2023届新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县高三上学期11月期中考试数学（理）试题含答案

2023届新疆维吾尔自治区喀什地区疏附县高三上学期11月期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先通过解二次不等式和指数不等式，求出集合，再对选项进行判断.

【详解】解：因为，，

所以，，

故选：D.

【点睛】本题考查集合的表示方法及交､并运算，一元二次不等式和指数不等式的求解，考查考生对基础知识的掌握情况，属于基础题.

2．若且（其中为虚数单位），则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】对已知进行化简，根据复数相等可得答案.

【详解】因为，

根据复数相等，所以，所以.

故选：B.

3．已知等差数列的公差为d，前n项和为，则“”是“”的（    ）

A．不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件、必要条件的定义，由即可求解.

【详解】解：因为为等差数列，所以，

所以，

所以“”是“”的充分必要条件，

故选：C．

4．北京时间2021年6月17日9时22分，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功.此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用.在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量（单位：千米/秒）可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示，其中，（单位：千米/秒）表示它的发动机的喷射速度，（单位：吨）表示它装载的燃料质量，（单位：吨）表示它自身（除燃料外）的质量.若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v达到第一宇宙速度（7.9千米/秒），则火箭的燃料质量与火箭自身质量之比约为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题设得，应用将对数化为指数形式即可得.

【详解】由题设，，则.

故选：C

5．安排5位同学站成一排照相，若甲同学与乙同学相邻，且甲同学与丙同学不相邻，则不同的摆法数（    ）

A．36 B．30 C．24 D．20

【答案】A

【分析】按甲是否站在两端，分两种情况讨论，求出每一种情况，再由加法原理计算即可

【详解】根据题意，分两种情况讨论：

第一种情况：若甲站在两端，甲有2种情况，乙必须与甲相邻，也有1种情况，

剩余3人全排列，安排到剩余的3个位置，有种，

则此时共有种站法；

第二种情况：若甲不站在两端，甲可以站在中间的3个位置，有3种情况，

乙必须与甲相邻，也有2种情况，丙与甲不能相邻，有2个位置可选，有2种情况，

剩余2人全排列，安排到剩余的2个位置，有种，

则此时共有种站法；

综上可知：一共有种站法

故选：A

6．的展开式中的常数项为（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】A

【分析】求出中的常数项和的系数,再由多项式乘法可得结论.

【详解】,由得,常数项为1, 由得,的系数为,所以展开式中常数项为：.

故选:A．

【点睛】本题考查二项式定理,考查求二项展开式中某一项系数,掌握二项展开式通项公式是解题关键.

7．已知数列满足，，其前项和为，则下列说法正确的个数是（    ）

①数列是等差数列；②；③．

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【解析】由求出，，可知当时，，从而可得，，.由此可得答案.

【详解】∵，∴，，

依次类推可知，当时，，

∴，

∴．

经检验，当时，，

∴

当时，，

当时，，

∴．

∴①②错误，③正确．

故选：B．

【点睛】关键点点睛：当时去绝对值化为，求出是解题关键.

8．设函数f (x)＝x(2x－)，则f (x)

A．为奇函数，在R上是减函数 B．为奇函数，在R上是增函数

C．为偶函数，在(－∞，0)上是减函数 D．为偶函数，在(－∞，0)上是增函数

【答案】C

【分析】先判断是偶函数，排除A,B，再由可排除，从而可得结果.

【详解】

，

是偶函数，排除A,B，

由可排除D，

故选:C.

9．已知函数的最大值为的图象与轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意先确定函数的解析式，再结合周期性即可求解

【详解】函数 ，

因为函数最大值为，

故，则．

又函数图象相邻两条对称轴间的距离为，

可得，可得，

又的图象与轴的交点坐标为，代入可得

故函数的解析式为，

又，函数周期为．

则．

故选：．

10．一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，根据侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，分别由，，最后由圆锥体积公式求解即可.

【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，

则，解得，

又，解得，

所以圆锥的高为，

所以圆锥的体积为.

故选：A.

11．已知是定义在上的函数的导函数，若，且当时，，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由已知条件，构造函数，求导得在上递增，又，得在上是偶函数.不等式化简为，得，计算即可.

【详解】当时，满足，则，构造函数，则，

所以在上递增.且在上成立，又，

所以，所以在上是偶函数.

则不等式化简为，

所以，

得，所以，计算得.

故选：B

【点睛】本题考查了函数的奇偶性和利用导数判断函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.

12．若对任意的，且，则m的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件，构造函数，利用导数求其单调区间，再结合题意即可求得的最小值.

【详解】因为，故可得，

即，，

令，则上式等价于，又，

根据题意，在单调递减；

又，令，解得，即的单调减区间为，

要满足题意，只需，即的最小值为.

故选：B.

二、填空题

13．下列四个命题：

①“，则全为”的逆否命题是“若全不为”，则”；

②已知曲线的方程是，曲线是椭圆的充要条件是；

③“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件；

④已知双曲线的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率的值为.

上述命题中真命题的序号为          ．

【答案】③④

【分析】根据逆否命题的定义判断①；根据椭圆的方程判断②；根据两条直线垂直的性质及充分不必要条件的定义可判断③；根据双曲线的几何性质可判断④.

【详解】解：①“，则全为”的逆否命题是“若不全为”，则”，故不正确；

②曲线的方程是，曲线表示椭圆，则有：，解得，故不正确；

③ “直线与直线相互垂直”，

则有：，解得.

所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件，正确；

④双曲线的一条渐近线经过点，则有，

所以，正确.

故答案为:③④.

14．已知是抛物线的焦点，，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为          ．

【答案】

【分析】由抛物线方程求出准线方程，利用抛物线的定义将和转化为，到准线的距离，进而可以求出的中点的纵坐标，即可求出答案．

【详解】抛物线的焦点，准线方程，设，,

所以，

解得，

所以线段的中点的纵坐标为，

故线段的中点到轴的距离为.

【点睛】本题考查了抛物线定义的运用，属于基础题．

15．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中，正确的序号是           .

（1）直线与直线相交；

（2）直线与直线平行；

（3）直线与直线是异面直线；

（4）直线与直线成角.

【答案】（3）（4）/(4)(3)

【分析】还原正方体，结合图形即可判断（1）（2）（3），再连接，，则为异面直线与直线所成的角，根据三角形的性质即可求出异面直线所成角；

【详解】解：由正方体的平面展开图可得正方体，

可得与为异面直线，故（1）错误；

与为异面直线，故（2）错误；

直线与直线是异面直线，故（3）正确；

连接，，由正方体的性质可得，所以为异面直线与直线所成的角，因为为等边三角形，所以，即直线与直线所成角为，故（4）正确；

故答案为：（3）（4）．

16．已知椭圆内一点，过点的两条直线分别与椭圆交于和两点，且满足（其中），若变化时直线的斜率总为，则椭圆的离心率为          .

【答案】

【分析】设，

由共线向量的坐标运算，得，由点差法结合直线的斜率得出，两者比较可得的等式，从而求得离心率．

【详解】设，

∵，∴，

则，∴，同理，

∴，∴，

∵在椭圆上，∴，，

相减可得，即，

则①，同理可得②，

①+②得，

又，

∴，∴，．

故答案为：．

【点睛】本题考查求椭圆的离心率，向量的坐标运算，设出四点坐标，由点差法利用斜率得出四点的坐标间的关系，由向量的坐标运算得出四点的坐标间的关系，两者比较后得的等量关系，从而求得离心率．本题旨在考查学生运算求解能力，属于中档题．

三、解答题

17．已知函数.

（1）求函数的最小正周期和最大值；

（2）问方程在区间上有几个不同的实数根？并求这些实数根之和.

【答案】（1），最大值2；（2）4个不同的实数根，之和为

【分析】(1)将函数化简得，再根据周期公式求最小周期，利用三角函数的有界性求最大值.

(2)作出函数在区间上的大致图像，可得方程的实数根的个数，再根据对称性可求出这些实数根之和.

【详解】（1）因为，

所以，

当，，即，时，

函数取得最大值2.

（2）由，，可得函数的对称轴为，，

作出函数在的大致图象如下，

所以方程在区间上共有4个不同的实数根，

且这些实数根关于对称，所以实根之和.

【点睛】本题考查正弦函数的周期性、最值，正弦函数的图象的对称性，属于中档题.

18．华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢.惠州某学校学习小组为了研究手机用户购买新手机时选择华为品牌是否与年龄有关系，于是随机调查100个2020年购买新手机的人，得到如下不完整的列联表.定义用户年龄30岁以下为“年轻用户”，30岁以上为“非年轻用户”.

（1）请将列联表填充完整，并判断是否至少有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？

（2）若从购买华为手机用户中采取分层抽样的方法抽出9人，再从中随机抽取3人，其中年轻用户的人数记为，求的分布列和数学期望.

附：.

【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关；（2）分布列见解析，1.

【分析】（1）根据题意将列联表中的数据补充完整，然后计算，进而对比临界值即可得出结论；

（2）首先求得的所有可能取值，然后求出其对应的概率，即可列出分布列，进而根据期望的概念即可求得结果.

【详解】（1）列联表为：

假设移动支付与年龄无关，则

，

所以没有90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关.

（2）由，，即年轻用户抽取3人，非年轻用户抽取6人

所以所有可能的取值为0，1，2，3

，，

，，

所以的分布列为：

所以

所以的数学期望值为1

19．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，.底面，且，、分别为，的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析 （2）

【分析】（1）通过证明平面即可得证；

（2）建立空间直角坐标系利用法向量求解二面角的大小.

【详解】（l）证明：∵面，面，∴，又，∴，

，面，∴面，面，∴.

又中，，为的中点，∴，

，面，∴面，

又，分别为，的中点，∴，，∴，面，

∴面，则面，∴.

（2）由（1）可知，，两两垂直，以为原点，，，所在的方向为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则

，，，，为中点，则.

设面的法向量为，

，，

，∴，令，则，∴，

设面的法向量为，

，，

，∴，令，则，，∴，

，

设二面角的夹角为，则.

【点睛】此题考查通过证明线面垂直得线线垂直，利用向量方法求二面角的大小，关键在于熟练掌握判定定理和向量法的基本步骤，准确求解.

20．已知椭圆C：的离心率，过点．

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P（0，1），直线l交椭圆C于A、B两点（异于P），直线PA、PB的斜率分别为，且，问：直线l是否过定点？若是，请求出该定点：若不是，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在；定点

【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组，求解即可得答案；

（2）①当直线l的斜率存在时，设，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及求出m的值即可得定点坐标；②当直线l的斜率不存在时，设，联立即可求解.

【详解】（1）解：由已知条件可得，解得，

∴椭圆C的标准方程为．

（2）解：①当直线l的斜率存在时，设，

由，得，

则，

由，得，

，

，

，

，

（舍）或，

∴直线l过定点；

②当直线l的斜率不存在时，设，

由得，

，即，解得，

所以直线l：x＝0；

综上，直线l过定点．

21．已知函数（，为常数）.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）对任意两个不相等的正数，，求证：当时，都有.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）将代入解析式，并求得导函数，代入即可求得切线斜率；将代入函数解析式求得切点坐标，即可由点斜式求得切线方程；

（2）由函数解析式求得导函数；构造函数，可求导得，将代入并变形化简，即可判断出的单调区间，进而确定，再由可知恒成立，即原不等式成立.

【详解】（1）时，函数，

则，

故，又，

所以切线方程为，

即.

（2）证明：函数（，为常数）.

则，

构造函数，，

∴，

所以

，

∵，，，

∴.

故当时，，为减函数；

故当时，，为增函数.

故对一切，.当且仅当时取等号.

题中，故恒成立，

原不等式得证.

【点睛】本题考查了导数的几何意义及切线方程的求法，构造函数法在证明不等式中的应用，利用导数证明函数的单调性并求得最值，属于难题.

22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (t为参数，m∈R)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程 (0≤θ≤π)．

(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)已知点P是曲线C2上一点，若点P到曲线C1的最小距离为，求m的值．

【答案】（1）C1的普通方程为x－y＋m＝0.直角坐标方程为(0≤y≤1)．

（2）m＝或m＝6.

【解析】（1）曲线C1消去参数t，即可求出普通方程；利用，即可将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）曲线C2上任意一点P的坐标设为参数形式，利用点到直线的距离公式，结合三角函数的有界性，即可求解.

【详解】(1)由曲线C1的参数方程消去参数t，

可得C1的普通方程为x－y＋m＝0.

由曲线C2的极坐标方程得

3ρ2－2ρ2cos2θ＝3，θ∈[0，π]，

∴曲线C2的直角坐标方程为(0≤y≤1)．

(2)设曲线C2上任意一点P的坐标为

(cos α，sin α)，α∈[0，π]，

则点P到曲线C1的距离

d＝＝.

∵α∈[0，π]，∴，

，

由点P到曲线C1的最小距离为得，

若m＋<0，则m＋＝－4，即m＝－4－

若m－2>0，则m－2＝4，即m＝6.

若m－2<0，m＋>0，

当|m＋|≥|m－2|，即m≥时，

－m＋2＝4，即m＝－2，不合题意，舍去；

当|m＋|<|m－2|，即m<时，

m＋＝4，即m＝4-，不合题意，舍去．

综上，m＝－4-或m＝6.

【点睛】本题考查参数方程化普通方程、极坐标方程化直角坐标方程，考查参数方程的应用和三角函数的有界性，考查分类讨论思想，属于较难题.

23．已知函数且不等式对任意成立.

（1）求实数的取值范围；

（2）设取最大值时，求不等式的解集.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先求出，解不等式得解；（2）分类讨论解不等式得解集.

【详解】（1），

所以，

所以，

当时，，所以.

当时，不等式无解.

综合得.

（2）当a=2时，，

当x＜-2时，或，所以；

当时，或，所以；

当x＞1时，或，所以x＞1.

综合得不等式的解集为.

【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式，考查分类讨论解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.