2022-2023学年河南省南阳市五校联考八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省南阳市五校联考八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算中，正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  为了调查国庆期间游客在龙门石窟、云台山、少林寺和老君山这四个风景区旅游的满意度，在以下四个方案中，最合理的方案是(    )

A. 在多家旅游公司调查名导游 B. 在龙门石窟景区调查名游客
C. 在少林寺调查名游客 D. 在四个景区各调查名游客

4.  分别以下列四组数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

5.  我市某校为了解八年级学生开展“综合与实践”活动的情况，抽样调查了部分八年级学生上学期参加“综合与实践”活动的天数，根据调查结果所得的数据绘制了如图所示的条形统计图，根据图中的信息可知，这次调查的八年级的总人数为(    )

A. 人 B. 人 C. 人 D. 人

6.  如图，≌，若，，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  九章算术中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”例如面积为的正方形的边长称为“面”，关于“面”的值说法正确的是(    )

A. 是和之间的实数 B. 是和之间的实数
C. 是和之间的实数 D. 是和之间的实数

8.  如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧交于点，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作直线交于点，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，是的角平分线，，垂足为若的面积为，，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在中，，，是边上的中线，且，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  如图，，要使≌，还需添加一个条件，这个条件可以是______ 写出一个即可

12.  因式分解：        ．

13.  若，，则 ______ ．

14.  已知等腰三角形的两边长，，满足，那么这个等腰三角形的周长为______ ．

15.  如图，在中，，，，若动点从点出发，以的速度沿折线运动设运动时间为当点运动到恰好到点和点的距离相等的位置时，的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

18.  本小题分
如图，在中，是边上的一点，且．
请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线，交于点保留作图痕迹，不写作法，标明字母
连接，试猜想与的数量关系，并证明你的猜想．

19.  本小题分
如图，方格中小正方形的边长为，的三个顶点都在格点网格线的交点上．
请判断是不是直角三角形，并说明理由．
求的面积．

20.  本小题分
阅读下列材料，完成后面的任务．
完全平方公式的变形及其应用．
我们知道，完全平方公式有：；．
在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形：
；；
；．
根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题．
例如：已知，，求的值．
解：．
任务：已知，，则 ______ ．
已知，，求的值．

21.  本小题分
我市某实验学校举行了关于“喜迎二十大，奋进新征程”的知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，随机抽取了部分参赛学生的成绩，并整理制作出如下不完整的统计表和统计图．

请根据图表信息解答以下问题：
______ ，一共抽取了______ 个参赛学生的成绩，并补全频数分布直方图．
计算扇形统计图中“”组对应的圆心角的度数．
若该校共有名学生参赛，请估计该校参赛学生成绩在分及以上的人数．

22.  本小题分
如图，在中，，点，，分别在，，边上，且，．
求证：是等腰三角形．
当时，求的度数．
若，请判断是否为等边三角形，并说明理由．

23.  本小题分
如图，是内一点，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
求证：．
交于点，当，，三点共线时，直接写出的度数．
若将图中的点移至边上，将绕点逆时针旋转得到，连接将平移得到点与点对应，连接，如图所示判断，的数量关系和位置关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
根据算术平方根的定义计算即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，掌握算术平方根的定义是关键．

2.【答案】 

【解析】解：、，故本选项错误；
B、，故本选项正确；
C、，故本选项错误；
D、，故本选项错误；
故选：．
根据同底数幂的除法法则、同底数幂的乘法及合并同类项的法则，分别进行各选项的判断即可．
本题考查了同底数幂的乘除法则、合并同类项的法则，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．

3.【答案】 

【解析】解：调查的目的是“为了解游客对龙门石窟、云台山、少林寺和老君山这四个风景区旅游的满意程度“，导游不能代表游客，因此选项A不符合题意；
B.在龙门石窟景区调查名游客，具有片面性，不能准确反映出“云台山、少林寺和老君山”的满意度，因此选项B不符合题意；
C.在少林寺调查名游客，具有片面性，不能准确反映出“龙门石窟、云台山和老君山”的满意度，因此选项C不符合题意；
D.在上述四个景区各调查名游客，比较具有代表性，因此选项D符合题意；
故选：．
根据选择调查对象的代表性、广泛性和可操作性，逐项进行判断即可．
本题考查调查收集数据的过程与方法，理解选择调查对象的代表性、广泛性和可操作性是正确判断的关键．

4.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
C、，不能构成直角三角形，故本选项不合题意；
D、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能作出判断．

5.【答案】 

【解析】解：由条形统计图可知：
这次调查的八年级的总人数为：，
故选：．
根据条形统计图中的数据，可以计算出这次调查的八年级的总人数．
本题考查条形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

6.【答案】 

【解析】解：≌，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据全等三角形的性质求出，由三角形内角和定理求出，进而求出的度数．
本题主要考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应角相等是解决问题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：，
，
“面”是和之间的实数，
故选：．
估算出的近似值即可判断．
本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：由尺规作图可知，，
，
，，
，
，
．
故选：．
由尺规作图可知，，则，由，可得，即可得，在中，结合三角形内角和定理即可得出答案．
本题考查尺规作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握垂线的基本作图方法是解答本题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：作于，如图，

是的角平分线，，，
，
，
，
，
．
故选：．
作于，如图，根据角平分线的定义得到，再利用三角形面积公式得到，然后求出的长．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

10.【答案】 

【解析】解：延长到，使，连接，

在与中，
，
≌，
，
在中，，，，
，
．
在中，，，，
，
．
故选：．
延长到，使，连接，先运用证明≌，得出，再由勾股定理的逆定理证明出，然后在中运用勾股定理求出的长，从而得出．
本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键．

11.【答案】答案不唯一 

【解析】解：条件是，
理由是：在和中，
，
≌，
故答案为：答案不唯一．
此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合全等三角形的判定定理即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有．

12.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：，，
．
故答案为：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确将原式变形是解题关键．

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
即，
，，
这个等腰三角形的三边长分别为，，或，，不符合三角形三边关系舍去，
这个等腰三角形的周长为：．
故答案为：．
先根据非负数的性质求出、的值，再由三角形的三边关系判断出等腰三角形的腰与底边长，进而可得出结论．
本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系的知识，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系．

15.【答案】或 

【解析】解：在中，，，，
则由勾股定理得到：
当点在上时，
设存在点，使得，
此时，，
在中，，
即：，
解得：，
当时，；
当点在上时，
此时，
当时，；
故答案为：或．
设存在点，使得，此时，，根据勾股定理列方程即可得到结论；
考查了勾股定理，角平分线的性质，此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

16.【答案】解：原式

；
原式

． 

【解析】利用算术平方根的意义，立方根的意义，绝对值的意义和有理数的乘方法则化简运算即可；
利用单项式乘多项式的法则与平方差公式进行化简运算即可．
本题主要考查了实数的运算，平方差公式，多项式乘单项式，算术平方根的意义，立方根的意义，绝对值的意义和有理数的乘方法则，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．

17.【答案】解：


，
当，时，原式． 

【解析】根据多项式乘多项式和完全平方公式可以将括号内的式子展开，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式可以将题目中的式子化简，最后将、的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

18.【答案】解：如图，为所求；

．
证明如下：平分，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】利用基本作图作的平分线；
通过证明≌得到．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．

19.【答案】解：不是直角三角形，理由如下：
根据勾股定理，得，，，
，
不是直角三角形；
．
故的面积是． 

【解析】根据勾股定理求出的三条边长，再根据勾股定理的逆定理判定即可；
根据长方形和三角形面积公式计算即可求解．
本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积．灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键．

20.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，，
两等式相减得：，
；
故答案为：；
，，
，
，
，
，



．
利用完全平方公式列等式，再利用等式的性质计算；
利用完全平方公式列等式，再整体代入求值即可．
本题考查了完全平方公式，代数式求值，解题的关键是掌握完全平方公式和整体代入求值．

21.【答案】   

【解析】解：本次抽取的学生有：人，
人；．
补全频数分布直方图如下．

“组”所对应的圆心角的度数为．
人．
答：估计该校参赛学生成绩在分及以上的人数为人．
根据组人数和所占的百分比可以得到本次调查的人数，再根据频数分布直方图可以得到的值，根据所求的值可以将直方图补充完整．
根据直方图中的数据，可以计算出扇形统计图中“”对应的圆心角度数．
根据直方图中的数据，可以计算出所抽取学生成绩为“优”的学生数是多少人．
本题考查频数分布直方图、频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意．利用数形结合的思想解答．

22.【答案】证明：，
．
在和中，
，
≌，
，
是等腰三角形．
解：≌，
．
，
，
．
在中，，，
，
；
解：是等边三角形．
理由：由知．
，
．
，
，
，
是等边三角形，
．
由知是等腰三角形，即，
是等边三角形． 

【解析】根据可得，即可求证≌，即可解题；
根据全等三角形的性质得到，于是得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
由知：是等腰三角形，，由知，，于是得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

23.【答案】证明：将绕点逆时针方向旋转至，
，，
．
在和中，
，
≌，
；
解：如图，

将绕点逆时针方向旋转至，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
；
解：，，
理由：，
，
．
平移得到，
，，
，
．
在和中，
，
≌，
，．
，
，
． 

【解析】根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
通过证明≌，可得，，根据三角形外角的性质得，再利用三角形内角和定理即可求解；
通过证明≌，由全等知，，由，可得，从而得到．
本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理等知识，证明三角形全等是解本题的关键．