2024届湖南省长沙一中湘豫名校联考高三上学期8月入学摸底考试数学试题含答案
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2023年8月高三秋季入学摸底考试
数学参考答案
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | C | D | A | B | B | D | D | B | BCD | ABD | AC | ABD |
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.0
14.0.4
15.
16.
四､解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
17.【命题意图】本题考查三角函数的恒等变换､解三角形，考查了数学运算､数学建模的核心素养.
【解析】（1）因为，
又，所以.
因为，所以.
（2）由正弦定理得，即，
所以.
由余弦定理得，当且仅当时，等号成立.所以.
因为，
又的最大值为9，
所以面积的最大值为.
18.【命题意图】本题考查二项分布､互斥事件､独立事件发生的概率，考查数据分析､数学运算的核心素养.
【解析】（1）由题易得，随机抽取一球，为黑色球或红色球的概率为
所以.所以.
（2）甲､乙的得分情况可能为
得分情况 | 200 | 150 | 100 | 90 | 50 | 40 | 0 | -10 | -20 |
概率 |
则甲的得分比乙的得分高，且差值大于100分的概率.
19.【命题意图】本题考查数列的通项､数列求和及不等式，考查了数学运算､逻辑推理的核心素养.
【解析】（1）若选条件①：因为，所以，
两式相减，得.
因为，所以.
又，所以，
所以数列的奇数项､偶数项分别是以1，2为首项，2为公差的等差数列.
当时，；当时，.
综上所述，.所以.
若选条件②：设数列的公比为，
因为是首项为1的等比数列，且满足成等差数列，
所以，且，即，解得，所以.
因为数列的各项均为正数，为其前项和，且满足，
所以当时，，则，
因为，所以，
两式相减得，即.
因为，故，所以.
所以数列为等差数列，故.
所以.
若选条件③：由，得.
令，则.
当时，，
又满足上式，所以，即.
所以当时，.
又满足上式，所以，所以.
（2）证明：由（1）知，
则①，
所以②.
①-②可得：
.
所以.
因为，所以.
又，所以是递增数列.
所以，故.
20.【命题意图】本题考查空间几何体的线面位置关系､二面角，考查了直观想象､逻辑推理､数学运算的核心素养.
【解析】（1）证明：
方法一：取的中点，连接.
因为四边形是矩形，分别是的中点，
所以，所以.
因为是等边三角形，所以.
因为，所以平面.
因为平面，所以.
因为，
所以，
所以是等腰三角形.
因为是的中点，所以.
因为，
所以平面.
方法二：不妨设，则.
如图，连接，
因为为的中点，所以.
所以.
又为的中点，
所以.
因为，
所以平面.
（2）由（1）方法一易得两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，
则，
.
设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以平面的一个法向量为.
设平面的法向量为，
则即
令，则，
所以平面的一个法向量为.
设二面角的平面角为，则
，
所以.
所以二面角的正弦值为.
21.【命题意图】本题考查椭圆的方程､直线与椭圆的位置关系及定点问题，考查了直观想象､数学运算､逻辑推理等核心素养.
【解析】（1）因为的最大值为，
所以为短轴的顶点时，，此时易得.
又点到右焦点距离的最小值为，即，解得.
又由，可得.
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：
方法一：当直线的斜率不存在时，设，联立
解得，所以或.
又，所以或，
因为以为直径的圆恒过点，所以.
所以，解得或（舍去），
此时直线的方程为.
当直线的斜率存在时，易知直线的斜率不为0，设，
联立消去得.
由，得，
由根与系数的关系，知.
因为，
所以，
将代入上式整理得，
即，所以或.
当时，直线为，此时直线过点，不符合题意，舍去；
当时，直线为，此时直线过定点.
综上所述，直线恒过定点.
方法二：
由题意知，直线的斜率不为零，设直线的方程为.
联立得.
由，得.
所以.
因为，所以.
由题易知，所以.
即，
即.
将代入上式整理得，
解得或.
由题知直线不过点，所以.
所以直线的方程为.
所以直线恒过定点.
方法三（平移齐次化）：
将椭圆向左平移两个单位长度得曲线，
即①，则平移后右顶点，记平移后的对应点分别为.
设直线的方程为，
所以.
将上式代入①得，
等式两边同时除以，
得.
由题易知，所以.
即，解得.
所以直线的方程为.
所以平移前直线恒过定点.
22.【命题意图】本题考查函数､方程及不等式的转化，函数的单调性､最值､极值问题，考查了数学运算､数学抽象､直观想象､逻辑推理的核心素养.
【解析】（1）由题易得函数的定义域为，
由，不等式两边同除以，得.
设，则.
令，得.
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以.
依题知，得，所以实数的取值范围为.
（2）证明：，
令，则.
令，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减.
因为函数的单调递增区间为，所以.
所以，解得，
，即.
又当时，；当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.
所以的极大值.
因为，
所以，所以，
所以函数的极大值
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