2024届湖南省长沙一中湘豫名校联考高三上学期8月入学摸底考试数学试题含答案

  湘豫名校联考2023年8月高三秋季入学摸底考试

数学

注意事项：

1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.荅题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘炶在答题卡上的指定位置.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦于净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回.

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，则（）

A.B.C.D.

2.设是虚数单位，若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）

A.B.C.D.

3.已知直线与圆相切，则实数（）

A.或B.-11或9

C.11或-9    D.或

4.已知角的终边上一点，且，则（）

A.B.C.D.

5.已知向量在方向上的投影向量的模为，向量在方向上的投影向量的模为1，且，则（）

A.B.C.D.

6.如图，在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值等于（）

A.B.C.D.

7.过抛物线的焦点的直线交于两点，若直线过点，且，则抛物线的准线方程是（）

A.B.

C.D.

8.已知函数则的图象关于（）

A.点对称    B.点对称

C.直线对称    D.直线对称

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知二项式展开式的第5项为15，则（）

A.

B.

C.展开式的系数的最大值为20

D.展开式的各项系数之和为64

10.已知数列满足，则下列结论正确的是（）

A.若，则

B.若，且，则

C.若，则

D.若，则数列的前项和

11.某书店为了解其受众人群，对100名顾客的年龄进行调研，并将所统计的数据制成如图所示的频率分布直方图.已知是各个小矩形上短边的中点，若点在一条直线上，点在一条直线上，且，则下列描述正确的是（）

A.的值为0.0108

B.数据的众数大于中位数

C.数据的中位数小于平均数

D.数据的第80百分位数大于60

12.若函数满足：①，恒有，②，恒有，③时，，则下列结论正确的是（）

A.

B.的最大值为4

C.的单调递减区间为

D.若曲线与的图象有6个不同的交点，则实数的取值范围为

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量，若，则实数的一个可能取值为__________.（答案不唯一）

14.对具有线性相关关系的变量，有一组观测数据，其经验回归方程为，且，则相应于点的残差为__________.

15.若是函数的两个极值点，且，则实数的取值范围是__________.

16.在三棱锥中，平面平面，底面是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为__________.

四､解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知函数的内角所对的边分别为，且的外接圆的半径为.

（1）求角的大小；

（2）求面积的最大值.

18.（本小题满分12分）

一个不透明口袋里有大小､形状､质量完全相同的10个小球，其中有1个红色球､2个绿色球､3个黑色球，其余的是白色球，采取放回式抽样法，每次抽取前充分搅拌.

（1）50名学生先后各从口袋里随机抽取1个球，设抽取到的球为黑色或红色的次数为，求的数学期望；

（2）甲､乙两人进行游戏比赛，规定：抽到红色球得100分，抽到绿色球得50分，抽到黑色球得0分，抽到白色球得-10分.两人各从口袋里抽取两次，每次随机抽取一个球，求甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率.

19.（本小题满分12分）

已知数列满足以下三个条件，从中任选一个.

条件①：为数列的前项和，，且；

条件②：数列是首项为1的等比数列，且成等差数列；数列的各项均为正数，为其前项和，且，数列满足

条件③：数列满足，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）记数列的前项和为，证明：.

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

20.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是矩形，平面平面，且分别是的中点.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的正弦值.

21.（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，已知分别为椭圆的左､右焦点.为椭圆上的一个动点，的最大值为，且点到右焦点距离的最小值为，直线交椭圆于异于椭圆右顶点的两个点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若以为直径的圆恒过点，求证：直线桓过定点，并求此定点的坐标.

22.（本小题满分12分）

已知函数.

（1）若，求实数的取值范围；

（2）若函数的单调递增区间为，且的极大值为，求证：.