2023届青海省西宁市六校联考高三下学期开学考试数学（文）试题含答案

2023届青海省西宁市六校联考高三下学期开学考试数学（文）试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解一元二次不等式化简集合，再由交集的概念，即可得出结果.

【详解】因为，，

所以.

故选：B.

【点睛】本题主要考查求集合的交集，涉及一元二次不等式的解法，属于基础题型.

2．复数在复平面内对应点的坐标是　　

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应点的坐标得答案．

【详解】，

复数z在复平面内对应点的坐标是．

故选B．

【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3．命题“∀x∈R，x2﹣2x＜0”的否定是（    ）

A．∀x∈R，x2﹣2x≥0 B．∀x∈R，x2﹣2x＞0

C．∃x0∈R，x02﹣2x0≥0 D．∃x0∈R，x02﹣2x0＞0

【答案】C

【分析】全称量词改为特称量词，结论变为否定，即可得到本题答案.

【详解】命题“”的否定是，.

故选：C

【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属基础题.

4．若函数是偶函数，其定义域为，且在上是增函数，则与的大小关系是（     ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】函数是偶函数，其定义域为，且在上是增函数，

∴ 在上是减函数，

，

∴

故选C

5．若成等差数列；成等比数列，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差数列和等比数列的性质列出方程，求出，，求出.

【详解】由题意得：，

设的公比为，则，，

解得：，

.

故选：B

6．已知是两个不同的平面，是一条直线，给出下列说法：

①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中说法正确的个数为

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【详解】分析：

①和②可举反例，，即可判断；③运用线面垂直的判定，和面面平行的性质，即可判断；④由线面平行的性质和面面垂直的性质，可举反例或与相交且与不垂直.

详解：

①若，则，或；

②若，则，则，或；

③若，则,正确；

④若，则，或或与相交且与不垂直.

故选C.

点睛：本题主要考查线面、面面的位置关系，注意线在面内的反例情况，难度不大.

7．若，，，则实数的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】利用指数对数函数的性质分析得到，即得解.

【详解】由得

由得，

由得，

所以.

故选：B

【点睛】本题主要考查对指互化，考查指数对数函数的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

8．已知非零向量，满足，则与的夹角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将已知等式两边平方，根据向量数量积的运算律，求出，即可得出结论.

【详解】，两边平方，

，所以，

又，是非零向量，所以，

即与的夹角为.

故选：C.

9．执行如图所示的程序框图，如果输出的值为4，则判断框内应填入的判断条件为

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，若输出的值为4，可得退出循环时的值为14，即，时，应该不满足条件，退出循环，从而可得判断框内应填入的判断条件为．

【详解】由题意，若输出的值为4，可得：，即退出循环时的值为14．

模拟程序框图的运行过程，得，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

满足条件，执行循环体，，

此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出的值为14，

故判断框内应填入的判断条件为．故选C

【点睛】本题主要考查了直到型循环结构的应用问题，解题时应注意程序运行的过程，属于基础题．

10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据给定的几何体的三视图可知，该几何体的左侧是一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，右侧是一个底面半径为1，高为2的半圆锥，利用体积公式，即可求解．

【详解】由题意，根据给定的几何体的三视图可知，该几何体的左侧是一个底面半径为1，母线长为2的半圆柱，右侧是一个底面半径为1，高为1的半圆锥，

所以该几何体的体积为，故选A．

【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解．

11．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】采用排除法，先判断函数的奇偶性，再带特殊点求函数值得出结果.

【详解】因为函数，定义域为，关于原点对称，

又，函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A，C；

又当时，，排除选项D.

故选：B.

【点睛】思路点睛：函数图像的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图像.

12．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，结合题意讨论单调性即可求解.

【详解】当时，令

所以，

所以在时单调递增，

对于A，由以上结论得即

即，故A正确；

对于B，由以上结论得即

即，故B错误；

对于C，因为，

故只用判断，

由A选项知，

但无法判断是否成立，故C错误；

对于D，只用判断是否成立，

根据题设条件，无法判断是否成立，故D错误.

故选:A.

二、填空题

13．设实数满足约束条件，则的最大值为      .

【答案】

【分析】根据约束条件作出可行域，将目标函数变形为，通过平移可知当直线过点时，截距取得最小值，从而可得的最大值．

【详解】作出已知不等式组所表示的平面区域，如图所示：

将目标函数变形为，由图可知当直线经过点时，截距最小，

此时取得最大值为.

故答案为：

【点睛】本题主要考查简单线性规划，解决线性规划问题的关键是正确地作出可行域，准确地理解目标函数的几何意义．

14．已知直线，则过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程为        .

【答案】

【分析】将圆的一般方程化为标准方程,求得圆心.由两条直线垂直可得直线的斜率.由点斜式即可求得直线的方程.

【详解】圆,化为标准方程可得

则圆心坐标为

因为,直线与直线垂直

由两条直线垂直的斜率关系可得直线的斜率为

由点斜式方程可得

化简即

故答案为:

【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,两条直线垂直时斜率关系,点斜式方程的简单应用,属于基础题.

15．若，则曲线在点处的切线方程是                      ．

【答案】

【分析】求得函数的导数，令，求得，得出函数的解析式，再求得，结合直线的点斜式方程，即可求解.

【详解】由题意，函数，可得，

令，可得，解得，

所以，可得，

所以曲线在点处的切线方程是，即.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力.

16．已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足，，若该三棱锥体积的最大值为3．则其外接球的体积为        .

【答案】

【分析】画出示意图，利用体积最大时所处的位置，计算出球的半径从而算出球的体积.

【详解】如图所示：

设球心为，所在圆面的圆心为，则平面；因为，，所以是等腰直角三角形，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的体积为：.

【点睛】本题考查三棱锥的外接球的相关计算，难度较难.处理球的有关问题时要充分考虑到球本身的性质，例如：球心与小圆面圆心的连线垂直于小圆面.

三、解答题

17．已知数列{an}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）记，求{}的前n项和Sn．

【答案】(1)(2)

【详解】试题分析：

（1）由条件求得等差数列的首项和公差，可得通项公式．（2）结合（1）求得数列的通项公式，然后根据列项相消法求和．

试题解析：

（1）设等差数列{an}的公差为d，

由题意得，

解得．

∴．

即数列{an}的通项公式为．

（2）由（1）可得==﹣，

∴

．

18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．

(1)求角A的大小；

(2)若，，求bc的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由正弦定理即可求解；

（2）由余弦定理即可求解.

【详解】（1）根据正弦定理可得，

∵，∴．∴，

∴，∵，∴．

（2）根据余弦定理得：，

即，

∵，代入解得：．

19．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，底面ABCD，且，M是PB的中点．

(1)证明：；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由线线垂直证平面PAD，再证；

（2）.

【详解】（1）证明：∵平面ABCD，平面ABCD，∴．

又∵，，AP，平面PAD，∴平面PAD，

又平面PAD，∴．

（2）∵M是PB的中点，底面ABCD，∴点M到平面ABC的距离为．

∴，．

∴．

20．已知函数.

(1)若，，求函数的值；

(2)求函数的最小正周期和值域.

【答案】(1)

(2)函数的最小正周期为，值域为

【分析】（1）先利用三角函数的基本关系式求得，再利用三角函数的和差公式即可得解；

（2）利用辅助角公式化简，从而利用正弦函数的性质即可得解.

【详解】（1）因为，，所以，

故.

（2）由（1）得，

所以的最小正周期为，

因为，则，所以的值域为.

21．已知函数.

（1）函数，讨论的单调性；

（2）函数（）的图象在点处的切线为，证明：有且只有两个点使得直线与函数的图象也相切.

【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）证明见解析.

【分析】（1）先对求导，然后对a分类讨论，求出单调区间即可；

（2）设（），可求出直线的方程为：，假设直线与的图象也相切，切点为，所以直线的方程也可以写作为：，又因为斜率相等可得，即，由此可得，令（），然后结合零点存在性定理证明即可.

【详解】（1）（），所以，

①当即时：在上单调递增；

②当即时：令有：，

所以：在单调递减，在上单调递增；

（2）设（），

，所以：，

所以直线的方程为：，即：，①

假设直线与的图象也相切，切点为，

因为，所以：，

所以直线的方程也可以写作为：，

又因为，即：，

所以直线的方程为：，即：，②

由①②有：，即：，

令（），

所以，

令，得：，

所以：在上单调递减，在上单调递增，

所以：，

又因为：当时，；当时，，

所以：在有且只有两个实数根，

所以有且只有两个点使得直线与函数的图象也相切.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化和划归思想，属于难题.

22．已知数列的前n项和为，，，，其中为常数．

(1)证明：；

(2)若数列为等比数列，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】（1）由消去等式中的，化简证明等式成立；

（2）由（1），利用得到数列的递推关系，由条件为等比数列，所以，解出.

【详解】（1）证明：∵，，

∴．∴．

∵，∴，∴．∴．

（2）由（1）知，，当时，，

两式相减，（，），

∴数列从第二项起成等比数列，且公比．

又，即，

∴， ∴，

∴当时，数列是等比数列．