2023届湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学（湖南师大附中梅溪湖中学）等2校高三下学期3月联考数学试题含答案

这是一份2023届湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学（湖南师大附中梅溪湖中学）等2校高三下学期3月联考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学（湖南师大附中梅溪湖中学）等2校2023届高三下学期3月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．设集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，将集合化简，然后由集合的运算即可得到结果.【详解】因为，且，所以故选:A2．数列中，，（为正整数），则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由递推式证明数列为等差数列，利用等差数列通项公式求数列的通项，由此可求数列的通项公式.【详解】因为，所以，又，可得，所以数列为首项为1，公差为的等差数列，所以，所以，故选：B.3．已知正项等比数列{an}满足，若存在两项，，使得，则的最小值为（    ）A．9 B． C． D．【答案】B【分析】利用等比数列的通项公式求出公比及m与n的关系式，由于，所以采取逐一代入法求解最值即可.【详解】依题意，正项等比数列{a}满足，所以，即，解得q＝2或q＝－1．因为数列{a}是正项等比数列，所以，所以.因为，所以，且，当m＝1，n＝3时，，当m＝n＝2时，，当m＝3，n＝1时，，则的最小值为.故选：B．4．如图，M在四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，且，设，，，则下列向量与相等的向量是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意得出，再用向量线性运算化简后可得.【详解】因为M在四面体OABC的棱BC的中点，所以，又点N在线段OM上，且，故点为的三等分点，所以，所以.故选与相等的向量的向量是；故选：A.5．已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F，M是椭圆上任意一点，则的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】解法一 ：由题意可得，，，设.表示出，然后根据椭圆的范围即可求出范围；解法二：由题意可得，，，设，取线段AF的中点，可推得，然后根据椭圆的范围即可求出范围.【详解】解法一：由题意知，，设.则.因为，所以，所以，所以． 解法二：由题意知，．设，取线段AF的中点N，则，连接MN.则.因为，所以，所以，所以．故选：D．6．函数的图像大致为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用函数的奇偶性排除选项C和D；当时，，排除选项A，可得正确结论．【详解】函数定义域为，且，是奇函数，排除选项C和D；当时，，排除选项A；故选：B7．已知函数的部分图象如图所示，其中.在已知的条件下，则下列选项中可以确定其值的量为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数图象可知，是函数的两个零点，即可得，利用已知条件即可确定的值.【详解】根据图象可知，函数的图象是由向右平移个单位得到的；由图可知，利用整体代换可得，所以，若为已知，则可求得.故选：B8．已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题意可求出，根据全概率公式直接求解即可.【详解】由题意知，，所以.故选:B. 二、多选题9．已知函数，下面关于x的方程的实数根的个数，说法正确的是（    ）A．当时，原方程有6个根B．当时，原方程有6个根C．当时，原方程有4个根D．不论a取何值，原方程都不可能有7个根【答案】ABC【分析】由解析式可画出图像，则方程的根的个数为函数的图像与直线交点的个数.结合图像可知在m取各种值时的根的情况，又，后分别判断各选项即可.【详解】令，则方程实根的个数等价于函数的图像与直线交点的个数，由于，做出函数的图像，如下图所示：当时，函数的图像与直线交3点的只有1个，故方程实根的个数为1个；当或时，函数的图像与直线交点的有2个，故方程实根的个数为2个；当时，函数的图像与直线交点的有3个，故方程实根的个数为3个．方程，可化为.AB选项，当时，，方程有3个不等实数根，分别记为，，，且，，，从而方程有1个实数根，方程有3个不等实数根，方程有2个不等实数根，∴方程有6个不等实根，故AB正确；当时．，方程有2个实数根分别为－1，1，从而方程有1个实数根，方程有3个不等实数根，∴方程有4个不等实根，故C正确；当时，，方程有3个不等实数根，分别为0，和e，从而方程有2个不等实数根，方程有3个不等实数根，方程有2个不等实数根，则方程有7个不等实根故D错误；故选：ABC．【点睛】关键点点睛：本题涉及用数形结合思想研究函数的零点，难度较大.函数有零点等价于函数对应方程有根，故对于可较为方便画出图像的函数常用数形结合研究函数零点，其次对于含的表达式，常令，从而简化式子.10．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（    ）A．， B．函数既有极大值又有极小值C．函数有三个零点 D．过可以作三条直线与图像相切【答案】AB【分析】根据“拐点”的定义与的对称中心，建立方程求出可判断A，再由导数与函数单调性的关系即可判断的极值，从而判断B，根据的单调性及的极值可判断C，根据导数的几何意义求出的切线方程，从而转化为切点个数问题即可判断D.【详解】，，，即，解得，故A正确；，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以既有极大值又有极小值，故B正确；由选项B可知在与处取得极大值与极小值，又，，即的极大值与极小值大于0，所以函数不会有3个零点，故C错误；设切点为，则切线方程为，又切线过，则，化简得，即，解得或，即满足题意的切点只有两个，所以满足题意只有两条切线，故D错误.故选：AB.11．如图，设E，F分别是正方体的棱CD上的两个动点，点E在F的左边，且，，点P在线段上运动，则下列说法正确的是（    ）A．平面B．三棱锥的体积为定值C．点P到平面的距离为D．直线与直线所成角的余弦值的最大值为【答案】BC【分析】A选项，假设与平面垂直，又⊥平面，推出矛盾；B选项，等体积法求解三棱锥体积为定值；C选项，等体积法求解点到平面的距离；D选项，建立空间直角坐标系，用空间向量求解异面直线夹角的余弦值的最大值.【详解】对于A，平面与平面为同一个平面，假设⊥平面，则⊥平面，连接交于，由为正方形，，正方体中，平面，平面，又，平面，⊥平面，则可推出平面与平面平行或重合，由图易知这两个平面显然是相交的，矛盾，故A错误．对于B，因为，而定值，也为定值，所以为定值，故B正确．对于C，因为，平面，所以平面．又点P在线段上运动，所以点P到平面的距离等于点B到平面的距离，其中，．设点B到平面 的距离为d，由，得：，解得：，即点P到平面的距离为，故C正确．对于D，以D为原点，分别以为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，．设直线与成的角为，当时，，，此时当时，，当且仅当时，等号成立，故D错误．故选：BC12．棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱AD，，的中点，过点E，F，G的平面记为平面，则下列说法正确的是（    ）A．平面B．平面C．平面截正方体外接球所得圆的面积为D．正方体的表面上与点E的距离为的点形成的曲线的长度为【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，如图所示，对AB，利用向量法判断线面平行、线面垂直；对C，由向量法求点面距离判断外接球到及所截圆心重合，进而可求面积；对D，将所求曲线转化为球截面上的圆弧长，进而逐个表面讨论即可.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，对A，设平面的法向量为，，，，则有，令得，由，而FG不在平面ACB1中，故平面，A对；对B，，，由，，∵平面，故平面，B对；对C，设，则O为正方体外接球心，，外接球半径，设平面，由，，平面，则，故与重合，故平面截正方体外接球所得圆的面积为，C错；对D，由题意，所求的点可看作正方体与半径为的球E的交点，则由球的性质，在表面上，∵，故只有两个交点，不形成曲线；在表面上，形成的曲线为以为圆心，半径为的圆与正方形交得的圆弧，长度为；在表面上，形成的曲线为以中点为圆心，半径为的圆与正方形交得的圆弧，长度为.由正方体的对称性，所求的曲线长度为，D对.故选：ABD. 三、填空题13．设，则满足在上恒正的是__________.（填写序号）①；②；③；④.【答案】①③【分析】求导，根据题意逐项分析运算.【详解】对①：，则，故在上恒成立，①成立；对②：，则，故在上恒成立，在上恒成立，②不成立；对③：，则，故在上恒成立，③成立；对④：由，解得，故的定义域为，则，故在上恒成立，④不成立；故答案为：①③.14．已知数列的前n项和为，且，则数列的前n项和______.【答案】【分析】根据给定的递推公式求出数列的通项，再利用裂项相消法求解作答.【详解】数列的前n项和为，，，当时，，两式相减得：，即，而，解得，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，，所以.故答案为：15．若且，圆：和圆：有且只有一条公切线，则的最小值为______．【答案】4【分析】首先根据题意得到圆与圆内切，从而得到，再利用基本不等式求解即可.【详解】圆的圆心为，半径为2；圆的圆心为，半径为3.因为圆和圆只有一条公切线，所以圆与圆内切，所以，即，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4．故答案为：416．若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为________【答案】3【分析】根据新定义逐一判断即可求解【详解】（1）当时，属于数域，故（1）正确，（2）若数域有非零元素，则，从而，故（2）正确；（3）由集合的表示可知得是3的倍数，当时，，故（3）错误，（4）若是有理数集，则当，，则，，，且当时，”都成立，故（4）正确，故真命题的个数是3.故答案为：3 四、解答题17．已知函数在区间上有最大值2和最小值1.(1)求的值；(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围；(3)若且方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）根据二次函数的性质，分类讨论函数的单调性，结合已知列出方程组，即可得出；（2）由已知可转化为在上恒成立.根据基本不等式即可求出实数的取值范围；（3）由已知可推得有三个不同的实数解.令，作出的函数图象，可得.结合函数图象，该方程一个根大于0小于1，一个根大于等于1.令，根据二次函数的性质与图象，即可得出不等关系，进而求出实数的取值范围.【详解】（1）由已知可得.当时，在上为增函数，所以，解得；当时，在上为减函数，所以，解得.由于，所以.（2）由（1）知，所以在上恒成立，即，因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，又，当且仅当时取等号.所以，即.所以求实数的范围为.（3）方程化为，化为，且.令，则方程化为.作出的函数图象因为方程有三个不同的实数解，所以有两个根，且一个根大于0小于1，一个根大于等于1.设，记，根据二次函数的图象与性质可得，或，解得.所以实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：根据构成复合函数的函数特性，即可得出零点的分布情况.18．函数的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)先将函数的图象的横坐标缩小为原来的，再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数，求在区间上的值域．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由图可得出的值，求出的最小正周期，可求得的值，由结合的取值范围可求得的值，可得出函数的解析式；（2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，利用正弦型函数的基本性质可求得在上的值域.【详解】（1）解：由图可知，，函数的最小正周期为，，，可得，，则，，则，所以，.（2）解：将函数的图象的横坐标缩小为原来的，可得到函数的图象，再将得到的函数图象向左平移个单位，最后得到函数的图象，则，当时，，则，所以，，因此，在区间上的值域为.19．某工厂统计2022年销售网点数量与售卖出的产品件数的数据如下表：销售网点数x（单位：个）1719202123售卖出的产品件数y（单位：万件）2122252730假定该工厂销售网点的个数与售卖出的产品件数呈线性相关关系，(1)求2022年售卖出的产品件数y（单位：万件）关于销售网点数x（单位：个）的线性回归方程；(2)根据（1）中求出的线性回归方程，预测2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数.参考公式：，.【答案】(1)；(2)约万件. 【分析】（1）由参考公式可算出销售网点数x（单位：个）的线性回归方程；（2）将代入由（1）算得的回归方程可得答案.【详解】（1）由题，可得，，，.则，.故回归方程为：.（2）将代入回归方程，则.故2022年该工厂建立40个销售网点时售卖出的产品件数约万件.20．甲、乙足球爱好者为了提高球技，两人轮流进行点球训练（每人各踢一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲、乙每次踢球命中的概率均为，甲扑到乙踢出球的概率为，乙扑到甲踢出球的概率，且各次踢球互不影响．(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的分布列及数学期望；(2)求经过3轮踢球累计得分后，甲得分高于乙得分的概率．【答案】(1)分布列见解析；期望为(2) 【分析】（1）先分别求甲、乙进球的概率，进而求甲得分的分布列和期望；（2）根据题意得出甲得分高于乙得分的所有可能情况，结合（1）中的数据分析运算.【详解】（1）记一轮踢球，甲进球为事件A，乙进球为事件B，A，B相互独立，由题意得：，，甲的得分X的可能取值为，，，所以X的分布列为：X01p.（2）经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分，甲3轮各得1分的概率为，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分的概率为，甲3轮中有2轮各得1分，1轮得分的概率为，甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分的概率为，所以经过三轮踢球，甲累计得分高于乙的概率.21．设函数部分图像如图所示．(1)求；(2)求函数的单调递减区间．【答案】(1)，，(2)． 【分析】（1）利用最低点的值找到的值，由图像得，从而取出周期，进而求出，将图像上的点代入表达式中，结合题目所给即可求出的值；（2）先求出函数的单调递减区间，根据所给的区间分析求得函数的单调递减区间.【详解】（1）由题意得，则周期为，则，所以，将代入得，所以，即，由可得，则；（2），令，得，令，则，因为， 所以单调递减区间为．22．如图在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝，＝.(1)用表示向量；(2)若点F在AC上，且，求AF∶CF.【答案】(1).(2) 【分析】（1）利用向量线性运算法则求解；（2）设＝λ(0＜λ＜1)，由向量线性运算用表示出，再与已知比较求得后即可得．【详解】（1）因为＝－＝，点D是AC的中点，所以＝＝()，因为点E是BD的中点，所以＝(＋)＝＋＝－＋()＝.（2）设＝λ(0＜λ＜1)，所以＝＋＝＋λ＝，.又＝，所以λ＝，所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.