2023届浙江省绍兴市第一中学高三上学期10月月考数学试题含解析

这是一份2023届浙江省绍兴市第一中学高三上学期10月月考数学试题含解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023届浙江省绍兴市第一中学高三上学期10月月考数学试题

一、单选题
1．已知集合，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（    ）
A．{1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{1，2，3}
【答案】B
【分析】首先求集合，再根据交集的定义，求.
【详解】，解得：，
所以，所以
故选：B．
2．如果一个复数的实部与虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数为“等部复数”，则实数a的值为（    ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】C
【分析】根据复数乘法及新定义即可得参数值.
【详解】由题设为“等部复数”，即.
故选：C
3．点声源在空间中传播时，衰减量与传播距离r（单位：米）的关系式为（单位：dB），取lg5≈0.7，则r从10米变化到40米时，衰减量的增加值约为（    ）
A．9dB B．12dB C．15dB D．18dB
【答案】B
【分析】根据给定模型，结合对数运算求衰减量的增加值即可.
【详解】当时，，当时，，
则衰减量的增加值约为：.
故选：B
4．设函数的定义域为R，则“是R上的减函数”是“任意，无零点”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分，必要条件的定义，结合函数单调性的性质和零点的定义，即可判断选项.
【详解】若是R上的减函数，则a＞0时，成立，
即恒成立，所以无零点，充分性成立；
若任意，无零点，则函数不一定为减函数，必要性不成立．
故选：A．
5．函数（）在一个周期内的图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据辅助角公式化简函数，利用平移关系，即可判断选项.
【详解】，（其中），因为，
所以，因为正弦函数的周期为2π，
将y的图象向左或者向右平移（）个单位，可得的图象，
结合选项可知，C符合题意.
故选：C
6．对中国文人来说，折扇既是一种身份的象征，又寄寓着个人的文化趣味．折扇开合自如，开之则用，合之则藏，进退自如，逍遥自在，如下左图．其平面图如下右图的扇形AOB，其中，，点在弧上，则的最小值是（    ）
    
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，表示出各点坐标，进而根据平面向量数量积的坐标表示表示出，结合三角恒等变换及正弦函数的图象及性质求解即可.
【详解】建立如图所示平面直角坐标系，则，，设，
故，，
则，
由，得，
所以当，即时，有最小值.
故选：A．
  
7．已知，，，则的最小值是（    ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意可得且，则，令，，，利用基本不等式求出的最小值，即可得解.
【详解】，，，即有且，
将代入得，
令，，，
，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值，即的最小值是.
故选：D.
8．已知实数，且，为自然对数的底数，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】化简条件后根据形式构造函数，利用单调性判断不等式
【详解】因为，所以，
函数在上单调递增，且，因为
所以，所以，即，
又，所以，所以，即，综上，.
故选：D

二、多选题
9．已知随机变量X服从正态分布，密度函数，若，则（    ）
A． B．
C．在上是增函数 D．
【答案】ACD
【分析】根据正态曲线的性质，再结合正态分布的密度曲线定义，由此逐一分析四个选项从而得出答案.
【详解】随机变量服从正态分布，正态曲线关于直线对称，在上是增函数，选项C正确；
，根据正态曲线的对称性可得，选项A正确；
，选项B错误；
，选项D正确.
故选：ACD.
10．下列四个命题中，正确的是 （    ）
A．若是锐角三角形的内角，则；
B．存在实数，使得；
C．直线是函数的图像的一条对称轴；
D．函数的图像向右平移个单位，得到的图象．
【答案】AC
【分析】结合诱导公式、辅助角公式、三角函数的单调性、对称性、图象变换等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，是锐角三角形的内角，
，
，
由于在上递增，所以，所以A正确.
B选项，，，
，
，所以B选项错误.
C选项，，所以C选项正确.
D选项，函数的图像向右平移个单位，
得到的图像，所以D选项错误.
故选：AC
11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G为C1D1的中点，点P在线段B1C上运动，点Q在棱C1C上运动，M为空间中任意一点，则下列结论正确的有（　　）
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
C．PQ+QG的最小值为
D．当MA+MB＝4时，三棱锥A﹣MBC体积最大时其外接球的表面积为.
【答案】ACD
【分析】对于A选项，利用正方体的性质及线面垂直的判定定理即可判断；
对于B选项，由题可得与所成角即为异面直线与所成角；
对于C选项，利用展开图即可判断；
对于D选项，利用椭圆的定义，多面体的外接球的性质即可判断.
【详解】对于A选项，连接，则，
由题可知，平面，且平面，则，
又，平面，平面，则，
同理可得，，直线平面，则选项A正确；

对于B选项，由题可知，，，
所以四边形为平行四边形，则，所以与所成角即为异面直线与所成角，又点在线段上运动，可知是等边三角形，所以直线与所成角的取值范围是，则B选项错误；
对于C选项，如图展开平面，使平面共面，过作，交与点，交与点，则此时最小，由题可知，，则，即的最小值为，则C选项正确；

对于D选项，，当、、三点共面时，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，又因为，所以椭圆的长轴长为，短轴长为，故点的轨迹是以，为焦点的椭球表面，
设的中点为，要使三棱锥的体积最大，即到平面的距离最大，
所以当平面，当平面，且时，三棱锥的体积最大，
此时为等边三角形，设其中心为，三棱锥的外接球的球心为，的外心，连接，，，
则，，所以，
即三棱锥体积最大时其外接球的表面积.
故选：ACD.
【点睛】立体机何中的点的运动轨迹问题或线的运动轨迹问题，要结合题目的特征，利用平行或垂直关系或平面中常见的轨迹定义，找出平面中的轨迹，其轨迹通常是线段、圆弧、椭圆、抛物线等，进而求出相关长度，在空间中的轨迹，则以平面中的轨迹图形旋转得到相应的几何体.
12．已知抛物线的焦点为F，抛物线C上存在n个点，，，（且）满足，则下列结论中正确的是（    ）
A．时，
B．时，的最小值为9
C．时，
D．时，的最小值为8
【答案】BC
【分析】以为抛物线通径，求得的值，判断A; 当时,写出焦半径的表达式，利用换元法，结合利用导数求函数最值，可判断B; 当时,求出的表达式，利用三角函数的知识，可判断C,D.
【详解】当时，，此时不妨取 过焦点垂直于x轴，
不妨取 ，则，故A错误；
当时，，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,
则 ，则 ，
故
，
令 ，则，
令 ，则   ，
当时， ， 递增，当时， ， 递减，
故 ，
故当 ，即 时，取到最小值9，故B正确；
当时，，
此时不妨设 在抛物线上逆时针排列，设,
则，
即，
故，
，
所以，故C正确；
由C的分析可知：，
当 时，取到最小值16，
即最小值为16，故D错误；
故选：BC
【点睛】本题考查了抛物线的焦半径公式的应用，综合性较强，涉及到抛物线的焦半径的应用，以利用导数求最值，和三角函数的相关知识，难度较大.

三、填空题
13．若的展开式中第5项的二项式系数最大，则 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据二项展开式的二项式系数，列出不等式组，结合组合数的公式，即可求解.
【详解】由题意，二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，
可得，即，
解得，所以或或.
故答案为：（答案不唯一）.
14．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且满足anan+1＝2Sn（n∈N*），则a2+a4+a6+…+a66＝
【答案】1122
【分析】写出时，，与已知式相减得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为2，再由求得，然后由等差数列的前项和公式计算．
【详解】，则时，，两式相减得，
因为，所以，
所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为2，
又，而，所以，则，
所以．
故答案为：1122．
15．已知椭圆：（）的左焦点为，经过原点的直线与交于，两点，总有，则椭圆离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】设椭圆右焦点为，由对称性知，，从而有，设，，由椭圆定义结合基本不等式得，在焦点三角形中应用余弦定理，代入，结合余弦函数性质可得离心率的范围．
【详解】如图，设椭圆右焦点为，由对称性知是平行四边形，，
∵，∴，
设，，由椭圆定义知，则，当且仅当时等号成立，
在中，由余弦定理得，
又，，∴，解得．
故答案为：．

【点睛】本题考查求椭圆离心率的范围，解题关键是把已知条件转化为焦点中，，然后椭圆定义，余弦定理，基本不等式求得结论．
16．已知定义在R上的函数满足，且为偶函数，当时，，若关于x的方程有4个不同实根，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据给定条件探讨函数性质，进而探求出函数的性质，并作出其图象，数形结合求出a的范围.
【详解】依题意，，当时，，则当时，，
又为偶函数，即，即，
当，即时，，当，即时，，
因此，当时，，
显然有，于是得是周期为4的周期函数，
当时，，当时，，
令，则，
函数是R上的偶函数，的图象关于y轴对称，讨论的情况，再由对称性可得的情况，
当时，，则时，，当时，，
当时，函数的图象、性质与的的图象、性质一致，
关于x的方程有4个不同实根，即直线与的图象有4个公共点，
当时，函数的部分图象如图，

观察图象知，当直线过原点及点，即时，直线与的图象有5个公共点，
当直线过原点及点，即时，直线与的图象有3个公共点，
当直线绕原点逆时针旋转到直线时，旋转过程中的每个位置的直线(不含边界)与的图象总有4个公共点，
于是得，当时，关于x的方程有4个不同实根，有，
由对称性知，当时，关于x的方程有4个不同实根，有，
所以实数a的取值范围是：.
故答案为：
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)的图象，观察
与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.

四、解答题
17．已知数列的前项和为，且，，其中是不为的常数．
(1)求，；
(2)是否存在实数，使得为等比数列．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)存在；

【分析】（1）分别将和代入计算，结合的定义，即可求解出答案；（2）根据等比中项列式求解出值，将值代入，证明当时，利用化简计算，可得，再将时，，代入检验，可得数列为等比数列.
【详解】（1）数列的前项和为，且，，
当时，，解得，
当时，，解得．
（2）当数列为等比数列，故，
整理得，解得．
证明如下：当时，①，
当时，②，
①﹣②得： ，
整理得，即（常数），
当时，，，所以也成立，
故数列是以为首项，为公比的等比数列．
18．如图，三棱锥中，底面于B，∠BCA＝90°，，点E是PC的中点．
  
(1)求证：侧面PAC⊥平面PBC；
(2)若异面直线AE与PB所成的角为θ，且，求平面ABC与平面ABE所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)60°

【分析】（1）由线面垂直的性质得PB⊥AC，再由线面垂直、面面垂直的判定证结论；
（2）构建空间直角坐标系，根据已知异面直线所成角求的长，进而求出平面ABC与平面ABE的法向量，应用向量法求面面角的大小.
【详解】（1）由PB⊥平面ABC，面，所以PB⊥AC，
因为∠BCA＝90°，即AC⊥BC；
又PB∩BC＝B，面，
所以AC⊥平面PBC，又平面PAC，
所以面PAC⊥面PBC.
（2）以C为原点，CA、CB所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，设BC＝m＞0，
则，
所以，
由得：，由，
∴，解得m，则，
设面ABE的一个法向量为，则，取x＝1，则．
取面ABC的一个法向量，故，
所以，结合面面角的范围易知：平面ABC与平面ABE所成角的大小为60°．
  
19．一道解三角形的题目有一个条件不清楚，具体如下：
在中，，，______，求C．
经推断横线处的条件为三角形一边的长度，且答案提示，试问在横线上的条件是a的长度还是b的长度？并逐一说明理由．
【答案】横线处的条件为；答案见解析．
【分析】分别计算两种条件下，利用正弦定理、余弦定理求C即可根据结果判断条件.
【详解】（1）将看作已知条件．
由，得．
由正弦定理，得，则．
验证如下：若该条件为，
由正弦定理，得，则，
由，得或，即C有两解，但“答案提示”，所以不合题意．
（2）将看作已知条件．

；
由正弦定理，得，则；验证如下：该条件为，
由余弦定理，得，即，
所以，故．
综上，横线处的条件为．
20．一研学实践活动小组利用课余时间，对某公司1月份至5月份销售某种产品的销售量及销售单价进行了调查，月销售单价（单位：元）和月销售量（单位：百件）之间的一组数据如下表所示：
月份
1
2
3
4
5
月销售单价（元）
1.6
1.8
2
2.2
2.4
月销售量（百件）
10
8
7
6
4
（1）根据1至5月份的数据，求出关于的回归直线方程；
（2）预计在今后的销售中，月销售量与月销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种产品的成本是1元/件，那么该产品的月销售单价应定为多少元才能获得最大月利润？（注：利润=销售收入-成本）
（回归直线方程，其中.参考数据：，）
【答案】（1）回归直线方程为（2）该产品的月销售单价应定为2元才能获得最大月利润
【解析】（1）分别求出，再结合提供的数据和公式求出，即可求出回归直线方程；
（2）根据（1）中的回归直线方程，可得当定价为时的销售量，列出利润的函数，求二次函数的最值，即可求解.
【详解】解：（1）∵，.
∴.
.
∴回归直线方程为.
（2）设该产品的月销售单价为元，月利润为百元，则
∵，
∴.
∴当时，（百元）.
∴该产品的月销售单价应定为2元才能获得最大月利润为7百元.
【点睛】本题考查求回归直线方程，求二次函数的最值，考查计算能力，属于基础题.
21．已知双曲线Γ：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为1.
(1)求双曲线Γ的方程；
(2)过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）根据点坐标以及焦点到渐近线的距离求得，从而求得双曲线的方程.
（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合以及点到直线的距离公式、基本不等式求得点P到直线AB距离的最大值.
【详解】（1）不妨设，到双曲线的一条渐近线的距离为.
双曲线过，所以，
所以双曲线方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，设，则，
，
依题意，
，即，
由解得或（舍去），
所以，此时到直线的距离为.
当直线的斜率存在时，设，设直线的方程为.
由消去并化简得：，
①，
，
依题意，
所以

，
整理得，
即，由于直线，，
所以，
函数的开口向上，
判别式为，故①成立.
所以直线的方程为，即，
所以到的距离，
，
当时，；当时，
当且仅当时等号成立.
所以.
综上所述，点到直线的距离的最大值为.
22．已知函数.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若曲线有，两个零点.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：存在一组，（），使得的定义域和值域均为.
【答案】(1)极大值为，无极小值
(2)（i）；（ii）证明见解析

【分析】（1）求出导函数，求出的根，列表确定的正负，的单调性与极值；
（2）（i）转化为有两解，设，利用导数确定的单调性与极值，最大值大于0，确定有小于0的函数值（需引入新函数，再利用导数确定单调性得出），结合零点存在定理得结论；
（ii）先利用导数确定的单调性与最大值点，然后由按与区间的关系分类讨论确定函数在此区间内的值域，由值域是确定的取值范围，从而得证．
【详解】（1）函数定义域是，
当时，，则，令，解得，
列表可知


1


+
0
－

单调递增
1
单调递减
的极大值为，无极小值；
（2）（i）解：由题意可知，有两解，即有两解，
设，则，令，解得（舍去），
列表可知，





+
0
－

单调递增
极大值
单调递减
，
因为有两个零点，所以，解得，
当时，有，可得，
令，有，时，．时，，可得函数的减区间为，增区间为，
有，可得，
当时，.
所以存在，，使得，所以；
（ii）证明：因为，令，解得，
列表可知，





+
0
－

单调递增
极大值
单调递减
在上单调递增，在上单调递减，
①若，则在上单调递增，因此，，由上可知取，，此时，，所以当时，存在一组，符合题意；
②若，则在上单调递减，所以，，
所以，即，不符题意；
③若， 在上单调递增，在上单调递减，
所以，由得，
又因为，所以，
即，，所以当时，存在一组，符合题意；
综上，存在一组，符合题意.
【点睛】本题考查用导数求函数的极值，研究方程的根与函数零点分布，研究函数的值域．难点有两个：第一个是由零点个数确定参数范围时，零点的存在性一般与零点存在定理结合，因此需要在某个区间的两个端点处函数值符号相反才能得出，本题中需要引入新函数，由函数的性质得出，第二个是确定函数值域问题，需对参数进行分类，一定要注意分类标准的确定，需要有统一标准，本题是按区间与函数的最大值点的关系分类，然后求出对应参数的取值范围，它们正好相适应，从而得出结论．本题对学生的逻辑能力，运算求解能力，分析问题解决问题的能力要求较高，属于困难题．