2023届云南省曲靖市第一中学高三上学期12月月考数学（理）试题含解析

这是一份2023届云南省曲靖市第一中学高三上学期12月月考数学（理）试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届云南省曲靖市第一中学高三上学期12月月考数学（理）试题 一、单选题1．已知复数z满足，则 （    ）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根据复数模的计算以及复数的除法，即可求得答案.【详解】由题意知复数z满足，即，故选：C2．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数值域和定义域的求法可求得集合，由交集定义可得结果.【详解】，，即；由对数函数定义域知：；.故选：A.3．某单位有男职工60人，女职工40人，其中男职工平均年龄为35岁，方差为6，女职工平均年龄为30岁，方差是1，则该单位全体职工的平均年龄和方差分别是（    ）A．32.5，3.5 B．33，7 C．33，10 D．32.5，4【答案】C【分析】结合平均数与方差的概念推导即可求解.【详解】设男职工年龄分别为：，男职工年龄平均数为，方差为，女职工年龄分别为，女职工年龄平均数为，方差为，则，，即，，，同理，，即，，该单位全体职工的平均年龄：，方差为：故该单位全体职工的平均年龄和方差分别是33，10.故选：C4．函数的部分图像大致为（    ）A．   B．  C．   D．  【答案】A【分析】研究函数的奇偶性，结合函数部分区域函数值的正负，即可判定选项.【详解】定义域为且关于原点对称，，所以为奇函数，即图像关于原点对称；当时令，可得，所以时，，时,结合图形可知A选项正确.故选：A.5．已知正四棱台中，，若该四棱台的体积为，求这个四棱台的表面积为（    ）A．24 B．44 C． D．【答案】B【分析】结合图形，利用四棱台的体积公式求得该四棱台的高，进而在等腰梯形与等腰梯形中依次求得与，从而求得该四棱台的侧面积，进而求得其表面积.【详解】过作于，作于，则是正四棱台的高，因为正四棱台中，，即，所以，，因为该四棱台的体积为，所以，即，得，因为在等腰梯形中，，，所以，所以在等腰梯形中，，所以，又因为其他三个侧面与侧面的面积相等，所以该四棱台的侧面积为，所以该四棱台的表面积为.故选：B..6．已知，，，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】引入中间变量1，再利用作差法比较的大小，即可得答案；【详解】，，最大，，，，故选：B7．如图所示某城区的一个街心花园，共有五个区域，中心区域E已被设计为代表城市特点的一个标志性塑像，要求在周围ABCD四个区域中种植鲜花，现有四个品种的鲜花可供选择，要求每个区域只种一个品种且相邻区域所种品种不同，则不同的种植方法的种数为（    ）A．12 B．24 C．48 D．84【答案】D【分析】根据四个区域所种植鲜花的种类进行分类：种植两种鲜花，种植三种鲜花，种植四种鲜花，然后相加即可求解.【详解】由题意可知：四个区域最少种植两种鲜花，最多种植四种，所以分一下三类：当种植的鲜花为两种时：和相同，和相同，共有种种植方法；当种植鲜花为三种时：和相同或和相同，此时共有种种植方法；当种植鲜花为四种时：四个区域各种一种，此时共有种种植方法，综上：则不同的种植方法的种数为种，故选：.8．已知直线l是圆C：的切线，且l与椭圆E：交于A，B两点，则|AB|的最大值为（    ）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】由直线与圆相切分析得圆心到直线距离为1，再分类讨论直线斜率是否存在的情况，存在时假设直线方程，进一步联立椭圆方程结合韦达定理得出弦长表达式，最后化简用基本不等式得出结果.【详解】∵直线l是圆C：的切线，∴圆心O到直线l的距离为1，设，①当AB⊥x轴时， ②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m.由已知 得 ．把y=kx+m代入椭圆方程，整理得， ∴   令原式当且仅当 即 时等号成立.综上所述.故选：B. 二、多选题9．已知函数，则（    ）A．函数的图像可由的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到B．函数的一个对称中心为C．函数的最小值为D．函数在区间单调递减【答案】CD【分析】化简得，逐项验证即可解决.【详解】由题知，，对于A，的图像向左平移个单位长度，得，再向下平移个单位长度得到，故A错误；对于B，，所以函数的一个对称中心为，故B错误；对于C，，当时，函数取最小值为，故C正确；对于D，，所以单调减区间应满足，解得，所以单调减区间为，因为，所以函数在区间单调递减，故D正确.故选：CD10．函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则（    ）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据奇函数和偶函数定义可构造方程组求得，由此依次判断各个选项即可.【详解】由得：，又分别是定义在上的奇函数和偶函数，；由得：，；对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于CD，，C正确，D错误.故选：AC.11．已知实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ）A． B．当时，C． D． 【答案】BCD【分析】由作差法可判断AC，根据基本不等式可判断BD.【详解】对于A，，由于，所以，故，因此，故A错误，对于B, 当时，由于，所以，因此，故B正确，对于C，由于，所以 ，所以，故C正确，对于D, 由于 ，，故D正确，故选：BCD12．已知函数，则（    ）A．函数在处取得最大值B．函数在区间上单调递减C．函数有两个不同的零点D．恒成立【答案】AD【分析】确定函数的定义域，求导数，判断函数的单调性，即可判断函数的极值点,由此可判断;求得函数的最值，数形结合，判断函数的零点情况，判断C;将化为，从而构造函数，利用导数求函数最值，解决不等式恒成立问题，判断D.【详解】由题意知函数的定义域为，，当时，递增，当时，递减，故函数在处取得极大值，也即最大值，A正确；由上分析可知当时，递增，故B错误；函数 ，且当时，，当时，，作出函数图象如图示：由此可知函数在上无零点，C错误；不等式恒成立即恒成立，即恒成立，令，则 ，令， ，∴在上单调递增， ，故在上存在唯一零点，且，由，可得 ，当， ，函数单调递减，当时， ，单调递增，故函数的极小值为 ，而，即函数在上恒成立，所以当时，恒成立，D正确，故选：【点睛】难点点睛：本题难点在于证明恒成立，解答时将不等式等价转化为恒成立，从而便于构造函数，利用导数求该函数的最小值，说明其大于0即可证明结论.再求极值或最值时，还要注意零点存在定理的应用. 三、填空题13．已知平面向量满足，则的最小值为           .【答案】0【分析】根据数量积的定义确定的范围，在根据向量模与数量积的关系 可得的范围，即可得的最小值.【详解】解：因为平面向量满足，又，所以，则，由，则，故，则的最小值为0.故答案为：0.14．直线l过抛物线的焦点且与该抛物线交于两点，若，则的值为           .【答案】【分析】设直线：，代入，得到，，求出，，根据，结合焦半径公式可求出结果.【详解】依题意可得，准线方程为：，设直线：，联立，消去并整理得，，设、，则，，所以，，所以，又已知，所以，所以.故答案为：.15．已知等差数列满足，且，则           .【答案】【分析】利用等差数列的通项公式结合条件即可求得，从而得到，由此即可求得的值.【详解】因为是等差数列，，所以公差，因为，所以当时，，即，整理得，又，所以，因为，所以，所以.故答案为：.16．在三棱锥中，AB=BC=AC=，AP=PB=PC=1，则以点P为球心，以为半径的球被平面ABC截得的图像的面积为           .【答案】/【分析】求出点到平面的距离，由勾股定理可得截面圆半径，从而得面积．【详解】由题意三棱锥是正三棱锥，设是底面的中心，如图，则平面，平面，则，，，平面截球得截面圆，设其半径为，则，圆面积为．故答案为：． 四、解答题17．为了响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，某校实施网络授课，为了检验学生上网课的效果，在高三年级进行了一次网络模拟考试，从中抽取了100人的数学成绩，绘制成频率分布直方图（如下图所示），其中数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1.(1)根据频率分布直方图求学生成绩在区间[110，120）的频率，并求抽取的这100名同学数学成绩的中位数(2)若将频率视为概率，从全校高三年级学生中随机抽取3个人，记抽取的3人成绩在[100，130）内的学生人数为，求的分布列与数学期望.【答案】(1)，(2) 【分析】（1）根据频率分布直方图求出数学成绩落在区间内的频率，再根据数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1可求出数学成绩落在区间[110，120）的频率；根据中位数公式可求出中位数；（2）先求出数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，再根据二项分布可求出分布列和数学期望.【详解】（1）由直方图可知，数学成绩落在区间内的频率为,所以数学成绩落在区间内的频率为，因为数学成绩落在区间[110，120），[120，130），[130，140]的频率之比为4：2：1，所以数学成绩落在区间[110，120）的频率为，数学成绩落在区间[70，100）的频率为，所以中位数落在区间内，设中位数为，则，解得，所以抽取的这100名同学数学成绩的中位数为.（2）由（1）知，数学成绩落在区间[100，130）内的频率为，由题意可知，，的所有可能取值为，，，，，所以的分布列为：0123所以数学期望.18．已知的内角所对边分别为，且(1)证明：；(2)求的最大值.【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】（1）将正切化成正弦，化简整理，再利用正弦定理即可得证；（2）结合（1）及余弦定理化简，再利用基本不等式可求得的最大值，进而得解.【详解】（1），，，由正弦定理可得（2）由（1）知，则由余弦定理可得，当且仅当时，即为正三角形时，等号成立，由知，为锐角，所以的最大值为，的最大值为19．已知函数，其中，且.(1)当时，求；(2)设，，记数列的前项和为，求使得恒成立的的最小正整数.【答案】(1)(2)2 【分析】（1）依据题给条件，利用等差数列前n项和公式即可求得；（2）先利用裂项相消法求得数列的前n项和，再依据题给条件列出关于m的不等式，解之即可求得m的最小整数【详解】（1）由，可得，则当时，.（2）由（1）可得，当时，，则当时，，则当时，数列的前n项和，又当时，，，，由恒成立，可得，解之得，则当时，使得恒成立的m的最小整数为2.当时，成立，综上，使得恒成立的m的最小整数为2.20．已知直四棱柱中，底面ABCD为菱形，E为线段上一点.(1)证明：平面；(2)若，则当点E在何处时，CE与所成角的正弦值为？【答案】(1)证明见解析；(2)详见解析； 【分析】（1）先证明平面平面，进而证明平面；（2）以D为原点建立空间直角坐标系，利用向量表示CE与所成角的正弦值为，进而求得点E位置为或【详解】（1）直四棱柱中四边形为平行四边形，则又平面，平面，则平面四边形为平行四边形，则又平面，平面，则平面又平面，平面，则平面平面，又平面则平面（2）取中点M，连接又直四棱柱中，底面ABCD为菱形，则两两垂直，以D为原点，分别以所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系又，则,则，，设，令，则则，则， ，设平面一个法向量为，则，，则令，则，，则设CE与所成角为则解之得或，则当或时，CE与所成角的正弦值为21．已知双曲线C：上任意一点Q（异于顶点）与双曲线两顶点连线的斜率之积为，E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为.(1)求双曲线C的标准方程；(2)过椭圆上任意一点P（P不在C的渐近线上）分别作平行于双曲线两条渐近线的直线，交两渐近线于M，N两点，且，是否存在m，n使得椭圆的离心率为？若存在，求出椭圆的方程，若不存在，说明理由.【答案】(1)(2)存在符合题意的椭圆，其方程为 【分析】（1）设，由及可得， 得，再结合即可解决问题；（2）设，则PM方程为，联立渐近线方程得到，进一步得到，同理得到，再利用计算即可得到答案.【详解】（1）设，由，所以，    ①又点在上，所以，即，       ②由①②得：，      ③又E在双曲线C上，F为双曲线C的右焦点，|EF|的最小值为，所以，     ④又，⑤联立③④⑤解得：，所以双曲线C的标准方程为：（2）假设存在，由（1）知的渐近线方程为，则由题意如图：所以由，   设，则直线方程为，直线方程为由，得；由，得  又，所以，所以，，同理可得，， 由四边形是平行四边形，知，所以，，即，所以，存在符合题意的椭圆，其方程为.22．已知函数(1)证明：(2)若，求实数a的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）构造，通过求导判断其单调性，并求出取值范围，即可证明.（2）化简并分离参数，得到，构造通过求导判断其单调性，并求出取值范围，即可求出实数a的取值范围.【详解】（1）由题意在中在中，，当时，解得∴函数在即时，单调递减，在即时，单调递增，∴函数在处取最小值，为：∴即（2）由题意及（1）得，在中，，，即化简得：在中，在中，∴函数在定义域上单调递增在中，∵，∴使得∴当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，在中，，在中，当时解得当即时，函数单调递增当即时，函数单调递减∴函数在上单调增加∴即∴，∴函数在处取最小值，为：∴，∴实数a的取值范围为，【点睛】本题考查导数的构造，求导以及单调性的判别和求值域，具有很强的综合性.