2023届黑龙江省哈尔滨市哈尔滨德强高级中学高三上学期12月月考数学试题含解析

2023届黑龙江省哈尔滨市哈尔滨德强高级中学高三上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，若，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据集合，分，，依次讨论两个集合是否相等，即可

【详解】由题意，集合，即

（1）若，则，此时，成立；

故

（2）若，则，此时两个集合不可能相等，不成立；

（3）若，即或

当时，，此时两个集合不可能相等，不成立；

当时，，集合A中有两个相同的元素，不成立

综上：，，

故选：A

2．若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据和复数的除法法则求，即可得到.

【详解】∵，∴，

∴．

故选：A.

3．已知向量，，若∥，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用坐标运算得到，的坐标，然后利用共线列方程，解方程即可.

【详解】，，又∥，所以，解得.

故选：A.

4．设，则“”是“”的（    ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要条件 D．既不充分也不必要

【答案】A

【分析】解不等式和,判断它们的解集之间的包含关系,由此可得答案.

【详解】解不等式可得，

解即，即，

由于，故“”是“”的充分不必要条件，

故选:A.

5．八角星纹是一种有八个向外突出的锐角的几何纹样（如图1），它由八个均等的向外伸展的锐角组成的对称多边形纹样，具有组合性强、结构稳定等特点．有的八角星纹中间镂空出一个正方形，有的由八个菱形组成，内部呈现米字形线条．八角星纹目前仍流行在中国南方的挑花和织锦中．在图2所示的八角星纹中，各个最小的三角形均为全等的等腰直角三角形，中间的四边形是边长为2的正方形，在图2的基础上连接线段，得到角，，如图3所示，则（    ）

A．30° B．45° C．60° D．75°

【答案】B

【分析】根据图形的结构特征求出，，然后利用两角和的正切公式求解即可．

【详解】如图所示，连接BC，

则中，，，，

在中，，，，

所以，

又，所以.

故选：B．

6．如图，平面与平面相交于，，点，点，则下列叙述错误的是

A．直线AD与BC是异面直线

B．过AD只能作一个平面与BC平行

C．过AD只能作一个平面与BC垂直

D．过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行

【答案】C

【分析】由空间两直线的位置关系及线面关系逐一判断即可得解.

【详解】解：对于选项A，由异面直线判定定理得直线AD与BC是异面直线，即A正确；

对于选B，在平面内仅有一条直线过点D且与BC平行，这条直线与AD确定一个平面与BC平行，即过AD只能作一个平面与BC平行，即B正确；

对于选项C，若AD与BC不垂直，则过AD不能作一个平面与BC垂直，即C错误；

对于选项D，过D只能作唯一平面与BC垂直，但过D可作无数个平面与BC平行，即D正确，

故选：C.

【点睛】本题考查了空间两直线的位置关系，重点考查了空间线面关系，属基础题.

7．函数在上有个零点，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】函数得或，解方程即可求函数在上的从小到大的七个零点，根据在上有个零点，列不等式，即可求得的取值范围.

【详解】解：得或

解得或或

即或或

因为，函数在上的七个零点依次为：

由于在上有个零点，所以，解得，

则的取值范围是.

故选：B.

8．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由，设，求出导函数得出单调性，从而可得，即，得出大小，同理可得大小，得出答案.

【详解】∵，

构造函数，，

令，则，

∴在上单减，

∴，

故，所以在上单减，

∴，

同理可得，故，

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题考查构造函数，利用导数得出函数单调性，利用单调性比较指数幂的大小，解答本题的关键是设设，得出在上单减，，从而可得，即，得出大小，同理可得大小，属于中档题.

二、多选题

9．若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的有（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】由已知结合等比数列的定义检验各选项即可判断.

【详解】若数列是等比数列，则，

A：，符合等比数列，A正确；

B：，符合等比数列，B正确；

当时，CD显然不符合题意.

故选：AB.

10．已知的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1:8，则（    ）

A． B．展开式中所有项的系数和为1

C．展开式中二项式系数和为 D．展开式中不含常数项

【答案】AD

【分析】根据二项式定理，由题意写出第二项与第三项系数之比的绝对值，求出n，用赋值法求出各项系数之和，再利用二项式定理以及系数的性质即可.

【详解】由题意，则，，A正确；

，令，则所有项系数之和，B错误；二项式系数之和为 ，C错误；

，若为常数项，则有，是分数，所以不存在常数项，D正确；

故选：AD.

11．在一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A为“两次记录的数字之和为偶数”，事件B为“第一次记录的数字为偶数”;事件C为“第二次记录的数字为偶数”，则下列结论正确的是（    ）

A．事件B与事件C是互斥事件 B．事件A与事件B是相互独立事件

C．事件B与事件C是相互独立事件 D．

【答案】BCD

【分析】根据对立事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得．

【详解】解：对于A，事件与事件是相互独立事件，但不是对立事件，故A错误；

对于B，事件A与事件B，，，，事件A与事件B是相互独立事件，故B正确；

对于C，事件B与事件，，，，事件B与事件C是相互独立事件，故C正确；

对于D，事件表示第一次记录的数字为偶数，第二次记录的数字为偶数，故，故D正确．

故选：BCD.

12．已知为椭圆外一点，，分别为椭圆的左，右焦点，，，线段，分别交椭圆于，，，设椭圆离心率为，则下列说法正确的有（    ）

A．越大，则越大 B．若，则

C．若，则 D．

【答案】BC

【分析】由题意可知，过做直线的垂线，结合 利用余弦定理求出；  

点在左侧时和当点在右侧时判断A选项说法是否成立；当时，连接,在中，根据余弦定理及椭圆定义，可计算出离心率,即可判断C是否正确；当时，连接,在中，根据余弦定理及椭圆定义，可计算出离心率,即可判断C是否正确，即可判断B是否正确；由余弦定理表示出，结合椭圆定义推出；在中， 根据余弦定理计算，推出，最后计算即可判断D是否正确.

【详解】，

过做直线的垂线，垂足为,在中，，

在中: ,

对于A选项：，点在以为圆心，以为半径的圆上运动，

如图当点在左侧时较小，但较大，当点在右侧时较大，但也可能较小，故越大，则越大说法错误，故A不正确；

对于C选项：

若为中点，

连接,在中，,，，

根据余弦定理可知：

又，故C选项正确；

对于B选项：若，为中点，

连接,在中，,，，

根据余弦定理可知：

又，故B选项正确；

对于D选项：过做轴，垂足为,

，

又

在中，,，，

根据余弦定理可知：

，故D不正确.

故选：BC

三、填空题

13．过点作一条直线截圆所得弦长为，则直线的方程是           .

【答案】或

【分析】待定系数法设直线，由弦长公式求解

【详解】可化为

故圆心到直线距离

若直线斜率不存在，方程为，则，满足题意

若直线斜率存在，设其方程为，

，解得，此时直线方程为

故答案为：或

14．已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则的最小值为      .

【答案】

【分析】根据等差数列性质可知，分类讨论和，结合等差数列性质求得答案.

【详解】∵公差不为0的等差数列的前n项和为,且，

又 ,

当时, ，∴, , 解得 ，

则，

令， 得 ，∴的最小值为 ，

当 时， ，不符合题意，

故的最小值为，

故答案为：.

15．已知，且为定值，若最小值为9，则的值为    ．

【答案】

【分析】依题意可得，令，为正定值，再利用基本不等式求出的最小值，即可求出，从而求出，在由诱导公式得到方程组，解得即可.

【详解】解：因为，所以，，

则，

又为定值，令，则为正定值，

所以

，

当且仅当，即，即时取等号；

依题意可得，所以，

即，又，所以，所以，

所以，即，解得或（舍去）；

故答案为：

16．如图，直四棱柱中，底面为平行四边形，，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，点是半圆弧上的动点(不包括端点)，若三棱锥的外接球表面积为，则的取值范围是  ．

【答案】

【分析】先由余弦定理求出，从而得到，确定BC的中点E为三棱锥的外接球球心在平面的投影，再证明出为AD的中点，N为的中点，即EN⊥平面ABCD，故球心在线段EN上，从而确定当点与点N重合时，三棱锥的外接球半径最小，点P与或重合，此时最长，故三棱锥的外接球半径最大，画出图形，求出相应的外接球半径和表面积，最后结合点是半圆弧上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，求出表面积的取值范围.

【详解】因为，由余弦定理得：

，

因为，由勾股定理逆定理得：，

直四棱柱中，底面为平行四边形，

故⊥CD，

点是半圆弧上的动点(不包括端点)，故BC为直径，

取BC的中点E，则E为三棱锥的外接球球心在平面的投影，

设与AD相交于点M，与相交于点N，连接EM，ED，

则EM=ED

因为，故，，

故三角形DEM为等边三角形，，

即为AD的中点，同理可得：N为的中点，

连接EN，则EN⊥平面ABCD，故球心在线段EN上，

显然，当点与点N重合时，三棱锥的外接球半径最小，

假如点P与或重合，此时最长，故三棱锥的外接球半径最大，

如图1，点P与点N重合，连接OC，设，则OE=2-R，，

由勾股定理得：，即，解得：，

此时外接球表面积为；

如图2，当点P与或重合时，连接，

其中，

设，则，

由勾股定理得：，，

故，解得：，

此时外接球半径为，故外接球表面积为，

但因为点是半圆弧上的动点(不包括端点)，故最大值取不到，

综上：的取值范围是.

故答案为：

【点睛】几何体外接球问题，通常要找到几何体的一个特殊平面，利用正弦定理或几何性质找到其外心，求出外接圆的半径，进而找到球心的位置，根据半径相等列出方程，求出半径，再求解外接球表面积或体积.

四、解答题

17．已知中，内角的对边分别为，，，.

(1)求A；

(2)若且的内切圆的半径，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用余弦定理角化边整理可得，再结合余弦定理运算求解；（2）由题意结合面积公式整理可得，结合（1）中结论解得，运用面积公式即可结果.

【详解】（1）∵,则，整理得，

∴，

又∵，

∴.

（2）由题意可得：的面积，即，

整理得：，

由（1）得：，则，

解得：或（舍去），

故的面积.

18．为了比较两种肥料对同类橘子树产量的影响（此处橘子树的产量是指每一棵橘子树的产量，单位是千克），试验人员分别从施用这两种肥料的橘子树中随机抽取了棵，其中棵橘子树施用了种肥料，另棵橘子树施用了种肥料作为样本进行分析，其中样本橘子树产量的分组区间为，，，，，由此得到表和图的所示内容，其中表是施用种肥料后橘子树产量的频数分布表，图是施用种肥料后橘子树产量的频率分布直方图．

（Ⅰ）完成图和表，其中图是施用种肥料后橘子树产量的频率分布直方图，表是施用种肥料后橘子树产量的频数分布表，并比较施用两种肥料对橘子树产量提高的影响那种更大，理由是什么?

表2：施用种肥料后橘子树产量的频数分布表

（Ⅱ）把施用了种肥料的橘子树中产量不低于千克的橘子树记为甲类橘子树，产量小于千克的橘子树记为乙类橘子树，现采用分层抽样方法从甲、乙两类橘子树中抽取棵进行跟踪研究，若从抽得的棵橘子树中随机抽取棵进行跟踪研究结果的对比，记为这两颗橘子树中甲类橘子树的个数，求的分布列．

【答案】（Ⅰ）频率分布直方图和频数分布表见解析；施用种肥料有利于橘子树产量的提高，理由见解析；（Ⅱ）分布列见解析.

【分析】（Ⅰ）利用条件，计算出相应的区间高度，完成频率分布直方图；根据频率分布直方图可确定频数分布表；计算求得施用肥料后的平均值，由此可得结论．

（Ⅱ）首先确定所有可能的取值以及相应的概率，进而得到的分布列．

【详解】（Ⅰ）由已知数据可得：

施用种肥料后橘子树产量的频率分布直方图如下：

施用种肥料后橘子树产量的频数分布表如下：

设施用种肥料后，橘子树产量的平均值为；施用种肥料后，橘子树产量的平均值为，

由频率分布直方图可估计得：

，

；

，施用种肥料有利于橘子数产量的提高.

（Ⅱ）甲类橘子树共有棵，乙类橘子树共有棵，甲、乙两类橘子树共有棵，

抽取的棵橘子树中甲类橘子树有棵，乙类橘子树有棵，

所有可能的取值为：和，

；；

的分布列如下：

19．已知为数列的前n项的积，且，为数列的前n项的和，若（，）.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求的通项公式.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）由及可得，由等差数列的定义即可证得数列是等差数列；

（2）由（1）可得，从而有，从而由已知可得时，，进而可得时，，检验即可得答案.

【详解】解：（1）证明：，.

，

是等差数列.

（2）由（1）可得，.

时，；

时，.

而，，，均不满足上式.

（）.

20．如图，在三棱台中，三棱锥的体积为，的面积为，，且平面．

(1)求点到平面的距离；

(2)若，且平面平面， 求二面角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据等积转化法求点到平面的距离；

(2)几何法：由平面平面，可作出二面角的平面角，在直角三角形求解；

空间向量法：先证明两两垂直后建系，用法向量求二面角的余弦值

【详解】（1）设点到平面的距离为．

因为，三棱锥的体积为，

所以三棱锥的体积为，

又由，得，解得.

（2）

由已知设，，则，，取的中点，连接，则，由平面平面知面，故，

又，从而平面.

故，，取中点，则，四边形是平行四边形，，从而为正三角形，故，，

又，

得.

在平面内作于，则，在平面内，作于，连接，

因为平面平面，平面平面，

所以 平面，又 平面，所以，

又，平面，平面，所以平面，

又平面，所以，

则二面角的平面角为.

在直角中，，故，.即所求二面角的余弦值为.

法二：取的中点，连接，则，由平面平面知面，故，又，从而平面.

故，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

设，，则，，取中点，则，四边形是平行四边形，，从而为正三角形，故，，

又，

得，

则，，，

设面的法向量，由得，

设面的法向量，由得，

故，即所求二面角的余弦值为.

21．设函数

(1)若，，求曲线在点处的切线方程；

(2)若，不等式对任意恒成立，求整数k的最大值．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）把，代入函数中，对其进行求导，求出处的导数，得出直线的斜率，写出曲线在点处的切线方程；

（2）对进行求导，利用导数研究其单调性，可得是单调递减的，根据不等式，，可以推出，利用常数分离法进行求解；

【详解】（1）当，时，，所以，即切点为

因为，所以，

所以切线方程为，即，

（2），由，所以，

所以函数在R上单调递增

不等式，对恒成立，

构造，，

构造，，对有，

所以在递增，，，

所以，，

所以，，即，在递减，

，，即，在递增，

所以，结合，故，

所以对恒成立，故，

所以整数k的最大值为3；

【点睛】关键点点睛：第二问，将问题化为对恒成立，利用导数求出右侧的最小值为关键.

22．已知双曲线（，）的左焦点坐标为，直线与双曲线交于，两点，线段中点为.

(1)求双曲线的方程；

(2)经过点且与轴不重合的直线与双曲线交于两个不同点，，点，直线，与双曲线分别交于另一点，，若直线与直线的斜率都存在，并分别设为，.是否存在实常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）设,，,，代入双曲线方程可得：，，相减整理，代入，，，代入可得与关系，及其，，解得，，即可得出双曲线的方程；

（2）设,，,，直线的方程为，直线的方程为：，与双曲线方程联立化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系及其，可得坐标，同理可得可得坐标，利用斜率计算公式可得，即可得出结论．

【详解】（1）解：由题意知，直线的斜率为，设，，

由题意，两式相减得：，

整理得：，即，

又，所以，，即双曲线，经检验满足题意.

（2）解：因为的斜率存在且，直线的方程为，设，，

又，设直线，  

联立，整理得，

由韦达定理得，

又∵，∴，

于是，

故，同理可得，  

∴

∴，

∴为定值，所以的值.