2024届湖南师范大学附属中学高三（高二期末）摸底考试数学试题含答案

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  湖南师大附中2021级高三摸底考试试卷数 学命题人：张汝波 苏萍 柳叶 杨章远 审题人：高二备课组时量：120分钟 满分：150分得分：__________第I卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则等于（    ）A.    B.    C.    D.2.若复数满足，其中是虚数单位，则复数的虚部是（    ）A.1    B.-1    C.    D.3.函数的图象大致是（    ）A.    B.C.    D.4.快递公司计划在某货运枢纽附近投资配建货物分拣中心.假定每月的土地租金成本与分拣中心到货运枢纽的距离成反比，每月的货物运输成本与分拣中心到货运枢纽的距离成正比.经测算，如果在距离货运枢纽处配建分拣中心，则每月的土地租金成本和货物运输成本分别为2万元和8万元.要使得两项成本之和最小，分拣中心和货运枢纽的距离应设置为（    ）A.    B.    C.    D.5.八卦是中国古老文化的深奥概念，下图示意太极八卦图.现将一副八卦简化为正八边形，设其边长为，中心为，则下列选项中不正确的是（    ）A.B.C.和是一对相反向量D.6.已知，则等于（    ）A.    B.    C.    D.7.已知是公差为3的等差数列，其前项的和为，设甲：的首项为零；乙：是和的等比中项，则（    ）A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（    ）A.    B.    C.    D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.随着国民经济的快速发展和人民生活水平的不断提高，我国社会物流需求不断增加，物流行业前景广阔.社会物流总费用与GDP的比率是反映地区物流发展水平的指标，下面是2017-2022年我国社会物流总费用与GDP的比率统计，则（    ）A.2018-2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，且2021年增长的最多B.这6年我国社会物流总费用的分位数为14.9万亿元C.2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为D.2022年我国的GDP超过了121万亿元10.已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，且是等差数列，则下列结论正确的是（    ）A.是等差数列    B.是等比数列C.是等差数列    D.是等比数列11.先将函数的图象向右平移个单位长度，再将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列关于函数的说法中正确的是（    ）A.在上单调递增B.当时，函数的值域是C.其图象关于直线对称D.直线为曲线的切线12.如图，在棱长为3的正方体中，点是平面内的一个动点，且满足，则下列结论正确的是（    ）A.B.点的轨迹是一个半径为的圆C.直线与平面所成角为D.三棱锥体积的最大值为第Ⅱ卷三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.高二年级体锻课时间提供三项体育活动，足球､篮球､乒乓球供学生选择.甲､乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响.在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为__________.14.正实数满足，且不等式恒成立，则实数的取值范围为__________.15.已知三棱锥中，是等边三角形，则三棱锥的外接球的表面积为__________.16.在直角中，，平面内动点满足，则的最小值为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知中角所对的边分别为，且满足.（1）求角；（2）若的面积是边上的点，且，求.18.（12分）已知数列的首项为1，且.（1）求数列的通项公式；（2）若为前项的和，求.19.（12分）如图，圆台的轴截面为等腰梯形为下底面圆周上异于的点.（1）在平面内，过作一条直线与平面平行，并说明理由；（2）若四棱锥的体积为，求平面与平面夹角的余弦值.20.（12分）甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立.（1）若，求甲学员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率；（2）当时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值.21.（12分）已知正项数列满足：，且.（1）设，求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和，并确定最小正整数，使得为整数.22.（12分）设双曲线的右焦点为，点为坐标原点，过点的直线与的右支相交于两点.（1）当直线与轴垂直时，，求的离心率；（2）当的焦距为2时，恒为锐角，求的实轴长的取值范围.湖南师大附中2021级高三摸底考试试卷数学参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号123456789101112答案CBAACACDADACDBCDACD1.C（原题）2.B  【解析】设，则根据题意，有，得到，所以的虚部是-1.故选B.3.A4.A  【解析】设土地租金成本和运输成本分别为万元和万元，分拣中心和货运枢纽相距，则根据题意易知，，故，当且仅当时取等号.故选A.5.C  【解析】A项，由于，明显有，故正确；B项，，B正确；项，和方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，C错误；D项，，D正确.故选C.6.A（原题）  【解析】.故选A.7.C  【解析】由是公差为3的等差数列，可知.若是和的等比中项，则，解得或（舍去，因为此时，可见“”是“是和的等比中项”的充要条件.故选C.8.D  【解析】函数的定义域为，且，所以为偶函数，又当时，是增函数，令，任取，且，则，因为，所以，所以，所以在上是增函数，即在上是增函数，所以不等式对任意恒成立，转化为，即，所以和在上恒成立，①若在上恒成立，则，解得；②若在上恒成立，则，解得；综上所述，实数的取值范围是.故选：D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.AD  【解析】由图表可知，2018-2022这5年我国社会物流总费用逐年增长，2021年增长的最多，且增长为万亿元，故A正确；因为，则分位数为第5个，即为16.7，所以这6年我国社会物流总费用的分位数为16.7万伧元，故B错误；由图表可知，2017-2022这6年我国社会物流总费用与GDP的比率的极差为，故C错误；由图表可知，2022年我国的GDP为万亿元，故D正确.故选：AD.10.ACD（此题为原题，见一轮复习资料6.3等比数列的练习题）【解析】由是等差数列，可得，是各项均为正数的等比数列，，可得，数列是等差数列，因此A正确；是常数列，为等差数列，因此C正确；是等比数列，因此D正确；不是等比数列，因此B不正确.故答案为ACD.11.BCD  【解析】由题可得，当时，，故函数在上不单调，故A错误；当时，，故B正确；当时，，故函数的图象关于直线对称，故C正确；因为，所以，若直线为曲线的切线，则由，可得：或，当时，，于是，解得，当时，，于是，此时无解.综上，直线为曲线的切线.故D正确.故答案为.12.ACD  【解析】对于选项，连接四边形为正方形，，平面平面，平面，平面，同理可证平面，平面对；对于选项，设平面，三棱锥为正三棱锥，，平面平面，即，，解得，点的轨迹是半径为1的圆，错；对于选项，平面与平面所成的角为，且，故，C对；对于选项，点到直线的距离为，点到直线的距离的最大值为，平面三棱锥的高为，三棱锥体积的最大值为对.故选：ACD.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.  【解析】由题可知，，当且仅当时等号成立，所以要使不等式恒成立，即，解得.15.  【解析】如图，取的中点，连接，设的外心为，为等腰直角三角形，是等边三角形，，，在中，，在中，由，可得，为外接球的球心，该三棱锥的外接球表面积为.故答案为：.16.  【解析】由题可知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，，，，又向量是长度为的一个向量，由此可得，点在圆上运动，当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为一，故的最小值为.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】（1），由正弦定理得：，，.（2）方法一：由已知：，得.，.方法二：由已知：，得.由余弦定理..设，在中，；在中，；由，解得..18.【解析】（1）因为，用替换上式的，得.两式作差，即得，整理后有.在原式中令，得，故对任意都成立.而的首项为1，故，所以是公比为2的等比数列.因此的通项公式是.（2）由（1）得，故.所以.又，作差得.19.【解析】（1）取中点，作直线即为所求.取中点，连接，则有，如图，在等腰梯形中，，所以，则四边形为平行四边形，所以，又平面平面，所以平面.（2）过点作于，在等腰梯形中，，所以该梯形的高，所以等腰梯形的面积为，所以四棱锥的体积，解得，所以点与重合，以为原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，所以取，则.同理可得平面的法向量为，设平面与平面夹角为，则.故平面与平面夹角的余弦值为.20.【解析】（1）用事件分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”或“平局”，则，记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件，则事件包括事件共5种，所以.（2）因为，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即，由题意得的所有可能取值为，则，，.所以的分布列为245所以的期望，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，所以，故的最大值为.21.【解析】（1）因为，且，，即，，又，是首项为，公比为2的等比数列，.（2）因为，若为整数，因为，即..能被27整除，.所以时，能被27整除，的最小值是9.22【解析】（1）当直线与轴垂直时，由对称性知是等腰直角三角形，于是，即，解得离心率.（2）若的焦距为2，则，即.由于直线的斜率不为零，可设其方程为.结合，联立得.设.由韦达定理，由于两点均在的右支上，故，即..由恒为锐角，得，均有，即恒成立.由于，因此不等号左边是关于的增函数，所以只需时，成立即可.解得，结合，可知的取值范围是.