2023届新疆维吾尔自治区和田地区洛浦县高三上学期11月期中数学（理）试题含答案

2023届新疆维吾尔自治区和田地区洛浦县高三上学期11月期中数学（理）试题

一、单选题

1．设集合，，则

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先根据不等式的性质，化简集合A、B，再根据交集的定义求出A∩B．

【详解】∵A={x|x2-4＞0}={x|x＞2或x＜-2}

={x|x＜-2}

∴A∩B={x|x＜-2}

故选B．

【点睛】本题考查二次不等式的解法、指数不等式的解法及两个交集的求法：借助数轴．

2．复平面内，复数的对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【解析】利用复数代数形式的乘法运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案.

【详解】由题得，

所以在复平面内该复数对应的点的坐标为，该点在第四象限.

故选：D

【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．如图是某电视台主办的歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中为数字0~9中的一个），则下列结论中正确的是

A．甲选手的平均分有可能和乙选手的平均分相等

B．甲选手的平均分有可能比乙选手的平均分高

C．甲选手所有得分的中位数比乙选手所有得分的中位数低

D．甲选手所有得分的众数比乙选手所有得分的众数高

【答案】D

【分析】利用茎叶图的定义表示数据即可．结合中位数和平均数、众数的定义和公式进行计算即可．

【详解】甲、乙两位选手每个茎上的叶的数目相同，

乙的所有叶上的数字之和是37，

甲的所有叶上的数字之和是，

则甲选手的平均分一定比乙选手低；则A、B均不正确.

甲选手所有得分的中位数和众数均为85，

乙选手所有得分的中位数和众数均为84，

则C不正确且D正确.

故选D.

【点睛】本题主要考查茎叶图的应用，以及中位数、众数和平均数的定义及计算，属于基础题．

4．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用两角差的正切公式求出，再利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系即可求解.

【详解】∵，

∴，

则

.

故选：A

【点睛】本题以三角正切函数值为依托，考查了正切的两角差公式和倍角公式的运用，此题以考生最熟悉的知识呈现，面向考生，试题注重基础，针对性强，同时考查了考生的运算求解能力及逻辑推理能力，属于基础题.

5．已知向量，若向量与共线，且在方向上的投影为，则||＝（    ）

A．1 B．2 C． D．5

【答案】D

【分析】根据平面向量的共线定理和投影的定义，求出向量，再求模长.

【详解】向量（﹣1，2），向量与共线，

设（﹣λ，2λ），由（3，4），

所以在方向上的投影为

||cosθ，

解得λ，

所以（，2），

所以||5.

故选：D.

【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量共线的条件，向量在另一向量方向上的投影公式，属于简单题目.

6．函数的图象大致是(    )

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】因为函数,判断函数的奇偶性和单调性,结合图像,即可求得答案.

【详解】函数

函数定义域为:

函数定义域为的奇函数.

当时,

则

此时函数是减函数

当时,

由,可得

综上所述,函数是定义域为的奇函数.

当时,函数是减函数

当时

只有C图像符合题意.

故选: C.

【点睛】本题考查了根据函数解析求解函数图像,解题关键是掌握奇偶性的定义和根据导数求函数单调性的求法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积

为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，结合网格提供的边长数据,进一步求出几何体的体积．

【详解】还原三视图可得几何体，如图所示，棱长为4的正方体被平面ABCD截得的后面部分的几何体，其中B,C为棱的中点.

如图连接DB，BE，则几何体的体积可分为三棱锥D-ABE和四棱锥B-EFCD.

，.

所以几何体的体积为.

故选：C.

8．若抛物线上一点到焦点的距离为，则点的纵坐标为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用焦半径公式，直接列式求解.

【详解】设，则，解得：.

故选：B

9．个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：5个人排成一排不考虑限制条件有A55，

若甲，乙两人都站中间有A32A33，

∴甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数A55-A32A33为所求

故选D．

10．若等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2a5＝3a3，且a4与9a7的等差中项为2，则S5＝（    ）

A． B．112 C． D．121

【答案】D

【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用已知条件求得和，再由等比数列前项和公式计算．

【详解】解:设等比数列{an}的公比为q，由已知得a2a5＝a3a4＝3a3，因为a3≠0，所以a4＝3，即a1q3＝3　①.

因为a4与9a7的等差中项为2，所以a4＋9a7＝a4(1＋9q3)＝4　②，

联立①②解得q＝，a1＝81.

所以S5＝＝121.

故选：D．

11．已知､､､四点都在表面积为的球的表面上，若，，则球内接三棱锥的体积的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据球O的表面积，可求得其半径R，根据题中条件，可求得的外接圆半径为r，即可得D到平面ABC的最大距离，在中，利用余弦定理，结合基本不等式，可求得的最大值，即可求得面积最大值，代入公式，即可求得答案.

【详解】因为球O表面积为，所以，解得球O的半径R=5，

因为，，设的外接圆半径为r，

所以，所以，如图所示：

所以，则D到平面ABC的最大距离为，

在中，，

所以，

所以，

当且仅当时，等号成立，

所以面积的最大值，

所以三棱锥的体积的最大值，

故选：C

【点睛】解题的关键是根据余弦定理和基本不等式，求得面积的最大值，再结合图象求得D到平面ABC的最大距离，即可求解，考查数形结合，计算化简的能力，属中档题.

12．已知函数，若有四个不等实根，且，求的取值范围（    ）

A．（－∞，－3） B．（－3，+∞）

C．[－，－3) D．[－，－3]

【答案】C

【分析】作出函数和的图象，根据二次函数图象的对称性得出，根据对数运算得出，并计算出的取值范围，利用函数的单调性可求出代数式的取值范围.

【详解】作出函数和的图象如下图所示：

由于二次函数的图象关于直线对称，所以，，

由，得，即，

所以，，可得，

由图象知，当时，直线与函数的图象有四个交点，

所以，，即，即，

，得，

由于函数在区间上为减函数，

.

故选：C.

二、填空题

13．已知实数x，y满足约束条件，则的最大值为      ．

【答案】5

【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数即可得解.

【详解】解：如图所示，画出可行域，

联立，解得，即，

由，得，

由图可知当直线经过点时，取得最大值，最大值为5．

故答案为：5.

14．函数的图象在点处的切线方程为          ．

【答案】

【分析】求导，再根据导数的几何意义即可得出答案.

【详解】解：，则，

所以该函数的图象在点处的切线方程为，即.

故答案为：.

15．在等差数列中，，则数列的前项和          .

【答案】

【分析】设出首项与公差，利用等差数列基本量的计算即可得到答案.

【详解】设等差数列的首项与公差，则有，解得，

故.

故答案为：

16．的展开式中的系数为          .

【答案】11

【分析】由，分别计算的展开式中的系数，再计算求解.

【详解】由,

则展开式的通项公式为：.

所以的展开式中的系数为：

的展开式中含的项:

展开式中的系数为：

的展开式中的系数为:

故答案为：11

【点睛】本题考查二项式展开式的通项公式的应用，属于中档题.

三、解答题

17．在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a（12cosC)）+c（12cosA）= 0

（1）求证：a + c = 2b；

（2）求角B的最大值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】（1）利用正弦定理把a（12cosC)）+c（12cosA）= 0，化简为（12cosC)sinA + (12cosA)sinC = 0，再利用三角函数恒等变换公式化简，然后利用正弦定理可得结论；

（2）由余弦定理得，再利用基本不等式可求得cosB，从而可求出角B的最大值

【详解】解:（1） ∵a(12cosC) +c(1 2cosA) = 0

由正弦定理得（12cosC)sinA + (12cosA)sinC = 0.        

∴sinA + sinC = 2 (sinAcosC + cosAsinC) = 2sin(A + C) = 2sinB，    

结合正弦定理得a+c=2b.                

（2）cosB=    

又∵    

∴cosB                                       

结合B (0，知B，即B的最大值为

18．为普及高中学生安全逃生知识与安全防护能力，乌海市某校高二年级举办了安全逃生知识与安全防护能力竞赛，该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，预赛为笔试，决赛为技能比赛，先将所有报名参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，制成如下频率分布表：

（1）求出上表中的，，，，的值；

（2）按规定，预赛成绩不低于90分的选手参加决赛，参加决赛的选手按照抽签方式决定出场顺序.已知某校高二（2）班只有甲､乙两名同学取得决赛资格.

①求决赛出场的顺序中，甲不在第一位､乙不在最后一位的概率；

②记某校高二（2）班在决赛中进入前三名的人数为，求的分布列和数学期望.

【答案】（1），，，，；（2）①；②分布列答案见解析，数学期望：1.

【分析】（1）由题意知，参赛选手共有50人，由此能求出表中的的值；

（2）① 分甲在第六位和不在第一位、第六位两种情况可得答案；

② 由题意随机变量的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量的分布列和随机变量的数学期望．

【详解】（1）因为的人数为16，其频率为0.32，

所以，，，，.

（2）由（1）知，参加决赛的选手共6人，

① 设“甲不在第一位､乙不在第六位”为事件A，

则，

所以甲不在第一位､乙不在第六位的概率为.

② 随机变量的可能取值为0，1，2，

依题意知，，，，

随机变量的分布列为

因为，所以随机变量的数学期望为1.

19．如图1，在梯形中，，且，是等腰直角三角形，其中为斜边.若把沿边折叠到的位置，使平面平面，如图2.

（1）证明：；

（2）若为棱的中点，求点到平面的距离.

【答案】（1）见解析；（2）.

【分析】（1）证明平面，则有；

（2）等体积法求点到平面的距离.

【详解】（1）证明：∵是等腰直角三角形，为斜边，

∴.

∵平面平面，平面平面，平面

∴平面，

∵平面，

∴；

（2）解：由（1）知，平面，

由题意可得，，，

则，，

∵为棱的中点，

∴，

∴，

在中，，，，

∴，

即，

则的面积为，

设点到平面的距离为

∵，

∴，

∴.

【点睛】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，点到平面距离的求法，考查直观想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题.

20．设椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线与椭圆交于不同的两点，以线段为直径作圆．若圆与轴相交于不同的两点，求的面积；

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据点到直线的距离公式求出b，再运用离心率求出a；

（2）求出A，B点的坐标，运用三角形面积公式即可.

【详解】（1）由于圆O与直线相切，所以圆心O到直线的距离等于圆O的半径即b，

，又，

椭圆C的方程为：；

（2）将代入椭圆C的方程得：，圆D的半径为，

圆D的方程为：，令代入上式得：；

综上，椭圆C的方程为，的面积为.

21．已知．

(1)求函数的单调区间；

(2)设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；

【答案】(1)单调增区间为，单调减区间为．

(2)0．

【分析】（1）由已知得，，由，得，此利用导数的正负确定单调区间．

（2）函数，

利用导数可得在递减，在递增，，即可．

【详解】（1），，

，

由，得，

当时，；，，．

函数的单调增区间为，单调减区间为．

（2）函数，

，令，得．

时，，时，

在递减，在递增，

，

关于的方程有解，则实数的最小值为0．

22．在极坐标系中，直线：，圆：．以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系．

（1）求直线的直角坐标方程和圆的参数方程；

（2）已知点在圆上，点到直线和x轴的距离分别为，求的最大值．

【答案】（1）直线的直角坐标方程为，圆的参数方程为（为参数）；（2）．

【解析】(1)利用极坐标方程与直角坐标方程，普通方程与参数方程的转化方法进行转化即可；

(2)结合(1)中的结论得到关于的表达式，结合三角函数的性质确定其最大值即可.

【详解】（1）由：得，；

因为，代入有直线的直角坐标方程为：，即为                                    

由圆：得，，因为， ，

，所以圆直角坐标方程为：                

由得，圆的参数方程为（为参数）                                         

（2）设点坐标为

则

又   

那么

当时，取得最大值.

【点睛】关键点点睛：考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，解题的关键写出圆的参数方程，将问题转化为三角函数的最值问题的处理方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

23．已知函数．

当时，求不等式的解集；

若不等式在恒成立，求a的取值范围．

【答案】（1）；（2）或．

【分析】代入的值，对分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果；问题转化为或在恒成立，求出的范围即可．

【详解】时，，

时，，不成立，

时，，解得：，

故，

时，，解得：，

故，

综上：不等式的解集是；

若不等式在恒成立，

则在恒成立，

故或在恒成立，

故或．

【点睛】本题考查了解绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题以及转化思想，是一道常规题．绝对值不等式的常见解法：

①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．