360-110=2560=512.
因为512>2360>110，
所以出现1人合格的概率最大.
22．（2022·高一单元测试）为了丰富业余生活，甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛.比赛规则如下：①每场比赛有两人参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的人与未参加此场比赛的人进行下一场的比赛；③依次循环，直到有一个人首先获得两场胜利，则本次比赛结束，此人为本次比赛的冠军.已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为35，乙胜丙的概率为12.
（1）求甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率；
（2）请通过计算说明，哪两个人进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大？
【答案】（1）730；（2）甲与乙进行首场比赛时.
【分析】（1）将情况按照第一场比赛甲胜乙、乙胜甲分类，由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式即可得解；
（2）由独立事件的乘法公式计算出概率，再由互斥事件概率的加法公式分别计算出三种情况下甲获得冠军的概率，比较大小即可得解.
【详解】（1）设事件M为“甲和乙先赛且共进行4场比赛”，则有两类：
第一种是甲和乙比赛，甲胜乙，再甲与丙比赛，丙胜甲，再丙与乙比赛，乙胜丙，再进行第四场比赛；
第二种是甲和乙比赛，乙胜甲，再乙与丙比赛，丙胜乙，再丙与甲比赛，甲胜丙，再进行第四场比赛；
故所求概率PM=23×1-35×12+1-23×1-12×35=730，
所以甲和乙先赛且共进行4场比赛的概率为730；
（2）设事件A表示甲与乙先赛且甲获得冠军；事件B表示甲与丙先赛且甲获得冠军；事件C表示乙与丙先赛且甲获得冠军，
则PA=23×35+23×1-35×12×23+1-23×1-12×35×23=59；
PB=35×23+35×1-23×1-12×35+1-35×12×23×35=2750；
PC=12×23×35+1-12×35×23=25；
因为59>2750>25，
所以甲与乙进行首场比赛时，甲获得冠军的概率最大.
【点睛】本题考查了互斥事件概率加法公式及独立事件概率乘法公式的应用，考查了运算求解能力与分类讨论思想，属于中档题.
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