2022-2023学年浙江省效实中学高三下学期4月模拟数学试题含答案

2022-2023年高三下学期4月联考

数学试卷参考答案

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】D

9.【答案】BCD

10.【答案】AB

11.【答案】AC

12.【答案】BCD

13.【答案】0.3

14.【答案】

15.【答案】

16.【答案】6

17.【答案】解：（1）

令，

解得，

则函数的单调递增区间为，

（2），因为，则，

要满足对恒成立，

只需，即，

所以的取值范围为.

【点睛】本题考查正弦型函数的求值运算，涉及和与差公式和二倍角公式，属于基础题.

18.【答案】解：（1）设的公比为是与的等差中项，，

，

.

（2）由题意知，，

又，即，故，

又，

.

【点睛】本题考查等差中项，等比数列的通项公式，等比数列的前项和公式，分组（并项）法求和，考查学生的逻辑推理和数学运算能力，属于中档题.

（1）利用等差中项，等比数列的通项公式列方程解出，代入公式即可；

（2）根据上问得出，又，可得，即，再根据题意求得的前20项和.

19.【答案】解：（1）证明：取的中点，连接，

由在中，所以，

由平面平面，且交线为，得平面，

因为，且，

又，所以，且，

四边形为平行四边形，，

平面；

（2）解：由平面，

以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，

则，

由平面，所以直线与平面所成的角为，

所以，

取平面的法向量，

设平面的法向量，

由，得，令，故，

，

故二面角的余弦值为.

【点睛】本题考查线面垂直的判定，空间中二面角的求解，为中档题.

20.【答案】解：（1），

（2）①由题意知，

，

②由①知，可得，

.

【点睛】本题主要考查离散型随机变量期望与方差的求解，以及正态分布对称性的应用，属于中档题.

（1）根据已知条件，结合平均数和方差公式，即可求解.

（2）①由题意知，结合正态分布的对称性，即可求解.

②结合正态分布的对称性，以及期望公式，即可求解.

21.【答案】解：（1）设，则，且，

因为在上，所以，两式相减得，，

因为，

所以，即，

代入中解得，，

所以椭圆的方程为.

（2）当直线与轴不垂直时，设直线方程为：，

联立直线与椭圆方程，消去得，，

设，当，

即时，有，

因为，所以，

因为

，

所以，

整理得，，

，

因为直线不过点，所以，所以，

所以直线经过定点，

当直线垂直于轴时，设方程为：，

则，且，①

由得，，②

由①②解得，或（舍），所以此时直线也经过定点，

综上，直线经过定点，

当垂直于直线时，点到直线的距离最大，

此时，所以直线的斜率为-1，直线方程为：，

故所求直线方程为：.

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，属于较难题.

22.【答案】解：（1）若，则.

①先证：当时，.

设，

则的导函数，

设，则的导函数，

因为，所以，

所以在上单调递增，又，

所以，即，

所以在上单调递增，

又，所以当时，，即.

②再证：时，.

设.

，

所以在上单调递增，又，

所以当时，，即.

由①②得，当时，，

所以当时，，即.

（2）①若，则，

由（1）可知，当时，，所以，

又由（1）可知，当时，，

所以，

所以，

所以在上无零点.

②若，

当时，，

则，

故在上无零点.

③若，

的导函数，

设，则的导函数，

设，则的导函数，

（i）当时，在上单调递增，

即在上单调递增，

又，

所以在上存在唯一零点，记作.

当时，单调递减，即单调递减；

当时，单调递增，即单调递增.

（ii）当时，，

单调递增，即单调递增.

综合（i）（ii），可得当时，单调递减；

当时，单调递增.

又因为，

所以存在唯一实数，使得，

当时，单调递减；

当时，单调递增.

又因为，所以时，；

由（1）已证，所以，

又在上单调递增，所以在上存在唯一零点.

综上，当时，在上无零点；

当时，在上存在唯一零点.

【点睛】本题考查利用导数证明不等式，研究函数零点有关问题，为难题.