2023届贵州省高三上学期开学联合考试数学（文）试题含答案

2023届贵州省高三上学期开学联合考试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合， 则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】解一元二次不等式化简集合B，再利用交集的定义求解作答.

【详解】解不等式，得，即，而，

所以.

故选：D

2．已知复数， 且是纯虚数， 则（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用共轭复数的意义、复数的加法运算及纯虚数的意义求解作答.

【详解】复数，则，

因此，

依题意，，解得，

所以.

故选：A

3．目前， 全国多数省份已经开始了新高考改革．改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语3门全国统一考试科目成绩和3门选择性科目成绩组成．某校高三年级选择“物理、化学、生物”，“物理、化学、政治”和“历史、政治、地理”组合的学生人数分别是200，320，280． 现采用分层抽样的方法从上述学生中选出 40 位学生进行调查， 则从选择“物理、化学、生物”组合的学生中应抽取的人数是（    ）

A．6 B．10 C．14 D．16

【答案】B

【分析】先求出抽取比例，再根据分层抽样计算选择“物理、化学、生物”组合的学生的人数即可.

【详解】解：因为，

所以选择“物理、化学、生物”组合的学生的人数为：（人）.

故选：B.

4．为了得到函数的图象， 只需将函数 的图象（    ）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度

【答案】C

【分析】变形函数，再利用函数平移变换求解作答.

【详解】因为，又函数的周期为，

所以将函数 的图象向左或向右平移个单位长度，

即得的图象，显然当时，C满足，不存在整数k，使得选项A，B，D成立.

故选：C.

5．已知 ， 则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数函数的单调性，即得.

【详解】由题，，，，

所以.

故选：C.

6．已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点， 若， 则 (为坐标原点)的面积是（    ）

A． B．1 C．2 D．4

【答案】A

【分析】由题可得，利用抛物线的定义可得，利用三角形的面积公式结合条件即得，

【详解】由题可得，因为，

所以，，

所以为坐标原点)的面积是.

故选：A.

7．从A，B，C，D，E这五个景点中选择两个景点游玩，则A，B景点都没被选中的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据古典概型的概率公式，采用列举法，可得答案.

【详解】从A，B，C，D，E这五个景点中选择两个游玩，不同的情况有，，，，，，，，，，共10种，其中A，B景点都没被选中的情况有，，，共3种，故所求概率.

故选：D.

8．已知 ， 则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由条件根据余弦的二倍角公式可求出的值，再根据诱导公式可求出答案.

【详解】因为，

所以，

所以.

故选：B．

9．在正方体中，E是棱BC的中点，F在棱上，且，O是正方形ABCD的中心，则异面直线与EF所成角的余弦值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】取棱的中点，连接，，，，，易证四边形是平行四边形，则为异面直线与EF所成角，设，则可求出，，，利用余弦定理即可求出的余弦值.

【详解】如图，取棱的中点，连接，，，，．

由题意知：，，，，，

所以，，

所以四边形是平行四边形，则，，

故是异面直线与所成的角（或补角）．

设，则，，，

所以，，，

故．

故选：A.

10．已知函数的最小值为， 则 （    ）

A． B． C．e D．

【答案】D

【分析】求出导函数，求出函数的最小值，列方程即得.

【详解】由，得，

当时，则，函数在上为减函数，函数无最小值，不合题意，

当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，

时，函数有最小值，

解得.

故选：D.

11．已知双曲线的左焦点为，点P在双曲线C的右支上，，若的最小值是9，则双曲线C的离心率是（　　）

A． B． C．3 D．5

【答案】A

【分析】根据双曲线定义将转化为，数形结合即可求解.

【详解】设双曲线的右焦点为F2，由于点P为双曲线C右支上一点，

根据双曲线的定义，有，则，

如图所示：

所以

当且仅当在一条直线上时，有最小值.

解得a＝2，所以，

所以离心率e，

故选：A．

12．已知函数 若关于的不等式恒成立， 则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，由题可知直线要在函数的图象的下面，利用数形结合即得.

【详解】∵，

设，则恒成立，

作出函数与的大致图象，

由可知过定点，则过的直线要在函数的图象的下面，

由图象可知当与相切与点时为一个临界值，

把代入，可得，

由，可得或(舍去)，

当过的直线经过时为另一个临界值，此时，

所以.

故选：C.

二、填空题

13．已知，若，则向量夹角的余弦值是______.

【答案】/

【分析】利用平面向量的数量积与模的关系计算即可.

【详解】设与的夹角为，由题意，，，

则，

解得，即向量夹角的余弦值是.

故答案为：

14．已知实数满足约束条件 ，则的最小值为_____.

【答案】4

【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义求出最小值作答.

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影，其中，

目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，

画出直线，平移直线至直线，

当直线经过点时，直线的纵截距最小，最小，即，

所以的最小值为.

故答案为：4.

15．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一， 也称陀罗.图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体， 其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心， 且，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是_____.

【答案】

【分析】根据给定条件，求出圆柱的侧面积、圆锥的侧面积作答.

【详解】令，则圆锥的底面圆半径，高，母线，

因此该圆锥的侧面积，

圆柱的底面半径，高，因此该圆柱的侧面积，

所以该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值.

故答案为：

16．已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且.若，则面积的最小值是______.

【答案】

【分析】利用正弦定理及两角和正弦公式可得，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得.

【详解】∵，

∴，

即，

又，，

∴，即，又，

∴，

由题可知，，

所以，即，

又，即，当且仅当取等号，

所以，

即面积的最小值是.

故答案为：

三、解答题

17．在数列中， ．

(1)求的通项公式；

(2)若， 求数列的前项和．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用与的关系即得；

（2）利用裂项相消法即得.

【详解】（1）因为 ，

所以当时，，

所以，

所以，

当 时，满足上式，

所以；

（2）因为，

则，

从而，

故 ．

18．某校举办传统文化知识竞赛，从该校参赛学生中随机抽取100名学生，根据他们的竞赛成绩(满分：100分)，按分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)估计该校学生成绩的中位数；

(2)若竞赛成绩不低于80分，定为竞赛成绩优秀，否则为非优秀.已知样本中竞赛成绩优秀的女生有6人，根据题中频率分布直方图完成下列列联表，并判断是否有的把握认为是否优秀与性别有关.

参考公式： ， 其中.

参考数据：

【答案】(1)75

(2)列联表见解析，有

【分析】（1）根据频率分布直方图中，中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的即可求解；

（2）根据题意，完成列联表，再根据独立性检验思想求出，最后与参考值比较，从而可得结论.

【详解】（1）因为，

所以中位数在[70，80)内.

设中位数为，则，解得=75.

（2）由图可知优秀的人数为，

则非优秀人数为100-32=68.

因为优秀的女生人数为6人，所以优秀的男生人数为32-6=26人.

所以非优秀的男生人数为60-26=34，非优秀的女生人数为40-6=34.

则列联表如下

由表中数据可得，

因为8.854>6.635，所以有99%的把握认为是否优秀与性别有关.

19．如图，在直四棱柱中，四边形是菱形，分别是棱，的中点．

(1)证明：平面平面．

(2)若，，求点到平面的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接，先证明平面，再证明即可证得结果；

（2）连接，，作，垂足为，证明平面，进而根据等体积法求解即可.

【详解】（1）证明：连接．因为四边形是菱形，所以．

由直四棱柱的定义可知平面，平面，

所以．

因为平面，平面，且，

所以平面．

由直四棱柱的定义可知，．

因为分别是棱，的中点，

所以，，

所以四边形是平行四边形，则．

所以平面．

因为平面，

所以平面平面.

（2）解：连接，，作，垂足为，

因为平面，平面，

所以，

因为平面，平面，，

所以平面．

因为，，所以．

因为的面积，

所以三棱锥的体积．

设点到平面的距离为 ，因为，所以，，所以的面积．

则三棱锥的体积．

因为，所以，解得．

所以点到平面的距离为

20．已知椭圆：的离心率为，且经过点．

(1)求椭圆的方程．

(2)过点的直线交椭圆于、两点，求为原点面积的最大值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由题意可得，解得，，即可得出答案．

（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由弦长公式可得，点到直线的距离公式可得点到直线的距离，再计算的面积，利用基本不等式，即可得出答案．

【详解】（1）解：由题意可得，

解得，

所以椭圆的标准方程为．

（2）解：由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,，

联立，得，

，

所以，即或，

则，

故，

点到直线的距离，

所以的面积，

设，则，

故，当且仅当时，等号成立，

所以面积的最大值为．

21．已知函数.

(1)求的最小值；

(2)证明： .

【答案】(1)0；

(2)证明见解析.

【分析】（1）根据给定条件，利用导数求出函数的最小值作答.

（2）等价变形不等式，构造函数，并求出其最大值，再结合（1）推理作答.

【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，

显然函数在 上单调递增，且，由，得 ，由，得，

即在上单调递减，在上单调递增，，

所以的最小值为0.

（2）不等式，

由（1）知，当 时，恒成立，即恒成立，

令，求导得，由 ， 得 ，由 ，得，

因此在上单调递增，在上单调递减，即，当且仅当时取等号，

于是，

所以.

22．在平面直角坐标系中， 曲线的参数方程为(为参数)， 以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．

(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)若直线与曲线交于两点，点，求的值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】(1)由参数方程与直角坐标方程和极坐标方程与直角坐标方程的互化的方法化简即可；

(2)将直线方程化成参数形式，再代入曲线的方程中，由韦达定理可得的值，再根据计算即可.

【详解】（1）解： 由 (为参数)， 得，

故曲线的普通方程为．

由， 得，

故直线的直角坐标方程为

（2）解：由题意可知直线的参数方程为 (参数)．

将直线的参数方程代人曲线的普通方程并整理得，

设对应的参数分别是 ，

则 ，

故 ．

23．已知函数．

(1)求不等式的解集；

(2)若恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）讨论，两种情况，分别求解，即可得出结果；

（2）由绝对值三角不等式得到的最小值，再解不等式，即可得出结果.

【详解】（1）当时，原不等式可化为，解得，所以；

当时，原不等式可化为，解得，所以，

综上，原不等式的解集为；

（2）（2）由恒成立，可得恒成立，

因为，

所以， 解得 或．

即的取值范围是 ．