2022-2023学年湖南省郴州市永兴县重点中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖南省郴州市永兴县重点中学八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由元降为元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  同时满足直线：直线：的图象是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  若，是菱形两条对角线的长，且、是一元二次方程的两个根，则菱形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图，直线是一次函数的图象，且直线过点，则下列结论错误的是(    )

A.
B. 直线过坐标为的点
C. 若点，在直线上，则
D.
 

5.  将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图，某电信公司推出两种不同的收费标准：种方式是月租元，种方式是月租元，一个月本地网内打出时间分与打出电话费元的函数关系图象，当打出分钟时，这两种方式的电话费相差(    )

A. 元
B. 元
C. 元
D. 元

7.  已知关于的方程有两个实数解，求的取值范围(    )

A.  B. 且
C.  D. 且

8.  如图，的顶点坐标分别为，，，将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  已知一直线平行于直线，且与直线的交点在轴上，则这条直线的解析式______ ．

10.  已知，是方程的两个实数根，则的值是______ ．

11.  如图，平面直角坐标系中，平行四边形的顶点坐标为，点坐标为，若直线平分平行四边形的面积，则的值为______ ．

12.  如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为______ ．

13.  三角形两边的长分别是和，第边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是______．

14.  如图，矩形的边、分别在轴、轴的正半轴上，顶点的坐标为，点为对角线上一点若，则点到轴的距离为______ ．

15.  非零实数，满足，，则        ．

16.  已知关于，的二元一次方程组的解都为非负数，若，则的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
用适当的方法解下列方程：
；
．

18.  本小题分
已知关于的函数．
若函数为正比例函数，求的值；
若随的增大而减小，求的取值范围．

19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与直线相交于点，直线与轴相交于点．
求的值．
求的面积．
根据图象，直接写出关于的不等式的解集．

 

20.  本小题分
某中学开展了关于“构建书香校园”的读书活动，以建设书香校园、和谐校园为目标，引领广大师生“走进五千年文明，品读祖国经典文章”学校计划采购两类图书，通过市场了解到每套类图书的价格是每套类图书价格的倍，用元购买的类图书比用元购买的类图书多套．
、两类图书每套分别是多少元？
现学校计划采购套图书，且类图书的数量不低于类图书数量的一半，该校应该如何采购两类图书才能使得总费用最低，并求出最低费用．

21.  本小题分
已知关于的方程，
求证：无论取何实数值，方程总有实数根；
若等腰三角形的一边，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．

22.  本小题分
等边，边长为，点从点出发以向点运动，同时点以向点运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为．
求当为直角三角形时的时间；
的面积能否为，若存在求时间，若不存在请说明理由．

23.  本小题分
如图，直线与坐标轴分别交于点，，直线与直线关于轴对称．
求直线的解析式．
若点在的内部，求的取值范围．
若过点的直线将分成的两部分的面积比为：，直接写出的解析式．

24.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：与坐标轴交于，两点，直线：与直线交于点．
求点坐标；
在轴上有一点，在的右侧，若，求点坐标；
在第小题的条件下，点的坐标为，若在轴上存在一个点，使得是等腰三角形，请直接写出点坐标．

25.  本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根．
试求的取值范围；
若，求的值；
若此方程的两个实数根为，，且满足，试求的值．

26.  本小题分
如图，函数的图象分别与轴、轴交于、两点，点在轴上，平分．
求点、的坐标；
求的面积；
点在坐标平面内，且以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
故选：．
设该药品平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格降价前的价格降价的百分率，则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此即可列方程求解．
此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到已知量和未知量之间的等量关系，列出方程即可．

2.【答案】 

【解析】解：直线：，
该直线经过第一、三、四象限，
直线：，
该直线经过第三、四象限，且平行于轴，
故选：．
根据一次函数的性质和题目中的给出的函数解析式，可以写出其经过的象限，然后即可判断哪个选项符合题意．
本题考查一次函数的图象，解答本题的关键是明确一次函数的性质，可以判断出直线经过的象限．

3.【答案】 

【解析】解：，为一元二次方程的两根，
，，





，
菱形的边长为，
菱形的周长为．
故选：．
利用根与系数的关系可得出，，进而可得出的值，利用勾股定理及菱形的性质，可求出菱形的边长，再利用菱形的周长计算公式，即可求出菱形的周长．
本题考查了根与系数的关系、菱形的性质以及勾股定理，利用根与系数的关系及勾股定理，求出菱形的边长是解题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：该一次函数的图象经过第二、三、四象限，且与轴的交点位于轴下方，
，，
，故A正确，不符合题意；
将点代入，得：，
，
直线的解析式为，
当时，，
直线过坐标为的点，故B正确，不符合题意；
由图象可知该函数的值随的增大而减小，
又，
，故C正确，不符合题意；
该函数的值随的增大而减小，且当时，，
当时，，即，故D错误，符合题意．
故选：．
根据函数图象可知，，即得出，可判断；将点代入，即得出，即直线的解析式为，由当时，，即可判断；由图象可知该函数的值随的增大而减小，从而即可得出，可判断C正确；由该函数的值随的增大而减小，且当时，，即得出当时，，从而可判断．
本题考查一次函数的图象和性质．由图象确定出，，的值随的增大而减小是解题关键．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
．
故选：．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以，接着把方程两边加上，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．
本题考查了解一元二次方程配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：设种方式直线的解析式为：，种方式直线的解析式为：，由图象可得：
或，
解得：，，
这两个函数的解析式分别为：，，
当时，
，，
两种方式的电话费相差：
故选：．
根据图象先求出两条直线的解析式，然后时代入各自的解析式就可以求出各自的付费情况从而求出结论．
本题是一道一次函数的综合试题，考查了运用一次函数解决实际问题的能力，解决本题的关键是读懂题意．求出解析式是关键．

7.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个实数解，
且，，
解得：且，
故选：．
根据二次项系数非零及根的判别式，以及二次根式有意义的条件，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，二次根式有意义的条件，根据二次项系数非零及根的判别式，列出关于的一元一次不等式组是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：将代入得，
解得，
点向右平移单位，
线段扫过的面积为．
故选：．
将点纵坐标代入直线解析式，可得向右平移的长度，根据平行四边形面积底高求解．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握一次函数与方程的关系．

9.【答案】 

【解析】解：直线平行于直线，
直线与直线斜率相等，
，
直线与轴的交点为，
直线过点，
，
，
这条直线的解析式为：．
故答案为：．
根据两直线平行斜率相等和轴上点的特点分析即可．
本题考查一次函数的性质，知道两直线平行斜率相等和轴上点的特点是关键．

10.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，
把代入方程得：，即，
则原式

．
故答案为：．
利用根与系数的关系求出，把代入方程得到关系式，变形后代入原式计算即可求出值．
本题考查了根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：连接、交于点，
则点的坐标为，
直线平分▱的面积，
直线经过点，
则，
解得．
故答案为：．
连接、交于点，根据题意得到直线经过点，根据点坐标为，点坐标为求出点的坐标，代入计算即可．
本题考查的是一次函数的性质、平行四边形的性质和中心对称的性质，掌握平行四边形是一个中心对称图形和中心对称图形的性质是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：把代入中，得：，
解得：；
根据图象可知，直线在上面的部分，且直线在轴上面部分的图象所对应的自变量为的解集：
即：不等式的解集为：；
故答案为：．
以两函数图象交点为分界，比较直线在上面的部分，再以与交点为分界，比较直线在轴上面部分，同时满足的自变量的取值即为不等式的解集．
本题主要考查了根据两直线的交点求不等式的解集，利用数形结合的思想求解是解题的关键．

13.【答案】或 

【解析】解：，
，
解得：，，
当时，则三角形是等腰三角形，如图：，，是高，
，，
；
当时，如图，，，，
，
是直角三角形，，
．
该三角形的面积是：或．
故答案为：或．
由，可利用因式分解法求得的值，然后分别从时，是等腰三角形；与时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解．

14.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，
由待定系数法可得直线的解析式为，
设点到的坐标为，
，
解得或舍弃，
点到轴的距离为点的纵坐标．
故答案为：．
由点的坐标为可得直线的解析式为，设点到的坐标为，根据两点间距离公式可得解得的值，进而求得点的纵坐标即可解答．
本题主要考查了矩形的性质、一次函数的应用等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：实数，满足等式，，
，是方程的两实数根，
，，
，
故答案为：．
根据已知判断出，是方程的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解．
本题考查一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到，是方程的两实数根是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：，
解得：，
二元一次方程组的解都为非负数，
，
解得：．
，随的增大而增大，
当时，，
故答案为：．
先求出方程组的解，再由二元一次方程组的解都为非负数，可得关于的不等式组，确定的取值范围，再由一次函数的增减性求解即可．
本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组及一次函数的基本性质，掌握解二元一次方程组，解一元一次不等式组的方法是解题的关键．

17.【答案】解：
，，，
，
，
，；

，
则，
，
则或，
，． 

【解析】利用公式法解方程即可；
整理后，利用因式分解法解方程即可．
此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键．

18.【答案】解：关于的函数是正比例函数，
，
解得：，
的值为；
随的增大而减小，
，
，
的取值范围为． 

【解析】利用正比例函数的定义，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；
利用一次函数的性质，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质以及正比例函数的定义，解题的关键是：牢记“一般地，形如是常数，的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数”；牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式；牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”．

19.【答案】解：直线过点，
，
解得：．
直线过点，
，
解得：，
直线的解析式为．
当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为，
，
．
观察函数图象，可知：当时，直线在直线的上方，
不等式的解集为． 

【解析】本题考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，难度不大．
由点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出值；
由点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点、的值，由点、、的坐标利用三角形的面积公式可求出的面积；
根据两直线的上下位置关系结合点的横坐标，即可得出不等式的解集．

20.【答案】解：设种图书每套元，则种图书每套元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
此时，
答：种图书每套元，种图书每套元；
设学校购买种图书套，则购买种图书套，购买图书的总费用为元，
由题意得：，
，
随的增大而增大，
种图书数量不低于种图书数量的一半，
，
解得，
当时，最小，最小值为，
此时套，
答：学校购买种图书套，则购买种图书套时，总费用最低，最低费用为元． 

【解析】设种图书每套元，则种图书每套元，根据用元购买的种图书比用元购买的种图书多套列出方程，解方程即可，注意验根；
：设学校购买种图书套，则购买种图书套，购买图书的总费用为元，根据总费用两种图书费用之和列出函数解析式，再根据种图书数量不低于种图书数量的一半求出的取值范围，由函数的性质求最值．
本题考查一次函数的应用，分式方程的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，关键是找到数量关系列出函数解析式或方程和不等式．

21.【答案】证明：
无论取何值，方程总有实数根．
解：若为底边，则，为腰长，则，则．
，解得：．
此时原方程化为
，即．
此时三边为，，不能构成三角形，故舍去；
若为腰，则，中一边为腰，不妨设
代入方程：

则原方程化为

，
即，
此时三边为，，能构成三角形，
综上所述：三边为，，．
周长为． 

【解析】计算方程的根的判别式，若，则证明方程总有实数根；
已知，则可能是底，也可能是腰，分两种情况求得，的值后，再求出的周长．注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验．
重点考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．

22.【答案】解：根据题意有，，即，
，
，
当为直角三角形，且时，如图，
等边中，，
，
，
，
解得：；
当为直角三角形，且时，如图，
等边中，，
，
，
，
解得：；
即的值为或者；
存在，理由如下：
过点作于点，如图，
，，，
，
 ，
 ，
，
，
令，
，
整理得：，
解得：，或者，
，
，
即的值为． 

【解析】根据题意有，，即，即可得，分当为直角三角形，且时和当为直角三角形，且时，两种情况讨论，根据含角的直角三角形的性质列出一元一次方程，解方程即可求解；
过点作于点，先求出，即有，进而有，即，令，可得，解方程即可求解．
本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用等知识，明确题意，根据含角的直角三角形的性质正确列式，是解答本题的关键．

23.【答案】解：在中，令得，令得，
，，
直线与直线关于轴对称，
点与点关于轴对称，
，
设直线的解析式为，把点和点的坐标代入得：
，
解得，
直线的解析式为；
当点在直线上时，，
解得，
当点在直线上时，，
解得，
当点在的内部时，的取值范围是；
，，，
；
设直线交于，：：，过作于，如图：

，
，
，
在中，令得，
，
设直线解析式为，
，
解得，
直线解析式为；
设直线交于，：：，过作于，如图：

同理可得，
，
在中，令得，
，
设直线解析式为，
，
解得，
直线解析式为；
综上所述，直线的解析式为或． 

【解析】求出，，由直线与直线关于轴对称，得，用待定系数法可得直线的解析式为；
当点在直线上时，，当点在直线上时，，即可得当点在的内部时，的取值范围是；
求出；分两种情况：设直线交于，：：，过作于，求得，即得直线解析式为；设直线交于，：：，过作于，同理可得直线解析式为．
本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积等知识，解题的关键是分类讨论思想，数形结合的应用．

24.【答案】解：联立直线和得，
解得，
；
设点的横坐标为，如图，

直线与坐标轴交于，两点，
把代入得：，
把代入得，
解得：，
，，
，
，
解得：，
点的坐标为；
，，
；
当时，如图所示：

，
，
此时点的坐标为；
当，点在点下面时，如图所示：

，，
，
此时点的坐标为；
当，点在点上面时，如图所示：

，，
，
此时点的坐标为；
当时，如图所示：

设，则，
在中，，
即，
解得：，
此时点的坐标为；
综上分析可知，点的坐标为：或或或． 

【解析】联立直线和，解方程组即可得出点的坐标；
设点的横坐标为，求出点、的坐标，利用三角形的面积公式列出方程，解方程即可得出结论；
分四种情况：当时，当，点在点下面时，当，点在点上面时，当时，分别画出图形求出结果即可．
本题是一次函数综合题，考查的一次函数的性质、三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是运用分类思想，画出图形，利用等腰三角形的腰长相等列方程求解．

25.【答案】解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得：；
方程的两个实数根为，，
，，
，
，
，
整理得：，
解得：或者，
根据有，
即；
由可知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
根据有，
即． 

【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；
由根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的方程，解之即可得出的值；
由可知：，，根据，可得，即由，可得，进而可得，则有，即，问题得解．
本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，灵活运用完全平方公式的变形是解题的关键．

26.【答案】解：在中，令可得，解得，令，解得，
，；
如图，过点作于点，

平分，
，
由可知，，
，
，
，解得，
；
设，则，，且，
为等腰直角三角形，
有、和三种情况，
当时，则有且，
即，解得或，
此时点坐标为或；
时，则有且，
即，解得或，
此时点坐标为或；
时，则有且，
即解得或
此时点坐标为或；
综上可知使为等腰直角三角形的点坐标为或或或或或． 

【解析】本题为一次函数的综合应用，涉及函数图象与坐标轴的交点、勾股定理、三角形的面积、角平分线的性质、等腰直角三角形的性质、分类讨论思想及方程思想等知识．
在函数解析式中分别令和，解相应方程，可求得、的坐标；
过作于点，由勾股定理可求得，由角平分线的性质可得，则可用表示出面积，可求得，则可求得的面积；
可设，则可分别表示出、，分、和三种情况，分别可得到关于、的方程组，可求得点坐标．