2022-2023学年重庆市四川外语学院重庆第二外国语学校高三下学期开学考试数学试题含答案

  重庆第二外国语学校2023届开学检测

数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、姓名” 与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题 每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1．若复数是实数，则实数m=(    )

A． B．0 C．1 D．2

2．下列函数中，既是偶函数又在（0，）上单调递增的是(    )

A． B． C． D．

3．某种包装的大米质量（单位：kg）服从正态分布（10，），根据检测结果可知P（9.98≤≤10.02）=0.98，某公司购买该种包装的大米2000袋，则大米质量在10.02kg以上的袋数大约为(    )

A．10 В．20 C．30 D．40

4．已知，则不等式的解集为(    )

A．          B．           C．            D．

5. 在劳动技术课上某小组同学用游标卡尺测量一个高度为7毫米的零件50次时，所得数据如下：

根据此数据推测，假如再用游标卡尺测量该零件2次，则2次测得的平均值为7.1毫米的概率为（   ）

A. 0.04 B. 0.11 C. 0.13 D. 0.26

6．双碳，即碳达峰与碳中和的简称，2020年9月中国明确提出2030年实现“碳达峰”，2060年实现“碳中和”．为了实现这一目标，中国加大了电动汽车的研究与推广，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池随之也迎来了蓬勃发展的机遇．Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：A·h），放电时间t（单位：h）与放电电流I（单位：A）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流，放电时间为(    )

A．28h             B．28.5h             C．29h                 D．29.5h

7．已知，，则的值为(    )

A．         B．           C．             D．

8．已知直线既是函数的图象的切线，同时也是函数的图象的切线，则函数零点个数为(    )

A．0            B．1            C．0或1            D．1或2

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9. 某人投掷骰子5次，由于记录遗失，只有数据平均数为3和方差不超过1，则这5次点数中（    ）

A. 众数可为3  B. 中位数可为2  C. 极差可为2  D. 最大点数可为5

10. 已知直线y=kx（k≠0）与双曲线交于A，B两点，以AB为直径圆恰好经过双曲线的右焦点F，若三角形ABF的面积为，则以下正确的结论有（   ）

A. 双曲线的离心率为2 B. 双曲线的离心率为

C. 双曲线的渐近线方程为y=±2x D.

11．已知函数，则下列结论中正确的是(    )

A．若ω=2，则将的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于原点对称

B．若 ，且 的最小值为，则ω=2

C．若在[0, ]上单调递增，则ω的取值范围为(0，3]

D．若在[0，π]有且仅有3个零点，则ω的取值范围是 []

12．已知抛物线 的焦点为F，准线l交x轴于点D，直线m过D且交C于不同的A，B两点，B在线段AD上，点P为A在l上的射影．线段PF交y轴于点E，下列命题正确的是(    )

A．对于任意直线m，均有AE⊥PF

B．不存在直线m，满足

C．对于任意直线m，直线AE与抛物线C相切

D．存在直线m，使|AF|+|BF|=2|DF|

三、填空題：本题共4小題，每小题5分，共20分.

13．已知a，b是两个单位向量，c=2a+b，且，则________．

14．正三棱锥S-ABC的底面边长为4，侧棱长为，D为棱AC的中点，则异面直线SD与AB所成角的余弦值为          ．

15．以抛物线C：的焦点F为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点，已知，则          ．

16．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为______，四面体ABCD的内切球与外接球的球心距为           。

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，．

（1）求C；

（2）求△ABC的面积．

18.（本小题满分12分）

己知等差数列的公差为正实数，满足，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前n项和为，若，且___________，求数列的前项和为，以下有三个条件：①；②；③从中选一个合适的条件，填入上面横线处，使得数列为等比数列，并根据题意解决问题.

19. 如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且，E为AB中点，F为与的交点.

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值

20. (本小题满分12分)

某公司对40名试用员工进行业务水平测试，根据测试成绩评定是否正式录用以及正式录用后的岗位等级，测试分笔试和面试两个环节．笔试环节所有40名试用员工全部参加；参加面试环节的员工由公司按规则确定．公司对40名试用员工的笔试得分(笔试得分都在[75，100]内)进行了统计分析，得到如下的频率分布直方图和2×2列联表．

(1) 请完成上面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否”与性别有关；

(2) 公司决定：在笔试环节中得分低于85分的员工直接淘汰，得分不低于85分的员工都正式录用．笔试得分在[95，100]内的岗位等级直接定为一级(无需参加面试环节)；笔试得分在[90，95)内的岗位等级初定为二级，但有的概率通过面试环节将二级晋升为一级；笔试分数在[85，90)内的岗位等级初定为三级，但有的概率通过面试环节将三级晋升为二级．若所有被正式录用且岗位等级初定为二级和三级的员工都需参加面试．已知甲、乙为该公司的两名试用员工，以频率视为概率．

① 若甲已被公司正式录用，求甲的最终岗位等级为一级的概率；

② 若乙在笔试环节等级初定为二级，求甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级的概率．

参考公式和数据：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

21．（本小题满分12分）

已知椭圆C：的上顶点为A，右焦点为F，原点O到直线AF的距离为，△AOF的面积为1．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点F的直线l与C交于M，N两点，过点M作轴于点E，过点N作轴于点Q，QM与NE交于点P，是否存在直线l使得△PMN的面积等于，若存在，求出直线l的方程：若不存在，请说明理由．

22.(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝ln x＋，其中a∈R，e为自然对数的底数，e≈2.718.

(1) 若函数f(x)在定义域上有两个零点，求实数a的取值范围；

(2) 当a＝1时，求证：f(x)＜＋sin x．

参考答案

选择题：ACBBC BCB  AC BCD ABD AC

填空题：        、4-2

解答题：

17．解：

（1）因为，

所以由正弦定理得，

由余弦定理得，又，则．

（2）因为，，

所以，即，

因为，所以，

所以，

所以．

18．解：

（1）设等差数列的公差为，

因为成等比数列，

所以，即，

解得（负值舍去），所以，

所以；

（2）选①，由，

当时，，

当时等式也成立，

所以，

则，

所以，

则，

两式相减得

，

所以.

选②，由，

当时，，

所以，

所以数列为以1为首项2为公比的等比数列，

所以，

则，

以下步骤同①.

选③，由，

得，

两式相减得：，

又，

所以数列为以1为首项2为公比的等比数列，

所以，

则，

以下步骤同①.

19. 解：

（1）如图，连接BD.

在菱形ABCD中，连接BD，∠BAD=60°，所以为正三角形，

因为E为AB的中点，所以DE⊥AB.

因为AB//CD，所以DE⊥CD.

因为平面ABCD，平面ABCD，所以，

而，所以DE⊥平面.又因为平面DEF，所以平面DEF⊥平面.

（2）设，以D为原点，以直线DE，DC，分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，.

设为平面DEF的法向量，由得取，得.

由（1），则平面，即为平面的一个法向量，所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.

20.解：(1) 2×2列联表：

假设H0：试用员工的业务水平优良与否与性别无关．

χ2＝≈0.317＜2.706，

因为P(χ2≥2.706)＝0.10，

所以没有90%的把握认为“试用员工的业务水平优良与否与性别有关”．

(2) ①记“甲被公司正式录用”为事件A，“甲最终岗位等级为一级”为事件B.

依题意，P(A)＝(0.06＋0.04＋0.02)×5＝，P(AB)＝0.02×5＋0.04×5×＝，所以P(B|A)＝＝＝，

故在甲已被公司正式录用的情况下，甲的最终岗位等级为一级的概率为.

②记“甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位等级”为事件C，

所以P(C)＝0.02×5＋0.04×5×＋0.04×5××＋0.06×5××＝，

故甲的最终岗位等级不低于乙的最终岗位的概率为.

21.解：

（1）由题意知，，

因为△AOF的面积为1，所以．

又直线AF的方程，即，

因为点O到直线AF的距离为，

所以，解得，，，

所以椭圆C的方程为．

（2）依题意，当直线MN斜率为0时，不符合题意；当直线斜率不为0时，设直线MN方程为．

联立，得，

易知．

设，，则，．

因为轴，轴，所以，．

所以直线QM：①，

直线NE：②，

联立①②解得．

因为，ME与直线平行，

所以，

因为，

所以，

由，得，解得，此时直线l的方程为或．

22.解：

(1) 因为f(x)＝ln x＋，x＞0，所以f′(x)＝.

① 若a≤0，则f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，此时f(x)在(0，＋∞)上至多有一个零点，不符合题意．

②若a＞0，令f′(x)＝0，得x＝a.

要使f(x)在(0，＋∞)上有两个零点，须满足f(a)＜0，得0＜a＜.

当0＜a＜时，a2＜a＜1，f(a)＜0，f(1)＝a＞0，显然f(x)在(0，＋∞)上的图象是一条不间断的曲线，所以存在x1∈(a，1)⊆(a，＋∞)，使得f(x)＝0；

又f(a2)＝2ln a＋，记g(a)＝2ln a＋，0＜a＜，则g′(a)＝－＝＜0，g(a)在(0，)上单调递减，故g(a)＞g()＝e－2＞0，即f(a2)＞0，所以存在x2∈(a2，a)⊆(0，a)，使得f(x)＝0.

综上所述，当0＜a＜时，f(x)在(0，＋∞)上存在两个零点．

(2) 依题意，要证ln x＋＜＋sin x，即证x ln x－ex－x sin x＋1＜0.

令h(x)＝x ln x－ex－x sin x＋1，x＞0.

① 当0＜x≤1时，x sin x＞0，1－ex＜0，故h(x)＜0.

② 当1＜x≤2时，x sin x＞0，故h(x)＜x ln x－ex＋1.

令u(x)＝x ln x－ex＋1，x∈(1，2]，u′(x)＝1＋ln x－ex，

显然u″(x)＝－ex在(1，2]上单调递减，u″(x)＜u″(1)＝1－e＜0，

所以u′(x)在(1，2]上单调递减，u′(x)＜u(1)＝1－e＜0，

所以u(x)在(1，2]上单调递减，u(x)＜u(1)＝1－e＜0，

所以，当x∈(1，2]时，h(x)＜u(x)＜0.(9分)

③ 当x＞2时，－1≤sin x≤1，－x≤x sin x≤x，故h(x)≤x ln x－ex＋x＋1.令v(x)＝x ln x－ex＋x＋1，x＞2，v′(x)＝2＋ln x－ex，

显然v″(x)＝－ex在(2，＋∞)上单调递减，v″(x)＜v″(2)＝－e2＜0，

所以v′(x)在(2，＋∞)上单调递减，v′(x)＜v′(2)＝2＋ln 2－e2＜0，

所以v(x)在(2，＋∞)上单调递减，v(x)＜v(2)＝2ln 2－e2＋2＋1＜5－e2＜0，

所以，当x＞2时，h(x)≤v(x)＜0.

综上所述，当x＞0时，h(x)＜0，得证．