2023届广西壮族自治区贵港市高三上学期12月模拟考试数学（文）试题含答案

这是一份2023届广西壮族自治区贵港市高三上学期12月模拟考试数学（文）试题含答案，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届广西壮族自治区贵港市高三上学期12月模拟考试数学（文）试题 一、单选题1．已知复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】应用复数的运算律求出复数,再由共轭复数的定义即可得到答案.【详解】由得，所以.故选:2．设集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】求解中二次不等式，再求解交集即可.【详解】由得，解得，所以.故选：C.3．如图是某统计部门网站发布的《某市年月国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第个月与去年第个月相比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期相比）下列说法错误的是（    ）①年月环比上升，同比上涨②年月环比上升，同比无变化③年月环比下降，同比上涨④年月环比下降，同比上涨A．①③ B．①④ C．②④ D．②③【答案】D【分析】根据月度同比折线图与月度环比折线图判断可得出结论.【详解】根据折线图中的数据可得，月份月度环比比上年上涨，同比比上年上涨，故①正确，②错误；根据数据可得，月份月度环比比上年下降，同比比上年上涨，故④正确，③错误.故选：D．4．“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据对数函数、幂函数的单调性将问题转化，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：因为在上单调递增，由得到，由在定义域上单调递增，又，即，所以；故由能够推得出，即充分性成立；由推不出，即必要性不成立，故是的充分不必要条件；故选：A5．公元5世纪，我国古代著名数学家祖冲之给出了圆周率的两个近似分数值：（称为“约率”）和（称为“密率”）.一几何体的三视图如图所示（每个小方格的边长为1），如果取圆周率为“密率”，则该几何体的体积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先把三视图转化为几何体,再根据椎体体积公式求出几何体的体积.【详解】如图，几何体由圆锥的一半与一个三棱锥组合而成，所以故选:.6．函数在的图象大致为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出函数的定义域，然后判断出函数的奇偶性, 取特殊值判断函数值的符号，从而可排除不满足的选项，得出答案.【详解】解：根据题意，函数，，，则在区间上为偶函数，所以排除BC，又由，所以排除D，故选：A．7．若函数有极值点为0，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求导后根据极值点处导函数为0可得，进而求解即可.【详解】，函数的极值点即方程的实根，则，解得，此时0为的极小值点，所以，故.故选：B.8．如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形.设弧的长度是，弧的长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（    ）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】由弧长比可得,结合扇形面积公式得答案.【详解】因为，所以，又因为，，所以，所以.故选:9．已知等比数列的前4项和为600，，则（    ）A．5 B．9 C．12 D．15【答案】A【分析】本题分两种情况解答和，利用等比数列前项和公式和通项公式，联立方程组，基本量运算得到，再由通项公式计算即可.【详解】设等比数列的公比为，，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：.10．以等边三角形ABC为底的两个正三棱锥和内接于同一个球，并且正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角为，记正三棱锥和正三棱锥的体积分别为和，则（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】根据外接球的几何性质结合正棱锥的几何性质即可求解.【详解】两个正三棱锥和内接于同一个球，如图，设到底面的距离为，到底面的距离为，则，取中点为，连接，记与平面交点为，由于两个正三棱锥和内接于同一个球，所以为球的直径，记为球心，且由题意可知为三角形的中心，因此为正三棱锥和的高，由且为中点，可得则为正三棱锥的侧面与底面ABC所成的角为，所以，记球的半径为，于是，在中，勾股定理可得解得，于是则，即，故选:D.11．已知椭圆（）的离心率为，直线交椭圆于两点，点在椭圆上（与点不重合）.若直线，的斜率分别为，，则的最小值为（    ）A．2 B． C．4 D．【答案】A【分析】设点，然后列出方程利用点差法表示出，根据离心率计算出结果变换，在利用基本不等式求最值【详解】设，，则，∵点，都在椭圆上，∴，两式相减得，∴，即.∴.当且仅当时取“＝”，故选：A.12．已知是定义在上的函数，且满足为偶函数，为奇函数，则下列说法正确的是（    ）A．函数的周期为2 B．函数关于直线对称C．函数关于点中心对称 D．【答案】C【分析】根据为偶函数推导出，根据为奇函数，得到，得到函数的图象关于点对称，故B错误，C正确；由由及推导出，故周期为4，A错误；根据函数的周期性求出，D错误.【详解】∵为偶函数，∴，∴，故即，∴函数的图象关于直线对称.∵为奇函数，∴，∴，所以函数的图象关于点对称，故B错误，C正确；由及知，，∴，∴，即，∴，故∴函数的周期为4，A错误，，故D错误.故选：C. 二、填空题13．已知，（）若，则______.【答案】【分析】根据向量平行的坐标表示，计算可得答案.【详解】因为，所以，所以，又因为，所以.故答案为：.14．已知双曲线（，）的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为____________.【答案】【分析】结合已知条件，写出双曲线的渐近线方程，然后利用圆心到直线的距离等于半径求出 之间的关系即可求解.【详解】不妨取双曲线（，）的一条渐近线方程为，即，化圆的方程为标准方程，得，则圆心坐标为，半径为.由题意可得，即，即，即，又 所以双曲线的离心率为，故答案为：.15．从2名医生和3名护士中任选3人参加义诊活动，要求既有医生又有护士参加义诊活动，则医生甲和护士乙均参加义诊活动的概率为______.【答案】【分析】记另一位医生为，另两位护士为，，再枚举所有满足的情况求解即可.【详解】记另一位医生为，另两位护士为，，则从甲，，乙，，，5人中任选3人既有医生又有护士参加义诊活动的有{甲，，乙}，{甲， }，{甲，}，{甲，乙，}，{甲，乙，}，{甲，}，{，乙，}，{，乙，}，共9种等可能的选法.其中满足医生甲和护士乙均参加义诊活动的有{甲，，乙}，{甲，乙，}，{甲，乙，}，共3种选法.由古典概型的概率计算公式，知医生甲和护士乙均参加义诊活动的概率为.故答案为：16．已知函数在区间上有且仅有3个极值点，给出下列四个结论，正确的序号是_______________.①在区间上有且仅有3个不同的零点；②的最小正周期可能是；③的取值范围是；④在区间上单调递增.【答案】②④【分析】由函数在区间上有且仅有3个极值点, ，即,可求出判断出,再利用三角函数的性质依次可判断.【详解】由题意可知，要使得函数在区间上有且仅有3个极值点，只需，解得，故③错误；又，故的最小正周期可能是，故②正确；当，即时，在区间上有且仅有2个不同的零点，故①错误；由得，由可知，故在上单调递增，即在区间上单调递增，故④正确.故答案为: ②④. 三、解答题17．某中学为了解2022届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢游泳不喜欢游泳合计男生 10 女生20  合计   已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.(1)请将上述列联表补充完整；(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联.附：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 【答案】(1)列联表见解析(2)认为喜欢游泳与性别有关 【分析】（1）由题意列式计算（2）由数据计算卡方后判断【详解】（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为，所以喜欢游泳的学生人数为人；其中女生有20人，则男生有40人.列联表补充如下： 喜欢游泳不喜欢游泳合计男生401050女生203050合计6040100（2）根据表中数据，计算，所以可以认为喜欢游泳与性别有关.18．在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.在中，内角所对的边分别是，，，________________.(1)求；(2)若，，点在线段上，，求的余弦值.【答案】(1)选①②③答案均为(2) 【分析】（1）选①②：由正弦定理得到，再由余弦定理得到，结合，求出；选③：化简得到，由正弦定理得到，，求出；（2）先由余弦定理求出，结合第一问求出得到是等边三角形， ，由余弦定理求出的余弦值.【详解】（1）选择①：由，可得，由正弦定理得，即，由余弦定理，得，因为，所以；选②：，由正弦定理得：，由余弦定理，得，因为，所以；选择③：因为，所以，，所以，因为，故，所以，因为，所以.（2）因为，，所以，可得，因为，可得，在中，，，故是等边三角形，故，，故.19．如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是正方形，，点为上的点，.(1)求证：平面平面；(2)若，求点到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定证明，，进而可得平面，从而得到平面平面；（2）（法一）利用等体积法求解；（法二）以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，再根据点到面的向量表示求解即可.【详解】（1）因为底面四边形为正方形，所以，因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）（法一）因为平面，平面，所以，因为底面四边形为正方形，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，即为直角三角形，因为，则，所以，，，，在中，，在中，由余弦定理，即，同理可求得，所以为直角三角形，，因为，所以点到平面的距离为，设点到平面的距离为，由得，即，所以，所以点到平面的距离为.（法二）因为，则，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.所以，由，得，，，，设平面的一个法向量为，则取，可得，，所以，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为.20．已知函数（）.(1)讨论函数的单调性；(2)若，若有且仅有两个零点，求实数的取值范围.（为自然对数的底数）【答案】(1)答案见解析(2) 【分析】（1）讨论和两种情况下函数的单调性；（2）先换元法设新函数，转化为数的图像与函数的图像有且只有两个交点，计算极值后即可求的取值范围.【详解】（1）由题意可得函数的定义域为，，当时，令，得，所以在上单调递增；令，得，所以在上单调递减；当时，因为恒成立，所以在上单调递增.（2）（），令，则在时恒成立，所以在时单调递增，且.所以有且仅有两个零点等价于有且仅有两个零点，即方程，有且仅有两个根，亦即函数的图像与函数的图像有且只有两个交点.今，，则，在上，，在上，，故在处取得极大值.又当时，，当时，，故要使函数的图像与函数的图像有且只有两个交点，只需，所以，故实数的取值范围为.21．已知动圆与直线相切，且与圆外切.(1)求动圆的圆心轨迹的方程；(2)过点且斜率为的直线与轨迹交于A，两点，点，延长，分别与轨迹交于，两点，设的斜率为，证明：为定值.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）设出圆的圆心坐标为，根据几何关系列出方程，求出轨迹方程；（2）设出设，，，，直线的方程为，，联立抛物线，得到两根之和，两根之积，接下来可用两种方法得到，，进而，得到答案.【详解】（1）圆的标准方程为圆，设动圆的圆心坐标为，由动圆与直线相切，且与圆外切，故有，两边平方化简得，所以动圆的圆心轨迹方程为；（2）设点，点，点，点，由题意可知直线的方程为，其中，代入抛物线中，消去得，则，.处理方式1（抛物线的直线弦方程），，故直线的方程为，整理得，即，又因为直线过点，故有，可得，∴.同理，由直线过点，可得.处理方式2（三点共线），由题意可知，，三点共线，故，即，整理得，又，在抛物线上，故，，代入得，，即，∴.同理，由，，三点共线，可得.于是，即证为定值2，命题得证.【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.通常思路为设出直线方程，与圆锥曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，应用设而不求的思想，进行求解；注意考虑直线方程的斜率存在和不存在的情况.22．在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数).设直线与的交点为P，当变化时点P的轨迹为曲线.(1)求出曲线的普通方程;(2)以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线上的动点，求点到直线的距离的最大值.【答案】(1)(2). 【分析】（1）消参得两直线的普通方程，两式相乘可得，再由，可得；（2）直线的直角坐标方程与的参数方程，设点，代入点到直线的距离公式，利用三角函数的性质即可求得最大值.【详解】（1）分别消去，的参数方程中的参数，得，的普通方程为，，两式相乘消去可得，因为，所以，所以曲线的普通方程为（2）因为，所以，所以直线的直角坐标方程为.结合（1）知曲线与直线无公共点，曲线的参数方程为(为参数，，)，所以曲线上的点到直线的距离，所以当时，取得最大值，为.23．已知.(1)证明：；(2)若，求的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2)9. 【分析】（1）由，，相加得，从而得到，得到结论；（2）在第一问的基础上，得到，得到.【详解】（1）∵，∴，，，∴，即，当且仅当时取等号，∴，∴；（2）要最大，当且仅当a，b都是非负数，由（1）得当时，，当且仅当时取等号，所以，由，得，，所以当，时，的最大值为9.