2023届河北省石家庄北华中学高三上学期10月月考数学试题含解析

2023届河北省石家庄北华中学高三上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据题意可得，结合并集运算求解，注意区别各集合的元素．

【详解】，则

故选；A．

2．设集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】化简集合，根据集合的交集运算可得结果.

【详解】或，

.

故选：D

3．已知全集，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件，用列举法求出全集，再利用补集的定义计算作答.

【详解】依题意，全集，而，

所以.

故选：D

4．已知集合，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意和补集、交集的运算依次求出和．

【详解】解：因为全集，2，3，4，5，6，，，3，5，，

所以，4，，

又，2，4，，则，2，4，5，，

故选：C．

5．已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】ABC可以通过举出反例，D选项可以通过不等式的基本性质进行求解.

【详解】当时，，而，，而无意义，故ABC错误；

因为，所以，D正确.

故选：D

二、多选题

6．已知正实数满足，则（    ）

A．

B．的最小值为

C．的最小值为9

D．的最小值为

【答案】AC

【分析】根据等式的变形，结合为正实数，可判断A项，变形等式，结合的取值范围，利用一元二次函数可判断B项，利用基本不等式中“1”的用法可求解C项，利用基本不等式，结合题干中的等式验证等号成立的条件，可判断D项.

【详解】解：因为，则，即，

又为正实数，则，所以，，故A项正确；

因为，所以，

又，所以，故B项错误；

因为，且为正实数，即，则，

所以，

当且仅当，即时等号成立，故C项正确；

因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，但由可得，当时，，且，故D项错误.

故选：AC.

三、单选题

7．“不等式在R上恒成立”的充要条件是（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】A

【分析】根据不等式在R上恒成立，求得，再由，说明不等式在R上恒成立，即可得答案.

【详解】∵不等式在R上恒成立，

∴ ，解得，

又∵，∴，则不等式在R上恒成立，

∴“”是“不等式在R上恒成立”的充要条件,

故选:A.

8．已知，则的最小值为（　　）

A．6 B．4 C．3 D．2

【答案】A

【分析】利用基本不等式可得答案.

【详解】∵，∴，

∴≥＝6，

当且仅当即时， 取最小值6，

故选：A．

四、多选题

9．“关于x的不等式 对恒成立”的一个必要不充分条件是（    ）

A．  B．  C． D．

【答案】BD

【分析】求得关于x的不等式 对恒成时a的取值范围，根据必要不充分条件与集合包含之间的关系，即可判断答案.

【详解】由题意可知，关于x的不等式恒成立，

则，解得 ，

对于选项A，“”是“关于x的不等式对恒成立”的充要条件；

对于选项B，⫋,

故“”是“关于x的不等式对恒成立”的必要不充分条件；

对于选项C，⫋,

 “”是“关于x的不等式对恒成立”的充分不必要条件；

对于选项D中，⫋ , “”是“关于x的不等式对恒成立”必要不充分条件，

故选：BD．

10．下列说法中正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则

C．，“恒成立”是“”的充分不必要条件

D．若，则的最小值为

【答案】AD

【分析】对于A,B，利用不等式的性质可以判断；

对于C，利用基本不等式及不等式恒成立与最值的关系，再结合充要条件即可判断；

对于D，利用基本不等式及“1”的巧用可以判断.

【详解】对于A，因为，所以，

所以，即，故A正确；

对于B，因为，所以，

所以，即.故B 不正确；

对于C，，恒成立等价于，

因为，所以，所以，

当且仅当即时，等号成立，

所以当时，取得最小值为，即.

所以，“恒成立”是“”的充要条件，故C不正确.

对于D,因为，，

=，

当且仅当即时，等号成立，

所以当时，取得最小值为，故D正确.

故选：AD.

11．已知，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AB

【分析】运用不等式的性质判断A，利用基本不等式判断B选项，利用不等式的性质及对数函数的单调性判断C选项，举反例判断D选项.

【详解】，则，，A正确；

，，当且仅当时取等号，

又，，B正确；

，，，C错误；

取时，，此时，D错误.

故选：AB.

12．设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（    ）

A．xy的最大值是 B．的最小值为9

C．4x2＋y2最小值为 D．最大值为2

【答案】BC

【分析】利用基本不等式求的最大值可判断A；将展开，再利用基本不等式求最值可判断B；由结合的最大值可判断C；由结合的最大值可求出的最大值可判断D，进而可得正确选项.

【详解】对于A，，，当且仅当即，时等号成立，故A错误；

对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；

对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；

对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；

故选：BC.

五、填空题

13．命题，则命题p的否定是       ．

【答案】

【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题即可得解.

【详解】解：命题为全称量词命题，

其否定为：；

故答案为：

14．“”是“”的必要而不充分条件，则实数a的取值范围为      ．

【答案】

【分析】根据必要不充分条件的定义求解即可.

【详解】由题意得是的真子集，故．

故答案为：

15．已知实数，，满足则的取值范围是        ．（用区间表示）

【答案】

【分析】直接用表示出，然后由不等式性质得出结论．

【详解】,

则解得，则，

又，

∴，

即，

故答案为：．

16．已知，，下面四个结论：

①；②若，则的最小值为4；③若，则；④若，则的最小值为；

其中正确结论的序号是      ．（把你认为正确的结论的序号都填上）

【答案】①③④

【分析】对于①，由，得，然后变形后判断，对于②，变形后利用基本不等式判断，对于③，由不等式的性质判断，对于④，将展开由基本不等式可推导出结果

【详解】对于①，因为，所以，即，

因为，，所以，所以①正确，

对于②，因为，所以，

所以

，

当且仅当，，即时取等号，所以②错误，

对于③，因为，所以，因为，所以，所以③正确，

对于④，因为，

当且仅当，即时取等号，

因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以④正确，

故答案为：①③④

六、解答题

17．已知集合．

(1)若，求实数m的取值范围；

(2)当集合A变为时，求A的非空真子集的个数；

(3)若，求实数m的取值范围．

【答案】(1)；

(2)254；

(3)或.

【分析】（1）因为，所以A，分类讨论和即可得出答案；

（2）当时，A中共有8个元素，即可求出A的非空真子集的个数；

（3）若，分类讨论和，即可求出实数的取值范围.

【详解】（1）因为，所以.

当时，由，得，符合题意；

当时，根据题意，可得

解得

综上，实数的取值范围是．

（2），共有个元素，

所以A的非空真子集的个数为．

（3）当时，由（1）知，

当时，

可得或，解得．

综上，实数的取值范围是或．

18．求解下列问题：

(1)已知，比较与的大小；

(2)比较和的大小．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用差比较法比较大小.

（2）利用差比较法比较大小.

【详解】（1）.

（2）.

19．已知.

(1)求ab的最大值；

(2)求的最小值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可；

（2）利用“1”的代换，将原式变形后再利用基本不等式求解即可.

【详解】（1）因为，，所以，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以ab的最大值为.

（2）因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为.

20．已知函数.

（1）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；

（2）若对于任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）若对于任意成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）由题意利用二次函数的性质可得，由此求得求得的范围；（2）由于对于任意，，恒成立，故．利用二次函数的性质，分类讨论求得的范围；（3）问题等价于，再由、都大于零，求得的范围．

【详解】（1）若对于任意,恒成立，

则有，解得；

（2）由于对于任意，恒成立，故．

又函数的图象的对称轴方程为，

当时，，求得无解；

当时，，求得；

当时，，求得．

综上可得，的范围为；

（3）若对于任意，恒成立，等价于，

∴，求得，即的范围为．

【点睛】本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围问题，对于二次不等式恒成立，要结合二次函数的图象和性质，对于在某区间上恒成立的二次不等式，要注意讨论函数的对称轴与区间的关系，对于第（3）小题，要注意分清自变量是,从而转化为线型函数在区间内大于零的问题．

21．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.

（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；

（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.

【答案】（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米.

【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；

（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.

【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得.

因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得.

又，所以.

所以宽的最大值为16米.

（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得

（平方米）

当且仅当米时，等号成立.

所以整个绿化面积的最小值为平方米.

22．运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶120千米，按交通法规限制（单位：千米时）假设汽油的价格是每升6元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时50元．

(1)求这次行车总费用y关于x的表达式：

(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

【答案】(1)，x∈[50，100]；

(2)当x＝2千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为8元.

【分析】（1）先确定所用时间，再乘以每小时耗油与每小时工资的和得到总费用表达式，（2）利用基本不等式求最值即得结果.

【详解】（1）设所用时间为t＝ (h)，

y＝×６×＋50×，x∈[50，100].

所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y＝==，x∈[50，100]；

（2）y＝≥8，

当且仅当，

即x＝2（满足）时等号成立.

故当x＝2千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为8元.