2023届新疆维吾尔自治区和田地区皮山县高三上学期11月期中质量监测数学（理）试题含答案

2023届新疆维吾尔自治区和田地区皮山县高三上学期11月期中质量监测数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先求出集合，然后进行补集和交集的运算即可．

【详解】或，

，

且，

．

故选：A.

2．设复数满足（为虚数单位），则复数的虚部是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】D

【分析】由求出复数，从而可求出其虚部.

【详解】由，得，

所以复数的虚部是为，

故选：D

3．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.如图所示的统计图，记这组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据众数、中位数、平均数的概念，由统计图，可直接得出结果.

【详解】由统计图可得，众数为；

共有个数据，处在中间位置的两个数据为，所以中位数为；

平均数，

所以.

故选：B.

4．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出函数的导数，再根据在上不单调可得在上有零点，且在该零点的两侧附近函数值异号，就和分类讨论后可得实数的取值范围，从而可得正确的选项.

【详解】，

若在上不单调，令，

对称轴方程为，则函数与

轴在上有交点．当时，显然不成立；

当时，有解得或．

四个选项中的范围，只有为的真子集，

∴在上不单调的一个充分不必要条件是.

故选：C．

5．已知α∈（），若sin2α，则cosα＝

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先根据三角函数的值，缩小的范围，根据和得到和

【详解】，

而 即

，两式相加、相减得

，解得

故选D项.

【点睛】本题考查通过三角函数值的正负缩小角的范围，对三角函数求值，属于中档题.

6．设函数，则（    ）

A．是偶函数，且在单调递增

B．是偶函数，且在单调递增

C．是奇函数，且在单调递减

D．是奇函数，且在单调递减

【答案】D

【解析】根据奇偶性定义判断奇偶性，然后判断单调性，排除错误选项得正确结论．

【详解】函数定义域是，

，是奇函数，排除AB，

，时，，，即，而是减函数，∴是增函数，∴在上是增函数，排除C．只有D可选．

故选：D．

【点睛】结论点睛：本题考查函数的单调性与奇偶性，判断函数的奇偶性与单调性后用排除法确定正确选项，掌握复合函数的单调性是解题关键．与的单调性相反，

在恒为正或恒为负时，与的单调性相反，若，则与的单调性相反．时，与的单调性相同．

7．如图分别是甲､乙､丙三种品牌手表日走时误差分布的正态分布密度曲线，则下列说法不正确的是（    ）

A．三种品牌的手表日走时误差的均值相等

B．

C．三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙

D．三种品牌手表中甲品牌的质量最好

【答案】B

【分析】根据三种品牌手表误差的正态分布曲线的图象，结合正态分布曲线的性质，逐项判定，即可求解.

【详解】根据正态分布曲线的性质和图象可得，三种品牌的手表日走时的误差对应的正态分布曲线的对称轴都是轴，所以三种品牌的手表日走时误差的均值相等，所以A正确；

乙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积与丙品牌对应点的正态分布曲线在区间之间与围成的面积相等，所以B不正确；

由正态分布曲线的形状，可得，所以三种品牌的手表日走时误差的方差从小到大依次为甲､乙､丙，所以C正确；

由，可得甲种品牌手表的最稳定，质量最好，所以D正确.

故选：B.

8．设是非零向量，是非零实数，则下列结论中正确的是（    ）

A．的方向的方向相反 B．

C．与方向相同 D．

【答案】C

【分析】根据数乘向量运算的定义判断各选项.

【详解】对于A，当时，与方向相同，因此A不正确；

对于B，时，，因此B不正确；

对于C，因为，所以与同向，C正确；

对于D，是实数，是向量，不可能相等．

故选：C．

9．化简=（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用降次公式和诱导公式化简所求表达式，由此求得正确结论.

【详解】依题意，原式，故选B.

【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数诱导公式，属于基础题.

10．已知函数则下列结论中正确的是（    ）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．的最小值为 D．的最小值为

【答案】B

【解析】根据奇偶函数的定义，结合基本不等式进行判断即可.

【详解】函数的定义域为非零的实数集.

选项A：设，

因为，

所以函数是偶函数，故本选项不正确；

选项B：设，

因为，

所以函数是偶函数，故本选项正确；

选项C：由上可知：函数是偶函数，

当时，，当且仅当时，取等号，即时，取等号，由偶函数的性质可知：函数的最小值为，故本选项不正确；

选项D：由上可知：函数是偶函数，

当时，，当且仅当时，取等号，即时，取等号，由偶函数的性质可知：函数的最小值为，故本选项不正确；

故选：B

【点睛】本题考查了函数奇偶性的判断，考查了函数最小值的判断，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.

11．甲、乙、丙三人站成一排，则甲、乙不相邻的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数，甲、乙二人不相邻可知有2种方法，进而求得概率.

【详解】甲、乙、丙三人站成一排，基本事件总数，

甲、乙二人不相邻包含的基本事件个数，

甲、乙二人不相邻的概率.

故选：B.

12．如图，已知点平面，点，直线，点且，则“直线直线”是“直线直线”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据线面垂直的判定定理与性质定理及充分条件、必要条件即可判断.

【详解】因为，所以，且

则平面，

所以“直线a⊥直线”是“直线a⊥直线的充要条件”，

故选：C

二、填空题

13．已知两个单位向量的夹角为，若向量，则_____________.

【答案】

【解析】根据平面向量数量积定义,结合向量的运算律,化简即可求解.

【详解】由题意为单位向量,且夹角为

则,且,

所以

故答案为:

【点睛】本题考查了平面向量数量积定义,平面向量数量积的运算律,属于基础题.

14．的展开式中的系数是__________．

【答案】-16

【分析】先将化为，再结合展开式的通项公式即可得出结果.

【详解】因为，

又展开式的通项为，

求的展开式中的系数，只需令或，

故所求系数为.

故答案为

【点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项展开式的通项公式即可，属于常考题型.

15．已知函数若，则____________．

【答案】

【详解】当时，令=2得，且成立，当时，令=2得=-2，而-2所以不成立，故

16．已知P为上的点，过点P作圆O：的切线，切点为M、N，若使得的点P有8个，则m的取值范围是_______.

【答案】.

【分析】根据给定条件，结合圆的切线的性质求出，再借助对称性将问题转化为线段与以点O为圆心，为半径的圆有两个公共点（除线段端点外）求解作答.

【详解】因过点P的圆O：的切线（M、N为切点），满足，因此有，

则有，点P在以点O为圆心，2为半径的圆上，而点P在上，

曲线是以点为顶点的正方形，圆与曲线都关于x轴、y轴成轴对称，

要符合条件的点P有8个，则线段与圆有两个公共点（除线段端点外），

于是得点都在圆外，且直线与圆相交，

因此，而，解得，

所以m的取值范围是.

故答案为：

【点睛】结论点睛：曲线C的方程为，(1)如果，则曲线C关于y轴对称；(2)如果，则曲线C关于x轴对称；(3)如果，则曲线C关于原点对称.

三、解答题

17．已知向量,函数．

（1）求函数的最小正周期;

（2）已知分别为内角的对边, 其中为锐角,,且,求和的面积．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据数量积公式与三角恒等变换公式可得，进而得到周期；

（2）根据可得，再结合余弦定理求得，结合面积公式可得的面积

【详解】（1）

因为，所以；

（2），

因为，

所以，

又，

所以，

即，则，

从而．

18．在正三棱柱中，点是的中点.

（1）求证：//面；

（2）设是棱上的点，且满足.求证：面面.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）记与交于，先证明//，根据线面平行的判定定理即可证明A1C∥平面AB1D；

（2）先证明面，即可根据面面垂直的判定定理进行证明即可．

【详解】（1）设，连.

因为四边形是矩形，∴是的中点.

又是的中点，∴//.

又面，面，

∴//面.

（2）因为是正三角形，是的中点，∴.

∵平面面，又平面面，面.

∴面，∵面，∴.

又∵，，，面，

∴面，又面，

∴面面.

【点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

19．在平面直角坐标系中，已知点是轴与圆的一个公共点（异于原点），抛物线的准线为，上横坐标为的点到的距离等于.

（1）求的方程；

（2）直线与圆相切且与相交于，两点，若的面积为4，求的方程.

【答案】（1）；（2）或

【分析】（1）由抛物线定义可得，点P到l的距离等于|PF|=|PQ|，以及点P在线段FQ的中垂线上，则解得p=2，即可求出E的方程，

（2）设m的方程为x=ny+b，A（x1，y1），B（x1，y1），根据直线m与圆C相切，可得b2-4b=4n2，再根据韦达定理和三角形的面积公式以及弦长公式即可求出b的值，即可求出m的方程

【详解】（1）由已知得，焦点，

由抛物线定义得，点到的距离等于，

因为，所以，所以、两点不重合，

所以点在线段的中垂线上，则，

解得，故的方程为.

（2）由已知，直线不与轴垂直，设的方程为，，，

则，所以，

由化简得，

判别式，且

直线与轴交于点，

，

所以，

因为，或，所以，，

所以方程是或.

解法二：（1）由已知得，设，的准线方程为，

由到的距离等于得，，

则，解得：或，

因为，所以，故的方程为.

（2）由已知，直线不与轴垂直，设的方程为，，，

则，所以，

由化简得，

判别式，且

所以

，

又原点到直线的距离，

所以，所以，

因为，或，所以，，

所以的方程是或.

【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，利用直线与椭圆的联立，韦达定理求弦长是常用方法，属于中档题．

20．某工厂第一季度某产品月生产量依次为10万件，12万件，13万件，为了预测以后每个月的产量，以这3个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量（单位：万件）与月份的关系.模拟函数；模拟函数.

(1)已知4月份的产量为13.7万件，问选用哪个函数作为模拟函数好？

(2)受工厂设备的影响，全年的每月产量都不超过15万件，请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）借助题设条件运用已知建立方程组，利用待定系数法求出函数解析式，把x=4分别代入，即可判断；（2）根据函数的发展趋势，对照两个函数分析探求，即可得到结论.

【详解】（1）若用模拟函数1：，则有

，解得，

即，当时，；

若用模拟函数2：，则有

，解得，

即，当时，.

所以选用模拟函数1好.

（2）因为模拟函数1：是单调增的函数，所以当时，生产量远大于他的最高限量，

模拟函数2：，也是单调增，但生产量，所以不会超过15万件，所以应该选用模拟函数2：好.

当时，，

所以预测6月份的产量为万件.

21．设，函数.

（1）若无零点，求实数的取值范围；

（2）当时，关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

（3）求证：当，时.

【答案】（1）（2）（3）见解析

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，确定满足条件的的范围即可；（2）令，，，结合二次函数的性质以及函数的单调性求出的范围即可；（3）根据时，，令，累加即可证明．

【详解】（1）①若时，则，是区间上的减函数，

∵，，

而，则，即，

∴，函数在区间有唯一零点；

②若，，在区间无零点；

③若，令，得，

在区间上，，函数是增函数；

在区间上，，函数是减函数；

故在区间上，的最大值为，由于无零点，

则，解得，

故所求实数的取值范围是.

（2）由题意，时为，

∴，

设，

则，

当变化时，，的变化情况如下表：

∵方程在上恰有两个不相等的实数根，

∴，∴，

∴，即.

（3）由（1）可知当时，即，

∴当时，，

令时，

，

即，

∴.

【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、“累加求和”、对数的运算性质、放缩、“裂项求和”等基础知识与基本技能方法，考查了等价问题转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标系方程为.

(1)求曲线的普通方程，并求的直角坐标方程；

(2)曲线与轴交于点与交于两点，若，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）直接消去参数可得的方程，由可得的方程.

(2) 设对应的参数为，将的参数方程代入，得出韦达定理，由，可得，消去可得答案.

【详解】（1）由，消去参数，可得，

由，结合公式 可得

；

（2）设对应的参数为，将代入中，可得：

由，可得

所以

从而得到 ，即

所以，解得

23．设函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若关于的不等式在上的解集非空，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由已知得，然后分，和三种情况解不等式；

（2）由题意可得将原问题转化为在上有解，即在上有解，从而可求得答案

【详解】解析：（1）不等式，即，

等价于或或

解得，

∴原不等式的解集为.

（2）当时，不等式，即，

由题意可得在上有解，

即在上有解，

∴.