2023届江西省九江第一中学高三上学期12月月考数学（文）试题含解析

这是一份2023届江西省九江第一中学高三上学期12月月考数学（文）试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届江西省九江第一中学高三上学期12月月考数学（文）试题 一、单选题1．设全集，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】用列举法表示出全集，根据补集和并集的定义可求得结果.【详解】，，.故选：C.2．已知直线：，直线：，若，则（    ）A． B． C．或1 D．或【答案】D【分析】根据两直线平行的条件列出方程，解之，检验即可求解.【详解】由，可知，得或，代入检验均满足，故选：D.3．等比数列的前项和为，若，，则（    ）A． B．2 C．14 D．【答案】B【分析】结合等比数列通项公式和前项和公式求出，进而得解.【详解】设等比数列的公比为，显然不符合题意.由，，得，化简得，所以.故选：B.4．已知向量（1，2），（3，﹣4），则在上的投影为（    ）A． B． C．1 D．﹣1【答案】D【分析】根据向量数量积的几何意义，即可求出结论.【详解】在上的投影为.故选:D【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，及坐标表示，属于基础题.5．过体积为的球外一点作球的切线，若，则切点所在平面与所有切线所围成的几何体的侧面积为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先求得球的半径为1，再利用圆锥侧面积公式即可求得该几何体的侧面积【详解】球的体积为，则球的半径为1，又则切点所在平面与所有切线所围成的几何体为圆锥，该圆锥底面半径为，母线长为，所以其侧面积，故选：C.6．如图所示，位于信江河畔的上饶大桥形如船帆，寓意扬帆起航，建成的上饶大桥对上饶市实施“大品牌、大产业、大发展”的战略产生深远影响.上饶大桥的桥型为自锚式独塔空间主缆悬索桥，其主缆在重力作用下自然形成的曲线称为悬链线.一般地，悬链线的函数解析式为，则下列关于的说法正确的是（    ）A．，为奇函数B．，有最小值1C．，在上单调递增D．，在上单调递增【答案】D【分析】运用奇偶函数的定义易知，为偶函数，运用基本不等式可求得最小值；单调性可以从符合函数的角度进行验证.【详解】，，A错误；，B错误；.令当，对每层函数的单调性进行判断后，根据复合函数的单调性判断原则易知：在上单调递增，故D对；函数为偶函数，则在为单调递减，故C错;故选：D7．函数的大致图像是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合函数所过点及函数单调性，可得答案.【详解】注意到过点，故可排除C，D选项.因在上单调递增，在上单调递增，则由复合函数单调性相关知识点可知，在上单调递增，故排除B选项.故选：A8．已知三个单位向量，，满足，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，当与反向时，即可取得最小值．【详解】由，设与的夹角为则当与反向时，有最小值，故选：B．9．已知，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】结合基本不等式、对数函数的运算与性质、函数的单调性等知识确定正确答案.【详解】都为正数，，，.由于，所以，所以；由于，所以，所以，所以.令，任取，，由于，所以，所以在上单调递减，而，所以，而，所以，即，综上所述，.故选：A10．已知数列满足，，且的前项和，则的可能取值为（    ）A．44 B．45 C．46 D．47【答案】B【分析】依据递推公式判断数列类型，使用前项和公式结合构造不等式组解.【详解】因为即，所以数列是以为首项，公差为2的等差数列.则的前项和.所以.因为，所以，即解得.故选：B.11．已知函数，，且的最大值为，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由函数的最大值问题转化为不等式恒成问题，借助函数的单调性求最值，从而得出a的取值范围.【详解】由题意可知，，即，且，∴，，即.∴，（当时也成立），令，，，，则，∵，且∴由，可得，即，又在上单调递增，∴，∴.故选：A．12．已知正四面体，则在平面内到平面、平面、平面的距离相等的点有（    ）A．1个 B．4个 C．7个 D．无数个【答案】B【分析】设平面内符合条件的点是，利用三棱锥等体积转化和三角形等面积的条件转化为到直线的距离相等，进而得到为的内心或旁心，从而得到答案.【详解】设平面内符合条件的点是，因为点到平面、平面、平面的距离相等，且正四面体各个面的面积相等，所以，即，由于三棱锥的高都是到平面的距离，所以的面积相等，又∵,所以到直线的距离相等，所以当为的内心(一个)或旁心(三个)时符合条件，所以符合条件的点有4个.故选：B 二、填空题13．设x，y满足约束条件，则的最小值为      .【答案】【分析】先画出不等式组表示的可行域，然后由，得，作出直线向下平移过点时，取得最小值，求出点的坐标代入目标函数可得答案.【详解】不等式组表示的可行域如图所示，  由，得，作出直线向下平移过点时，取得最小值，由，解得，即，所以的最小值为，故答案为：14．已知，，，则的最小值为       .【答案】【分析】将4换为，然后通过基本不等式求得答案.【详解】因为，，且，所以，当且仅当时取等号故的最小值为故答案为：15．如图所示，已知在边长为2的等边中，是边上的一个动点，是延长线上一点，且，则的最大值为       .【答案】/.【分析】如图所示，过点作的平行线交于点，可得≌，设，则，然后表示出，整理后利用二次函数的性质可求得结果.【详解】如图所示，过点作的平行线交于点，则，所以，所以为等边三角形，，所以，因为，所以，所以≌，则.设，则，故，所以当时，的最大值为.故答案为：. 三、双空题16．若对任何实数，恒成立，则的最大值为       ，此时       .【答案】     /     2【分析】令，，同一坐标系内画出两函数图像，数形结合去求解，可得最大值，.【详解】令，，则函数的图象恒过定点，且函数的图象如图1所示，图1故依条件可知当且仅当函数的图象经过， ，时，取得最大值，如图2所示， 图2此时最小正周期为，所以，取得最大值.故答案为：； 2 四、解答题17．设常数，函数(1)若函数的图象关于对称，求的值；(2)若，且，求的取值范围.【答案】(1)；(2)，. 【分析】（1）由函数图像的对称性方程求出a值；（2）把三角函数化“1”，解三角不等式得出解集.【详解】（1）∵的图象关于对称，∴，∴，即，∴，得.（2）∵，∴由，则，解得，，即，，∴的取值范围是，.18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是CD，PB的中点．(1)证明：平面PAD．(2)若四棱锥的体积为32，的面积为4，求B到平面DEF的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)3. 【分析】（1）取AB的中点G，连接EG，FG，可得线线平行，根据面面平行的判定定理及性质定理可得证；（2）由等体积法可求出B到平面DEF的距离.【详解】（1）证明：取AB的中点G，连接EG，FG．因为G，F分别是AB，PB的中点，所以．又平面，平面，所以平面.因为E是CD的中点，ABCD是平行四边形，所以．同理可得，平面.因为，平面，所以平面平面PAD．因为平面EFG，所以平面PAD．（2）因为E是CD的中点，所以的面积是平行四边形ABCD面积的．因为F是PB的中点，所以三棱锥的高是四棱锥的高的．因为四棱锥的体积为32，所以三棱锥的体积为．设B到平面DEF的距离为d，因为的面积为4，所以，得，即B到平面DEF的距离为3．19．如图，在中，内角，，的对边分别为，，，且(1)求角；(2)若角的平分线交于点，，，求，的值.【答案】(1)(2). 【分析】（1）由正弦定理把边化为角，再利用三角恒等变换即可求解；（2）由三角形面积公式与余弦定理求解即可【详解】（1）由，得，得，得，得，又所以，又所以.（2）∵，∴，∴①又由余弦定理可得，即②，∴由①②可得.20．已知在数列中，，(1)证明：为等比数列，并求(2)若数列的前项和为，证明【答案】(1)证明见解析，，(2)证明见解析 【分析】（1）根据题中给出的新数列定义和等比数列定义计算即可；（2）由（1）可知和的通项公式，代入题（2），利用裂项相消求出的通项公式，即可作出判断.【详解】（1）证明：∵.∴为等比数列，且公比为2，首项为，∴，即，（2）同理可得，∵∴，当时，单调递增，∴，即.21．已知函数有两个极值点，.(1)求的取值范围；(2)证明：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）求导，将问题转化为在上有两个实数根，，根据二次方程根的分布即可求解，（2）结合，代入化简式子，将问题转化为，利用导数即可求解.【详解】（1）,有两个极值点，，则在上有两个实数根，，所以在上有两个实数根，，则解得，故的取值范围为，（2）由（1）知，且，，令，，令在上恒成立，所以在单调递减，故，因此在单调递减，故，故，得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22．已知函数.(1)若，判断在上的单调性；(2)设函数，若关于的方程有唯一的实根，求a的取值范围.【答案】(1)函数在上单调递增.(2)或 【分析】（1）通过构造函数，求导判断函数单调性；（2）将方程根的个数转化为函数图象的交点个数，分离参数后，构造函数，用导数判断函数的单调性，描出函数草图，可解.【详解】（1）当时，令则.当时，（时等号成立）； （时等号成立）， 所以，即函数在上递增，所以，即函数在上单调递增.（2）方程即有唯一的实根，则只有一个解，等价于直线与函数的图象只有一个交点.令，则，因为，所以的符号由分子决定，令，则.所以在上递减，因为，所以当时，；当时，.即当时，；当时，.所以函数在上递增，在上递减，当趋于时，趋于0且大于0，分子趋于，则趋于；当时，；当趋于时，趋于，分子也趋于，令，则，当时，，则趋于时，增长速率大于的增长速率，故趋于时，趋于0.画出函数的草图，并画出直线，  要使直线与函数的图象只有一个交点.则或.所以当或时，方程有唯一的实根.【点睛】第二问，在判断完函数单调性后，要分析函数具体的图象特征，可结合函数增长差异来判断函数值的变化趋势.