2024届重庆市南开中学校高三上学期7月月考数学试题含答案

  重庆南开中学高2024级高三（上）7月考试

数学试题

本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.

第I卷（选择题共60分）

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求）

1.设集合，，则（）

A.   B.   C.   D.

2.若，则（）

A.-1   B.1   C.   D.

3.已知，，则下列不等式一定成立的是（）

A.   B.

C.  D.

4.若：，则成立的一个充分不必要条件为（）

A.   B.   C.   D.

5.已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能是（）

A.     B.

C.  D.

6.已知正数，满足，则的最小值为（）

A.2   B.4   C.   D.

7.设，，，则、、的大小关系为（）

A.   B.   C.   D.

8.定义在上的奇函数满足，当时，，则（）

A.0   B.1   C.-1   D.2023

二、多选题（本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9.下列函数中，既是奇函数，又在单调递增的有（）

A.   B.

C.  D.

10.为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，即对中小学生的手机使用和管理作出了相关的规定.某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”，从该校学生中按男女生比例分配样本，采用分层随机抽样选取了100名学生，其中男生60人，女生40人，调查他们每日使用手机的时间，若每日使用手机时间超过40分钟，则认为该生手机成瘾，根据统计数据得到如图所示的等高堆积条形图，用样本估计总体，用频率估计概率，则下列说法正确的有（）

A.该校男生和女生人数之比为3：2

B.手机是否成瘾一定与学生的性别有关系

C.从该校学生中随机抽取一名学生，则该生手机成瘾的概率

D.从该校学生中抽样到一名手机成瘾的学生，则该生是男生的概率为

11.已知函数，，，则下列说法正确的有（）

A.，使得有2个零点   B.，使得有3个零点

C.若有3个零点，则   D.若有4个零点，则

12.设，称为二阶方阵，全体二阶方阵构成的集合记为.定义中的两种运算：

（1），，

（2）设，

则下列说法正确的有（）

A.，有

B.，，使得

C.，有

D.，若，则或

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相对应位置上）.

13.已知幂函数在单调递减，则实数_________.

14.函数的最小值为_________.

15.已知中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线与曲线相切，则双曲线的离心率可以是_________.（写出一个结果即可）

16.已知定义在的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为_________.

四、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）

17.已知数列的前项和为，.

（1）若是等比数列，且，求

（2）若，求.

18.已知函数，.

（1）当时，求在上的值域；

（2）若的极大值为4，求实数的值.

19.如图，在三棱柱中，底面，，，，、分别为棱、的中点，，.

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

20.为了加强居民对电信诈骗的认识，提升自我防范的意识和能力，某社区开展了“远离电信诈骗，保护财产安全”宣传讲座.已知每位居民是否被骗相互独立，宣传前该社区每位居民每次接到诈骗电话被骗的概率为0.1.

（1）假设在宣传前某一天，该社区有3位居民各接到一次诈骗电话.

（i）求该社区这一天有人被电信诈骗的概率；

（ii）该社区这一天被电信诈骗的人数记为，求的分布列和数学期望.

（2）根据调查发现，居民每接受一次“防电诈”宣传，其被骗概率降低为原来的10%，假设该社区每天有10位居民接到诈骗电话，请问至少要进行多少次“防电诈”宣传，才能保证这10位居民都不会被骗?（我们把概率不超过0.01的事件称为小概率事件，认为在一次试验中小概率事件不会发生）33（参考数据：，，，）

21.已知椭圆经过点，两个焦点为和.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）直线过点且与椭圆相交于、两点，，点与关于轴对称，点与关于轴对称，设直线的斜率为，直线的斜率为.

（i）求证：为定值，并求出这个定值.

（ii）若，求直线的方程.

22.已知函数，其中且.

（1）讨论的单调性；

（2），有，求证：.

重庆南开中学高2024级高三7月月考

数学参考答案

1-4：DACB  5-8：CBBB  9.ABD  10.AC  11.ABD  12.BC

13.-2  14.2  15.（或）  16.

17.（1）∵是等比数列，设首项为，公比为，由，知，，则：

∴①；②

得，∴，代入①得，∴

（2）法一：令，，

∵

∴

∴是以6为首项，6为公差的等差数列，

∴，∴

法二：由题意得是以为首项，公差为2的等差数列，是以为首项，公差为2的等差数列，是以为首项，公差为2的等差数列

故

18.（1）时，，，令得或

∴在单调递增，单调递减，单调递增

又，，，

∴的值域为

（2），令，解得或

当时，，单调递增，无极值，舍；

当时，或，在和单调递增，在单调递减，在时取得极大值，又，不符合题意，舍去；

当时，或，在和单调递增，在单调递减，在时取得极大值，故，解得.

综上得，

19.（1）法一：取中点，连接，.

因为是的中点，且，故为的重心，

所以、、共线，且，又，故，

所以

又由且，得四边形为平行四边形，

所以

所以，又平面，平面，

所以面.

法二：取中点，连接，.

因且，则四边形为平行四边形，所以

因且，则四边形为平行四边形，所以，且，

又且，所以且，所以四边形为平行四边形，

所以.

又，，所以面面，

又因为是的中点，且，故为的重心，

所以，又，所以平面，所以面.

（2）因平面，，故平面，

又，是中点，故.

于是以为原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系（如图），则：

，，，，，

，，

设为面的法向量，则有

令，得.

因为，故与平面所成角等于与平面所成角，记为

所以.

20.（1）（i）记事件：该社区这一天有人被骗，则

∴该社区这一天有人被菊的概率为0.271.

（ii）可以取0，1，2，3，由题意

∴的分布列如下：

∴

（2）设宣传次之后每个人每次接到电话被骗的概率为

事件：10位居民有人被骗，则

即

又函数单调递减，当时，；当时，

∴，即至少要宣传2次才能保证这10位居民都不会被骗.

21.（1）因为椭圆焦点在轴上，故设椭圆的标准方程为.

则，∴椭圆的标准方程为：

另：，

，

（2）法一：（i）显然直线与轴不重合，设，，

由得，

，

设，，则，，

且，，

，

∴，∴为定值.

法二：设，，则，，且，

则.

（ⅱ）由（ⅰ）得

由得：

或-4（舍），

故满足，∴.

22.（1），

时，，，所以在上单减

②当时，，，故在单减，单增

（2）①当时，在上单减，因为，故，

所以，不符题意，故舍去

（也可用时，，舍去）

②当时，在单减，单增，

故

令，则有，

令，，

令，，故在单减，

因为，，故使得，

当时，，，单增；

当时，，，单减，

又，，

故存在使得

所以由不等式解得，即

又，，所以函数在单减，

所以，

记，，

所以在单减，

而，显然成立，

综上：.

法二：，

令，，

，故在单增，在单减，

又，

，，

故，其中，

于是

又，，

所以函数在单减，所以，

，记，，

所以在单减，

.

综上：.